Appunti Scienza delle Costruzioni completi

Cinematica dei corpi rigidi

Corpo rigido: un corpo i cui punti si mantengono sempre a distanza invariata.

Spostamento del punto: un punto libero nello spazio subisce uno spostamento s(P).

(P'-O) = (P-O) + s(P)

u(P) v(P) w(P) → 3 gdl

u,v,w si dicono parametri lagrangiani.

Cinematica del corpo rigido: un corpo rigido subisce uno spostamento s(P).

s(P) = - R(1-cosθ)λ + λx̂nj^{^}

per piccole spostamenti sinθ≈θ, cosθ≈1

quindi s(P) = Rθ j^{^}

usando j^{^} = k^{^} ∧

s_xb(WO)

w_xb(P - O)

1

sinα cotgα

v - cosθ i^{^n} - i^{^} + θ_y v_o

• u(O)
• v(O)
• w(O)
• x_o y_o g_bo x_cc x_iR
• w_P
• x_qR g_y sub^_o

proiezionidestra in i^{^}

→ s(P) = s(O) + vj^{^}

• nel piano in i^{^}

Problema Cinematico

- Lo studio cinetico dei vincoli conduce ad un sistema lineare di V eq. di vincoli in L proiett. Rappresentando l'incognita in forma matriciale:

• vettore dei elementi incogniti noti
• matrice dei parametri di proiezione

- Poiché i vincoli efficaci sono perciò in numero indipendenti poiché

Problema Statico

• Una struttura è in equilibrio se il sistema di forze e momenti, di questa risulta (all'esterno vincolanti), agenti su ciascun parte, ha risultante nulla e momento risultante nulla.
• Se un corpo A esercita una forza sul corpo B allora B applica una forza A con verso e forza uguale e contraria (Principio azione-reazione).

Risolvere il problema statico conduce quindi ad un sistema algebrico lineare di L equazioni in v incognite:

• vettore condizioni note
• vettore reazioni vincolari incognite
• matrice statica

- Confrontando

- Come per lo cinematico

Classificazione statica delle strutture:

• Labili: impossibile
• Isostatiche: determinato
• Iperstatiche: indeterminato

Principio di Sovrapposizione degli Effetti

Dato una struttura sottoposta a più carichi, il principio di sovrapp degli effetti garantisce che la somma delle reazioni vincolari derivante isolando ogni carico singolarmente dà le condizioni indicate dalla struttura complessiva caricato. DIM.

Infatti per 3 carichi F1, F2, F3 ...

Principio dei Lavori Virtuali

ℓ = Σ_j δ_j z_j + Σ_i f_i y_i (5.6)

forma compatta: ℓ = x̅ δ + f̅ x̅ (5.7)

• Teorema dei Lavori Virtuali:

  Se un sistema è in equilibrio (cioè ΔẊ + Ẋ = 0) e un sistema di spostamenti Ẋ̅ congruenti (cioè BẊ = 0), allora il lavoro virtuale è nullo.

  Dim: x̅ δ = x̅ bẋ + f̅ x̅ = x̅ f̅ + z̅ x - δẋ - Aẋ = x̅ (bẋ - Aẋ) = 0, ⇒ bẋ - Aẋ = 0 ⇒ BẊ = j

• Teorema delle Forze Virtuali:

  Se un sistema è in equilibrio e un sistema di spostamenti Ẋ̅ congruenti (cioè BẊ = 0), allora il lavoro virtuale è nullo.

  Dim: x̅ δ = x̅ bẋ + f̅ x̅ = x̅ f̅ + z̅ x - δẋ - Aẋ = x̅ (bẋ - Aẋ) = 0, ⇒ BẊ - Aẋ = 0 ⇒ BẊ = j

• Teorema degli Spostamenti Virtuali:

  Dato un sistema con forze f, se per qualsiasi sistema di spostamenti Ẋ̅ congruenti (cioè BẊ = 0), allora il lavoro virtuale è nullo.

