Scienza delle costruzioni - Forza normale semplice

Caso n^o 1: forza normale semplice

Azioni sulle basi

Per il postulato di Saint-Venant, posso ipotizzare:
̂f₃ = 0, ̂f₁ = ̂f₂ = 0
Ma t.c. ̂M₁ = ̂M₂ = 0
E quindi ˔N noto ⇒ ˔N = ∫_A ̂f₃ dA
Quanto varrà ̂f₃?

1. ̂f₃ = σ₃₃ su x₃ = ℓ

   Cosa so di ̂f₃?
   Poiché σ₃₁ = σ₃₂ = 0 nella sezione x₃ = ℓ, lo saranno in tutta la trave e σ₃₃, unica componente non nulla di σ_ij, sarà:

   σ₃₃ = a₀ + bx₁ + cx₂
   Devo perciò trovare a, b, c.
   Ñ = ∫_Aσ₃₃dA = ∫_A(a + bx₁ + cx₂)dA = aA => a = Ñ/A = N/A
   &Mtilde;₁ = ∫_Aσ₃₃x₂dA = ∫_A(bx₁x₂ + cx₂²)dA = bJ₁₂ + cJ₂ = 0
   &Mtilde;₂ = ∫_Aσ₃₃x₁dA = ∫_A(bx₁² + cx₁x₂)dA = - (bJ₂₂ + cJ₁₂) = 0

   Soluzione: Solo se b, c = 0
   Conclusione: σ₃₃ = a = Ñ/A = N/A ed è costante in tutta la trave
   σ_ij = Posso ipotizzare:

2. Quanto vale ε_ij?
   

   Equazioni costitutive:
   ε_ij = ¹/_E [(1+ν)σ_ij - νIσ_ij]
   Per i ≠ j => ε_ij = 0
   Per i = j = 1 => ¹/_E [-νσ₃₃] = -ν^Ń/_EA = -νε
   Per i = j = 3
   ε_ij = ¹/_E [σ₃₃ + νσ₃₃ - νσ₃₃] = ^Ń/_EA = ε
   Conclusione: ε_ij = -νε
   0 0 -νε
   0 0
   ε

3. Quanto vale u_i?
   Equazioni di congruenza:
   ε_ij = ¹/₂ (u_i,j + u_j,i)
   I calcoli per arrivare alla soluzione sono molti, ma anche a lezione li abbiamo saltati.
   Risultato finale:
   u₁ = -vεx₁
   u₂ = -vεx₂
   u₃ = εx₃
   Cosa vuol dire? Facciamo un passo indietro.
   Sia C_o la configurazione assunta da un corpo B nell'istante t=0 e C' quella assunta dallo stesso corpo in un successivo istante t.
   Schema:
   Vale r' = r'(T,t)
   r' = r + u   →   x_j' = x_j + u_j
   Ora possiamo capire cosa capita al corpo!
   Es. Ogni linea //x₃
   Δl = ∫₀^l ε₃₃ d_x3
   L → coeff dilatazione lineare
   ε₃₃ = ^dl'-dl⁄_dl
   Nel caso di deformazioni infinitesime ε₃₃ = ε₃₃ = N/EA
   Δl = ∫^e₀ ^N⁄_EA dx₃
   E come varia l'area?
   Coeff dilataz superficiale
   ΔA = ∫_A (ε₁₁ + ε₂₂) dA = ∫_A (^{ν N}⁄_EA + N^ν⁄_EA) dA
   = ∫_A -2ν ^N⁄_EA dA . 2ν ^N⁄_E
   ΔV = ∫_A (ε₁₁ + ε₂₂ + ε₃₃) = (4 - 2ν) ^Nν⁄_E
   Se N̂ > 0 ⇒ Δl > 0
   ΔA < 0
   ΔV < 0
   E ad un punto generico?
   x’₁ = x₁ + u₁ = (1 - νε) x₁
   x’₂ = x₂ + u₂ = (1 - νε) x₂
   x’₃ = x₃ + u₂ = (1 + ε) x₃
   Le sez piane restano piane, compiendo una semplice traslazione lungo x₃.
   E per un punto con x₁≠0, x₂≠0.
   Come si vede:
   x₂’^<x₁
   x₂’^<x₂
   u₂ = ^x₂/_u1 = tg α^x₂/_x1
   Il punto va a finire sulla congiungente l'origine degli assi. Se Ñ > 0, altrimenti è il contrario.
   Di quanto si sposta?
   |u| = √u₁² + u₂² = √ε √x₁² + x₂² = √εR
   La quantità è proporzionale alla sua distanza dal baricentro.

Lavoro di deformazione

1. Energia elastica totale:
   ϕ = ¹/₂ σ_ij ε_ij
   Per noi ϕ = ¹/₂ σ₃₃ ε₃₃ = ¹/₂ ^N/_A ^N/_EA = ¹/₂ ^N2/_EA²
   L_d = ∫_V ϕ dV = ¹/₂ ^N2/_EA² · Aℓ = ¹/₂ ^{N2 ℓ}/_EA
   Clapeyron:
   "Il lavoro compiuto dal sistema di forze applicate a un corpo elastico lineare è uguale alla metà del lavoro che le forze compirebbero se agissero fin dall'inizio con la loro intensità finale."

(Tralascio la dimostrazione) Δℓde triangolo