Scienza delle costruzioni - temi esame

ESERCIZI SULLA MECCANICA DEI SOLIDI

ESERCIZIO 1

Assegnato nel punto P di un corpo continuo C il seguente tensore della tensione, si

determini il vettore della tensione sulla giacitura avente per normale n

 

1 2 1 [ ]

[ ] 3 3 3

 

σ 2 = + +

= ; n i j k

2 3 3 t cm

 

ij 26 26 26

 

1 3 4

 

versori degli assi cartesiani ortogonali .

i, j, k x , y , z

Dal teorema di Cauchy si ottiene:

 12

σ σ σ

= + + = 2

S n n n t cm

 nx xx x yx y zx z 26



 24

σ σ σ

= + + = 2

S n n n t cm

 ny xy x yy y zy z 26

 24

 σ σ σ

= + + = 2

S n n n t cm

 nz xz x yz y zz z

 26

ESERCIZIO 2 σ nel riferimento . Determinare il vettore della tensione

E’ assegnato il tensore x , y , z

ij + + − =

agente sul piano di equazione 2 x 2 y 3 z 4 0

 

1 2 3 [ ]

[ ]  

σ 2

= ;

2 1 4 t cm

 

ij  

3 4 1

 

Dalla geometria ricordiamo che il versore perpendicolare ad un piano di equazione

n

+ + + =

ax by cz d 0 z

ha la forma seguente n

a b c

= + +

n i j k

2 2 2 2 2 2 2 2 2

+ + + + + +

a b c a b c a b c

in cui x 1

a b c

=

= =

; n ; ;

n n

y

x z

2 2 2 2 2 2 2 2 2

+ + + + + +

a b c a b c a b c

Si ha quindi:

2 2 3

= = =

n ; n ; n

x y z

17 17 17

 2 2 3 15

= ⋅ + ⋅ + ⋅ =

S 1 2 3

 nx 17 17 17 17



 2 2 3 18

= ⋅ + ⋅ + ⋅ =

S 2 1 4

 ny 17 17 17 17

 2 2 3 17

 = ⋅ + ⋅ + ⋅ =

S 3 4 1

 nz

 17 17 17 17

15 18 17

= + + .

S i j k

n 17 17 17

ESERCIZIO 3

Verificare se il seguente stato di tensione risulta equilibrato, nell’ipotesi di forze di volume

nulle: ( )

σ σ

= + = −

a x y ; ay

xx xy

σ σ

= = − con = cost.>0

a

az ; ax

yy xz

( )

σ σ

= + =

a x z ; 0

zz yz

Le equazioni indefinite di equilibrio, per forze di volume nulle, sono :

σ σ σ

 + + = ⇒ − + =

a a 0 0

0

xx , x yx , y zx , z

 σ σ σ

+ + = ⇒ + + =

0 0

0 0 0

 xy , x yy , y zy , z



σ σ σ

+ + = ⇒ + + =

- a a 0

0 0

 xz , x yz , y zz , z

Poiché le equazioni indefinite di equilibrio sono verificate, lo stato di tensione assegnato

risulta equilibrato.

ESERCIZIO 4

Scomporre il seguente tensore della tensione nel tensore sferico e nel deviatore della

tensione: 2

 

2 2 1 [ ]

[ ]  

σ 2

= ;

t cm

2 3 3

 

ij  

1 3 4

  σ possiamo decomporlo in due parti:

Dato un tensore ij

0 d

σ σ σ

= + , σ , costituita dalla tensione normale

e precisamente nella sua componente isotropa 0

media , (o tensore sferico):

( ) ( )

σ σ σ σ σ σ

+ + + +

I

1 0

xx yy zz xx yy zz

σ

σ σ σ δ

0 = = = =

tr , in componenti

1 1 1 ij

ij

3 3 3 3

σ . Le componenti del deviatore con indici distinti coincidono

e nel deviatore di tensione d

con le componenti miste del tensore, cioè con le tensioni tangenziali, mentre le I σ

componenti ad indici uguali sono uguali alla differenza della rispettiva componente e .

3







 I

I σ

σ σ σ σ

−

0 0 





 xx xy xz

σ σ σ

  3

3 







xx xy xz

[ ]   I

I σ

σ

σ σ σ σ σ σ σ 





 + −

= = 0 0

 

ij yx yy yz yx yy yz

3

3 







 

σ σ σ I

I 







 

zx zy zz σ

σ σ σ σ −

0 0 





 zx zy zz 3

3 







Quindi: − 









 2 2 1 3 0 0 1 2 1

[ ] 











σ σ σ

0 d

= +

+

=

= 2 3 3 0 3 0 2 0 3













ij ij ij











 1 3 4 0 0 3 1 3 1 











ESERCIZIO 5

Dato il seguente tensore della tensione , determinare la giacitura sulla quale il vettore della

tensione è nullo.

 

0 1 1

[ ]  

σ = .

