03 Scienza delle Costruzioni - Tensione Problema di Saint Venant

T T

11 12

=

T T T

21 22

Dimostriamo ora che la matrice è simmetrica facendo il bilancio dei momenti. Scegliamo come

polo l’origine degli assi (centro del cubetto): le tensioni normali non hanno braccio, pertanto non

generano momento. Ciascuna coppia di tensioni tangenziali ha invece braccio e genera quindi un

d

T T

momento: orario le tensioni , antiorario le tensioni . Facendone il bilancio abbiamo:

12 21

− = =

T A d T A d T T

0 cioè la matrice è quindi simmetrica

12 21 12 21 T , soltanto 6 sono indipendenti: dobbiamo

Da ciò capiamo che delle 9 componenti della matrice

calcolare quindi solo 6 componenti. 7/20

3 SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

EQUAZIONI INDEFINITE DI EQUILIBRIO

T

Il tensore della tensione è valido per un generico punto , pertanto al variare del

P

T

punto avremo una tensore diverso. T

Cerchiamo ora di capire, conoscendo il tensore ( ) del punto , come varia il

P P

T

tensore nei punti vicini a .

P dx dx

Consideriamo un cubetto solido di dimensioni , , e

1 2 3

, e stabiliamo un sistema di riferimento (direzioni

dx

3

coordinate). +

T ( x , x , x ) T ( x , x dx , x )

22 1 2 3 22 1 2 2 3

Consideriamo, a titolo esemplificativo, la tensione sulla dx 3

e e T

faccia di normale in direzione , cioè (viola):

2 2 22 e

2

se il cubo avesse dimensioni infinitesime ,

(tendenti a 0) dx

1

potremmo affermare che la tensione sulla faccia destra dx

e 2

1

sarebbe uguale in modulo ma opposta in verso alla

tensione sulla faccia di sinistra.

Tuttavia, poiché il cubo che stiamo considerando ha dimensioni finite, tale affermazione non è

valida. Infatti la tensione sulla faccia di sinistra può essere descritta come segue:

( , , )

T x x x

22 1 2 3 dx

mentre la tensione sulla faccia destra, causa lo spostamento (distanza tra le due facce), sarà:

2

+

( , , )

T x x dx x

22 1 2 2 3 dx

Se consideriamo infinitesima la distanza , possiamo esprimere la tensione sulla faccia destra co-

2 dx

me la tensione sulla faccia sinistra più la sua derivata (dovuta alla distanza infinitesima ), cioè:

2

∂

T

+ = +

( , , ) ( , , ) 22

T x x dx x T x x x dx

22 1 2 2 3 22 1 2 3 2

∂

x 2

Lo stesso concetto può essere esteso a tutte le altre ∂ ∂

T T

+ = + ∂

32 23

T dx T dx T

facce e tensioni . Ragionando 32 2 23 3 +

(normali e tangenziali) ∂ ∂ 32

T dx b

x x e 32 2

2 3 ∂

x

3

allo stesso modo vediamo, per fare il bilancio delle 2

e

forze presenti nel piano in direzione , quali

e e

2 3 2 T

21

sono le tensioni/forze da considerare: ∂

T

- la tensione (tangenziale) sulla faccia di nor- T

T + 22

T dx

21 22 22 2

∂

x

∂

T

+

e

male e la corrispondente sulla fac-

T dx dx

21 2

1 ∂

21 1 3

x

1 ∂ T e

e dx

cia di normale a distanza ; +

(rosso) 21

T dx 2

1 1 dx

21 1

∂ x 1

T

- la tensione (normale) sulla faccia di normale 1 dx

e

22 2

1

∂

T

+

e e la corrispondente sulla faccia

T dx =

22 T T

∂

2 22 2

x 32 23

2

e dx

di normale a distanza ;

(viola)

2 2 ∂ T

+

- la tensione (tangenziale) sulla faccia di nor-male e la corrispondente sulla fac-

T e T dx

23

∂

23 3 23 3

x 3

cia di normale a distanza da notare che queste tensioni, per la simmetria del tensore

e dx (verde);

3 3 ∂ T

+

T e

, sono uguali alle tensioni sulla faccia di normale e la corrispondente sulla

T T dx

32

∂

32 2 32 2

x 2

e dx

a distanza ;

faccia di normale (arancione)

2 2

e

- la componente in direzione della forza di volume .

b

2 8/20

3 SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

Per essere inserite correttamente (come forze) nell’equazione di bilancio delle forze, ciascuna delle

tensioni deve essere moltiplicata per la superficie cui essa è applicata (la forza di volume per il

volume cui è applicata). Il segno di ciascuna forza all’interno dell’equazione sarà positivo se la ten-

sione/forza ha verso concorde con il sistema di riferimento, negativo se discorde.

Da quanto detto ricaviamo la seguente equazione di bilancio:

∂ ∂

T T

− + + − + + −

( )

T dx dx (

T dx ) dx dx (

T ) dx dx (

T dx ) dx dx (

T ) dx dx

21 22

∂ ∂

21 2 3 21 1 2 3 22 1 3 22 2 1 3 23 1 2

x x

1 2

∂

T

+ + + =

(

T dx ) dx dx (

b ) dx dx dx 0

23

∂

23 3 1 2 2 1 2 3

x 3

Accorpando le varie superfici e semplificando i termini uguali avremo:

∂

∂ ∂ T

T T

+ + + =

( dx ) dx dx ( dx ) dx dx ( dx ) dx dx (

b ) dx dx dx 0

21 22 23

∂ ∂ ∂

1 2 3 2 1 3 3 1 2 2 1 2 3

x x x

1 2 3

Dividendo tutta l'

equazione per il volume del cubetto dx dx dx :

1 2 3

∂

∂ ∂ T

T T

+ + + =

23 e

b 0 otteniamo il bilancio delle forze in direzione .