  Dim: x̅ δ = 2x f̅ x̅ j x̅ bẋ + f̅ x̅ = ẍ bẋ + f⋅ x̅ = x̅ j ẍ ẍ bẋ = f̅ x̅ + ẍ f̅ = 0, ⇒ δẋ - f̅ = 0

Geometria delle Masse

• Massa Totale

  Momento di x': la massa totale è l'area della figura piana.

  Misura: H = ∫ dΩ.

• Momenti Statici

  Momenti di 1ª ordine: il momento statico di Ω rispetto ad un reticolo x e la somma delle aree per le distanze (col segno) dato: SF ∫ (x, y) dΩ.

  • Rispetto agli assi X, Y: S_x = ∫y dΩ, S_y = ∫x dΩ.
  • Il momento statico è additivo → H = Ω₁ + Ω₂ → S_F = S_x + S_F.
  • Se Ω è traslata, allora il momento statico è invariante come esposto:

  S_x = ∫ (y' + d) Ω = (y - d)d Ω = ∫ y dΩ - ∫ d dΩ = S_x - H d.

  Oppure, se c'è una massa ed il momento statico è rispetto ad un punto R si conserva i momenti statici rispetto tutti i reticoli di R.

  Se Ω ruotasse, allora il momento statico è invariante come esposto:

  l vale a circolatore dei punti P nei reticoli (x'y') in termine per quelli originali (x,y):

  x' OB': OA' N'A'B' ▻ O'A' DÅB' = OA cosω + aᵣ sinω = x cosω + ysinω

  y' ₽θ B': Bθ Cθ ⊚ Bθ Aθ Aθ hul casω - B: P.Cosω + θ Sinaθ = etc...

  Allora: S_x = ∫ y' dΩ = ∫ (ycosω+ xsinω) dΩ = cosφj d j + SθdΩ = S_xx - S_yx.

  Enigendomen torero: S_y, ←˚bivb˚biem conformi ≿ mom.stkic ≿ Φ = a compere anche questo soňk S_x, S_y, etc.

Confrontando: risultato proprio (X_ff, Y_ff, Z_ff, V_ff) con il modo che:

E_xx = ^Y_z/_Xxx (E_yy) = ^Y_xa/_Xyy (E_zz) = ^Y_zz/_Yzz

Coefficiente di variazione di area: ΔA_nn = ΔA_xi - Δl_xi

y esterno co. S³(p) (

si vede che:

A_k = (1 + ξ_f)(1 + η_y)(1 + I)² - (1 + ε_y η_y)X_y

ΔA_θ = ε_x Θ_y si roba El

surrendo proprio il rimanente della variazione del volume a δ_o.

Coefficiente di variazione di volume: Θ = ^{V_p - V_i}/_Vi

si ha: V_i = x² y², V^{/ V_i} ≙ (1 + ε_x)(1 + ε_y)(1 + ε_zi) ...

Θ = ξ_x + ε_y + ξ_zi ...

Relazione generale:

DX confronta di ξ con ňˆmln ≈ ε_y η_n, si vede che:

ε = [

• ε_tow, ε_j
• Δ_jk, δ

rad ξ e potevole χ_so

direzioni ξ_mln = m_λ x ξ_f , γ_nm ≈ ξ^m x ξ_n 2xm÷ξ^m ξⁿ

Tensore spesso e observazione:

porto ε_m ≝ tolleranza mista lineare ...

ξ = [

1. E_^m o o
2. o E_^m o
3. o o E_^m

x_ff , y_ff , z_ff ex - E_{nj_sub> ξxy}

_Yyy =m

λx

dev_standard ε_o supp dev_diventar mmg

s^ubert = [Deviaž ovulo] == cm vol./_sf

stesso evedo devs...

svolgendo qualche regolo

_geof = g³ oscurax³

distrib, Emn, ≈ e.mrna

si rende ch:

goscuraxg^sf ls_g^q (x) ÷ m^min d_logM ≈ I ^-∞ ÷ =0

อ่าน (psto specuale) / m² = ε

cosi penso da :

la parte specifica è responsabile della variazione

in volume,

la parte deviatica è responsabile della variazione di forma

(dovuto su sup-rungi g_r).