1 0 1

 

ij  

σ

1 1

 

zz

Su una generica giacitura il vettore della tensione ha componenti 3

( ) σ σ σ

 = + + = +

1 S n n n n n

nx xx x yx y zx z y z



( ) σ σ σ

= + + = +

2 S n n n n n

ny xy x yy y zy z x z



( ) σ σ σ σ

= + + = + +

3 S n n n n n n

nz xz x yz y zz z x y zz z

Imponiamo ora che ciascuna componente del vettore della tensione sia nulla, ossia

= = = 0

S S S

nx ny nz

e otteniamo quindi tre equazioni, che, unite alla condizione geometrica

( ) 2 2 2

+ + =

4 n n n 1

,

x y z σ ,

consentono di determinare e

n , n n .

x y z

zz

Dalla (1) e dalla (2) uguagliate a zero otteniamo

= − = −

e ,

n n n n

z y z x

e sostituendo nella (3) uguagliata a zero,

( )

σ

= − =

n 2 0

.

x zz =

Dobbiamo escludere la soluzione perché insieme alla (1) e alla (2) non soddisfa la

n 0

x

condizione geometrica sui coseni direttori (4). Deve essere uguale a zero il termine

( )

σ − = , che fornisce

2 0

zz

σ = .

2

zz [ ]

σ

σ =

=

Si noti che porre implica .

2 Det 0

zz ij

= − = −

e nella (4)

Sostituendo n n n n

x z y z

1

= = ±

2

3 1 ;

n n

z z 3

e la soluzione finale è la seguente:

1 1 1

= = = ±

; .

n n n

;

m m

x y z

3 3 3

I coseni direttori ottenuti indicano il versore della normale alla giacitura su cui è nullo il

n

=

vettore della tensione ossia dove .

S 0

n 4

ESERCIZIO 5

Determinare le tensioni e le direzioni principali della tensione del seguente tensore della

tensione

 

a a a

[ ]   

 F

σ = = >

con .

a a a a cost 0

  



ij 2 

 L

 

a a 2 a

 

L’equazione caratteristica

σ σ σ

3 2

− + =

-

I II III 0

σ σ σ

ha coefficienti

σ σ σ

= + + = 4

I a

σ xx yy zz

σ σ σ σ σ σ σ σ σ

2 2 2 2

= + + − − − = 2

II a

σ xx yy xx zz yy zz xy xz yz

 

a a a

[ ]      

a a

a a

a a

 

σ 3 3

= = = − + = − + =

a a 0 0

a

a

III Det Det a a a a      

 

σ ij a a

2 2

a a

a a

     

 

2

a a a

 

quindi

( )

σ σ σ

2 2

− + = .

4 a 2 a 0

Le radici dell’equazione caratteristica sono

   

2

2

   

σ σ σ

= + = − =

; ; .

a a 0

2 1

2 1

   

I II III

2

2

   

Le direzioni principali della tensione si ottengono da due qualsiasi delle tre equazioni del

2 2 2

+ + =

seguente sistema, associando ad esse la condizione sui coseni direttori n n n 1 :

x y x

( )

σ σ σ σ

 − + + =

n n n 0

xx x yx y zx z

( )



σ σ σ σ

+ − + =

n n n 0

 xy x yy y zy z

 ( )

σ σ σ σ

+ + − =

n n n 0

 xz x yz y zz z

σ σ

⇒

e sostituendo a per trovare i coseni direttori della prima direzione principale.

I

Scegliendo la prima e la seconda equazione del sistema e associando la condizione

geometrica sui coseni direttori abbiamo: 5



  ( )

 

2

 

 

σ − + + + = ⇒ + + + =

 -

a n an an n an an

0 1 2 0

2 1

 

 

xx Ix Iy Iz Ix Iy Iz

2

  

 

   ( )

 

 2

 

 

+ − + + = ⇒ − + + =

an a a n an an an an

0 1 2 0

2 1

  

 

I Iy Iz Ix Iy Iz

x 2

 

  

 2 2 2 2 2 2

+ + = ⇒ + + =

n n n n n n

1 1

 Ix Iy Iz Ix Iy Iz





Risolviamo e otteniamo:

1 1 2

= ± = ± = ±

; ; ;

n n n

Ix Iy Iz

2 2 2 σ

Procedendo in modo analogo determino , sostituendo nelle equazioni , e

n II II

σ

sostituendo .

n III III

ESERCIZIO 6

Determinare le tensioni e le direzioni principali della tensione del seguente tensore della

tensione

 

1 2 0

[ ]  

t

 

σ = − .

2 1 0 .

 

 

ij 2

 

cm

 

0 0 0

 

= lo stato di tensione è bi-assiale. Posso risolvere applicando il metodo

Poiché III 0

σ

euristico, attraverso la determinazione delle radici dell’equazione secolare, o il metodo

analitico-grafico del cerchio di Mohr.

I modo

σ σ σ

− + =

3 2

I II III

- 0

σ σ σ

= = − =

I II III

0

; 5

; 0

σ σ σ

σ − =

2 5 0

Le tre radici dell’equazione secolare sono

σ σ σ

2 2

= = = −