21 22 2 2

∂ ∂ ∂

x x x

1 2 3

Applicando lo stesso criterio ed eseguendo il bilancio delle forze in tutte le direzioni, alla fine

otterremo le seguenti equazioni:

∂

∂ ∂ T

T T

+ + + =

13 e

b 0 (bilancio in direzione )

11 12 1 1

∂ ∂ ∂

x x x

1 2 3

∂

∂ ∂ T

T T

+ + + =

23 e

b 0 (bilancio in direzione )

21 22 2 2

∂ ∂ ∂

x x x

1 2 3

∂ ∂ ∂

T T T

+ + + =

31 32 33 b 0 (bilancio in direzione e )

3 3

∂ ∂ ∂

x x x

1 2 3

Che, generalizzando, possono essere scritte come segue:

∂

T

3 ij + =

b 0 (e prendono il nome di equazioni indefinite di equilibrio)

i

∂

x

=

j 1 j ∂

T

ij T

Il termine è anche detto divergenza del tensore , pertanto, la notazione compatta delle

∂

x j

equazioni indefinite di equilibrio è la seguente:

+ =

T

div b 0 EQUAZIONI INDEFINITE DI EQUILIBRIO

( )

Tali equazioni ci dicono, note le forze di volume, come variano le tensioni all’interno di un corpo

nelle 3 direzioni dello spazio. 9/20

3 SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

IL PROBLEMA DI DE SAINT-VENANT

Per trattare il problema di De Saint-Venant dobbiamo

assumere preliminarmente le seguenti ipotesi:

- Consideriamo un corpo tridimensionale di forma cilindrica;

- Il materiale di cui è composto è omogeneo (densità unifor-

me) e isotropo (il materiale è uguale in tutte le direzioni);

=

b 0

- Sul corpo non agiscono forze di volume (cioè ) ma

solo forze applicate alle due basi poste alle estremità del

cilindro.

Chiamiamo: =

B la base posta all’ascissa z 0

0 =

B la base posta all’ascissa z L

L

Le forze applicate alle basi sono forze per unità di superficie. (Del tutto analoghe alle forze che due areole

poste su due facce all’interno di un corpo sezionato si scambiano a vicenda, come visto in precedenza).

Chiameremo:

=

t la forza applicata sulla generica areola sulla base B

0 0

=

t B

la forza applicata alla generica areola sulla base

L L

=

t la forza risultante complessivamente applicata sulla base B

0 0

=

t B

la forza risultante complessivamente applicata sulla base

L L

t B

La forza risultante t ( ) sarà data dall’integrale, esteso alla base B ( ), di tutte le forze

L L

0 0

t

applicate t ( ) sulle generiche areole dA, cioè:

L

0 =

= t

t t dA t dA

L

0 0 L

B B

0 L

Ovviamente le forze applicate sulle due basi devono rispettare l’equilibrio: la somma delle forze

risultanti e la somma dei momenti risultanti devono pertanto essere entrambe nulle.

L’equilibrio delle forze sarà dato dalla somma delle forze risultanti, cioè:

+ = (equilibrio delle forze)

t dA t dA 0

0 L

B B

0 L

L’equilibrio dei momenti sarà invece dato dalla somma dei momenti risultanti, cioè, posto il polo

sulla base B , e posto il vettore posizione del punto di applicazione della tensione t rispetto al

r 0

0

polo (ovvero la posizione dell’areola dA), sarà il seguente:

× + + × = (equilibrio dei momenti)

r t dA ( r L e ) t dA 0

0 L

B B

0 L B

Nel disegno abbiamo espresso con il vettore L la posizione dell’areola dA, sulla base , rispetto al

L

B . Dalle proprietà dei vettori, il vettore L può essere scomposto nella somma

polo posto sulla base 0 10/20

3 SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

vettoriale della proiezione di L in direzione e, più il vettore posizione r: in pratica è come se avessi-

B

mo inizialmente spostato il polo sulla base e poi riutilizzato il vettore posizione r.

L

Questo tipo di decomposizione ci suggerisce un modo per

esprimere la posizione di un generico punto X del cilindro.

La sua posizione avrà in generale coordinate:

=

X ( x , y , z )

e potrà essere espressa anche come:

= +

X ( x , y , 0 ) ( 0

, 0

, z )

In tal modo abbiamo espresso la posizione di X come somma di due vettori: un vettore appartenente

al piano della sezione passante per X e un vettore assiale che ci indica la posizione della sezione.

t :

Anche le tensioni possono essere utilmente espresse in questo modo, infatti il vettore tensione L

τ τ σ

=

t ( , , )

L x y

è costituito dalla somma di due vettori: una componente tangenziale appartenente al piano e una

componente assiale, cioè:

τ τ σ

= +

t ( , , 0 ) ( 0

, 0

, 1

)

L x y

Definiamo ora una serie di quantità:

Consideriamo il cilindro rappresentato a lato.

Sulle due basi sono applicate dall’esterno:

t sulla base B

- le tensioni 0 0

t B

- le tensioni sulla base

L L e

z

Immaginiamo di sezionare il cilindro nell’ascissa generica con un piano di normale (quindi

normale all’asse del cilindro).

Sulle due facce formatesi dal taglio, sono presenti delle tensioni interne (applicate sulle generiche

dA

areole ) che le due facce si scambiano reciprocamente.

Come le tensioni esterne, anche le tensioni interne possono essere scomposte in