03 Scienza delle Costruzioni - Tensione Problema di Saint Venant

3 SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

TENSIONE .......................................................................................................................................... 2

TEOREMA DI CAUCHY ................................................................................................................... 3

TEOREMA ...................................................................................................................................... 3

DIMOSTRAZIONE DEL TEOREMA DI CAUCHY......................................................................... 4

T

SIMMETRIA DEL TENSORE ........................................................................................................ 7

EQUAZIONI INDEFINITE DI EQUILIBRIO ................................................................................... 8

IL PROBLEMA DI DE SAINT-VENANT ..................................................................................... 10

SFORZO ASSIALE ....................................................................................................................... 11

SFORZO DI TAGLIO ................................................................................................................... 12

MOMENTO FLETTENTE ............................................................................................................ 12

MOMENTO TORCENTE ............................................................................................................. 13

EQUAZIONI DI EQUILIBRIO NEL PROBLEMA DI SAINT VENANT ...................................... 14

PRINCIPIO DI DE SAINT VENANT ............................................................................................. 17

IPOTESI DI CLEBSCH – SAINT VENANT ................................................................................... 18

1/20

3 SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

CONTINUI DI CAUCHY – TENSIONE

Consideriamo una trave come in figura. Se applichiamo una

forza assiale F all’estremità, all'

interno della trave genera uno

sforzo assiale N pari alla forza applicata dall’esterno.

Tagliando idealmente la trave ad una generica ascissa, vedre-

mo che le due facce così ricavate sono formate da tanti punti

del piano. Ogni punto che si trova sulla faccia del piano scam-

bia, col punto corrispondente sull’altra faccia, delle forze.

In particolare, la somma di tutte le forze che le coppie di punti

si scambiano darà come risultato la forza F.

Possiamo considerare i punti come delle areole poste sulle due

facce: ognuna di queste areole scambia con l’areola corrispon-

dente sull'

altra faccia un certo sistema di forze più o meno

complesso.

Andiamo ora a studiare come sono fatte queste forze e come,

gli sforzi interni N, T ed M, possono essere “spacchettati” in

forze “elementari” che chiameremo “tensioni”.

TENSIONE

Consideriamo una trave sezionata come in figura e una areola

∆ ∆

centrata nel punto . L’areola scambia, con la corri-

A P A ∆ che rap-

spondente areola sull’altra faccia, una certa forza F

presenta la somma di tutte le forze elementari che ciascun

punto dell’areola scambia con il corrispondente punto

sull’areola della faccia opposta.

TENSIONE

Chiameremo il vettore così definito:

t

∆

F N

= lim

t ∆ 2

m

A

∆ →

A 0 ∆A → ∆ ∆

Cioè il limite, per 0 , del rapporto tra la forza F e l’areola A .

La tensione è quindi dimensionalmente una forza su unità di superficie.

Per valutare la tensione localizzata nel generico punto P dobbiamo quindi considerare il limite per

un’areola sufficientemente piccola. 2/20

3 SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

TEOREMA DI CAUCHY

Le seguenti considerazioni valgono in generale per tutti i corpi deformabi-

li, qualunque forma essi abbiano.

Consideriamo un generico corpo soggetto a delle forze, come rappresenta-

∆ A presenti

to. Eseguendo un taglio immaginario, vedremo che le areole

su ciascuna delle due facce risultanti si scambiano reciprocamente delle

∆

forze F .

Immaginiamo ad esempio un corpo rettangolare sul quale effettuiamo

verticalmente un taglio nel punto P (punto corrispondente al baricentro

del rettangolo): sulla faccia sinistra, in corrispondenza nel punto P,

avremo un certo sistema di forze che dovrà essere equilibrato dalle forze

presenti sulla faccia destra.

Se per lo stesso corpo effettuiamo un taglio, sempre passante per P, ma

rispetto ad una superficie con inclinazione differente rispetto alla verti-

cale, vedremo che nel punto P avremo sempre un sistema di forze equili-

brato dalle forze presenti sulla faccia opposta, ma queste forze saranno

differenti: possiamo quindi affermare che la tensione dipende, oltre che

Σ

dal punto P, anche dalla superficie di taglio che stiamo considerando.

Quindi:

( )

Σ Σ

t P , (

La tensione è funzione del punto P e della superficie di taglio )

Per enunciare il Teorema di Cauchy dobbiamo assumere prima

Ipotesi di Cauchy la tensione

l’ (indimostrabile) secondo la quale t

P

dipende dalla normale alla superficie tangente nel punto

n . n

Σ Σ

(la tensione quindi non dipende dalla generica sezione di taglio su tutta

la superficie, ma dall’orientamento locale della superficie di taglio).

Quindi:

( ) ( )

Σ =

t P , t P , n

Σ

(Pertanto tutte le superfici di taglio che condividono la stessa normale avranno tutte la stessa tensione.)

TEOREMA n

Il Teorema di Cauchy afferma che la dipendenza della tensione t dal vettore normale è lineare:

Σ

( ) nel punto tale che il prodotto tra il tensore ( ) e

esiste quindi un “tensore della tensione” P P P

n

il vettore normale , è uguale alla tensione . Cioè esiste un tensore tale che:

t

Σ

( )

Σ =

t P , ( P ) n (Teorema di Cauchy)

Σ

Lo stesso teorema, scritto per ciascuna componente della tensione , è il seguente:

t

= T

t n

i ij j

i

Il teorema in sostanza afferma l’esistenza, in ogni punto, di una funzione lineare (la matrice ) che

n

associa il vettore al vettore , e che, conoscendo il tensore della tensione , è possibile

t

Σ n

conoscere la tensione in qualunque punto e per qualunque normale .

t P Σ 3/20

3 SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

DIMOSTRAZIONE DEL TEOREMA DI CAUCHY

Il Teorema di Cauchy può essere dimostrato effettuando il bilancio delle

forze sul TETRAEDRO DI CAUCHY. ∆

Consideriamo, lungo la superficie di taglio, una areola come raffigurata

A

∆

a lato. Su essa è presente il sistema di forze che, diviso la superficie

F

∆

dell’areola , è rappresentato dal vettore tensione . Abbiamo inoltre la

A t

∆

normale all'

areola .

n A

Estraiamo, attraverso tre tagli ideali, il tetraedro di cauchy da

questa superficie e poniamo l’origine degli assi sul vertice

∆

retto del tetraedro: l’areola è rappresentata dalla superfi-

A

cie inclinata del tetraedro.

Tracciamo inoltre sulla faccia inclinata la normale e il vet-

n

tore tensione .

t

Vediamo ora quali altre forze compaiono nel tetraedro.

Dato che la tensione proviene dalla faccia corrispondente

t

all’areola che stiamo considerando, avendo effettuato altri tre

tagli per estrarre il tetraedro, avremo, per ogni taglio, delle

tensioni derivanti dalle facce opposte a ciascun taglio.

Avremo quindi le seguenti tensioni: −

( )

A t e

- per la faccia nel piano avremo la tensione ;

e e

1 2 3 1

−

( )

A t e

- per la faccia nel piano avremo la tensione ;

e e

2 1 3 2

−

e e

- per la faccia nel piano avremo la tensione ( ) .

A t e

3 1 2 3

In generale possono essere presenti anche delle forze di volume (legate alla massa), ad esempio la

b (forza per unità di volume). Questo tipo di forze sarà applicato nel baricentro del

forza peso

tetraedro. (vedremo che tali forze di volume sono comunque ininfluenti ai nostri scopi)

Facciamo ora il bilancio delle forze all’equilibrio.

Poiché nel bilancio devono comparire soltanto forze, moltiplicheremo le tensioni per le rispettive

superfici cui sono applicate e la forza di volume per il volume a cui è applicata, quindi avremo:

∆ + ∆ + − ∆ + − ∆ + − ∆ =

b V t ( n ) A t ( e ) A t ( e ) A t ( e ) A 0

1 1 2 2 3 3

ε

Ammettiamo ora che sia la dimensione caratteristica del tetraedro (dimensione massima). Se la

ε ε →

dimensione caratteristica del tetraedro diventa infinitesima, cioè 0 , al limite vedremo che il

ε 3

volume, poiché dipende da , tenderà ad annullarsi prima delle superfici, che dipendono invece da

ε 2 . Le forze di volume possono quindi essere trascurate rispetto alle forze di superficie:

b∆

V

trascuriamo quindi il termine .

Nel bilancio delle forze restano dunque soltanto forze di superficie:

∆ + − ∆ + − ∆ + − ∆ =

( ) ( ) ( ) ( ) 0

t n A t e A t e A t e A

1 1 2 2 3 3

∆

dividiamo tutto per :

A ∆

∆ ∆

∆ A

A A

A 3

1 2

+ − + − + − =

( ) ( ) ( ) ( ) 0

t n t e t e t e

1 2 3

∆ ∆ ∆ ∆

A A A A 4/20

3 SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

Facciamo ora le seguenti osservazioni:

− − −

t ( e ) t ( e )

Le tensioni , , ( ) rappresentano le tensioni presenti sulle facce aventi normali

t e

1 2 3

− − −

e e

, , . Sostanzialmente esse corrispondono al negativo delle tensioni presenti sulle facce

e

1 2 3

e e

di normali , , . In sostanza stiamo affermando che valgono le seguenti uguaglianze:

e

1 2 3

− = −

t ( e ) t ( e )

1 1

− = −

t ( e ) t ( e )

2 2

− = −

( ) ( )

t e t e

3 3 t (n )

Tornando all’equazione, cambiando di segno dove necessario e portando a primo membro ,

otteniamo la seguente uguaglianza: ∆

∆ ∆ A

A A 3

1 2

= + +

t ( n ) t ( e ) t ( e ) t ( e )

1 2 3

∆ ∆ ∆

A A A

Quindi, se conosciamo le tensioni ( ), ( ), ( ) e i rapporti delle aree del

t e t e t e

1 2 3

tetraedro, siamo in grado di ricavare la tensione applicata alla faccia di normale

t (n )

: questo significa che la tensione sulla faccia è una combinazione linea-

n n

re delle tensioni presenti sulle altre facce coordinate.

Vediamo di capire cosa sono i rapporti delle aree, facendo una

rappresentazione bidimensionale del tetraedro.

In questo modo capiamo immediatamente che i rapporti delle aree,

sono in effetti i rapporti tra i cateti e l’ipotenusa di un triangolo:

rappresentano quindi seni e coseni di angoli.

Per le proprietà dei triangoli simili, i coseni direttori (componenti

∆

, , ) del versore di (vettore normale alla faccia si

n n n n A

1 2 3

lunghezza unitaria) corrisponderanno a tali rapporti, quindi:

∆ ∆ ∆

A n A n A n

= = =

1 1 2 2 3 3

∆ ∆ ∆

A 1 A 1 A 1

Abbiamo quindi capito che i rapporti delle aree equivalgono ai coseni direttori del versore di n .

Sostituendo tale risultato nell’equazione di bilancio avremo:

= + +

t ( n ) t ( e ) n t ( e ) n t ( e ) n

1 1 2 2 3 3

Tale espressione può essere riscritta in forma di prodotto tra matrice e vettore:

n

1

( )

= t ( e ) t ( e ) t ( e ) n

t (n ) 1 2 3 2

n

3 t (n )

Quindi, come volevamo dimostrare, la tensione è uguale al prodotto del tensore della tensione

T n

per il vettore , cioè:

= T

t ( n ) n (Abbiamo ottenuto il Teorema di Cauchy, c.v.d.) 5/20

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T

Facciamo alcune considerazioni sul tensore della tensione .

T

Un generico elemento del tensore , può essere scritto in forma generale come segue:

&