Scienza delle costruzioni - temi esame

Verifica di sicurezza per una trave soggetta a flessione retta

Nella sezione più sollecitata di una trave, il momento massimo ha valore M e la tensione ammissibile del materiale è σ. Si effettui la verifica di sicurezza conoscendo le dimensioni della sezione rettangolare e la direzione dell'asse di sollecitazione.

Siano B e H rispettivamente la base e l'altezza della sezione rettangolare. Il momento massimo è dato da M = 8000 daN m.

La tensione ammissibile del materiale è σ = 250 daN/cm².

Essendo la flessione retta, l'asse di sollecitazione coincide con un asse principale d'inerzia della sezione, in questo caso l'asse y.

Quando si ha flessione retta, gli assi di sollecitazione e di flessione coincidono. Pertanto, le dimensioni della sezione rettangolare sono B = 53 cm e H = 4 cm.

Il momento d'inerzia della sezione rispetto all'asse x è J = 1333333.3 cm⁴.

La verifica di sicurezza si effettua confrontando il momento massimo M con il momento resistente M_x calcolato come:

M_x = σ * J / y

Dove y è la distanza tra l'asse neutro e l'asse di sollecitazione, che nel caso di flessione retta coincide con l'asse principale d'inerzia. Nel nostro caso, y = H / 2 = 2 cm.

Calcolando il momento resistente:

M_x = (250 daN/cm²) * (1333333.3 cm⁴) / 2 cm = 166666662.5 daN m

La verifica di sicurezza si ottiene confrontando il momento massimo con il momento resistente:

M ≤ M_x

Se la disuguaglianza è verificata, la trave è sicura.

flessione retta l'asse di sollecitazione e l'asse di flessione coincidono, quindi ≡ .s f σ è espressa daLa tensione zzMσ = x yzz J x  H M Hσ σ 2= = ⋅ =x  120 daN/cmzz max zz 2 J 2  x   H M Hσ σ 2= −= ⋅ −= − x   120 daN/cmzz min zz 2 J 2   xσ σ σ= >zz max zz min ammLa verifica di sicurezza non è quindi soddisfatta.

ESERCIZIO 4Verificare una sezione costituita da una HE B 200 soggetta a un momento flettente= ⋅ ⋅5 , inclinato di 30° rispetto all'asse , e determinare l'equazione dell'asse5 10M daN cm xneutro.( )σ 2 4 4= = =2400 5 696 2 003daN cm J cm J cm/ ; . , .amm x y= ° = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅5 5cos 30 5 10 0,866 4,33 10M M daN cm daN cmx = ° = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅5 530 5 10 0,5 2,5 10M M sen daN cm daN cmy MM 433.000 250.000σ y= − =

−x y x y xzz 5.696 2003J Jx yAsse di sollecitazioneM 433.000ψ ψx= − = = ⇒ = − °tg .1,732 60ss M 250.000y= − equazione dell’asse di sollecitazione,1 732s y xAsse di flessioneκ JM 433 . 000 2003y ′ψ ψx x= − = − = − = − ⇒ = − °tg 0 ,609 31 2 0ff κ 250 . 000 5695M Jy y x 6= − equazione asse di flessione,f y 0 609 x σ minzz( )−A 10 , 10 f M x σG maxzzxM ( )−B 10,10n syAsse neutroM Jy x=y xM Jx y ′ψ ψ= ⇒ = °,tg 1 642 58 4 0n n= equazione asse neutro,n y 1 642 x σ sono positivi.La tensione massima è in B, dove entrambi i termini che compongono zzσ = + = 2760,182 1248,127 2008,31 daN cmmaxzz abbia intensità minore di , il suo contributo alla determinazione diN.B.: benchè M My xσ <è maggiore poiché .J Jzz y x σ sono negativi:La tensione minima è in A, dove

entrambi i termini che compongono zzσ 2= − − = −760 ,182 1248 ,127 2008 ,31 Kg / cmzz minLa verifica di sicurezzaσ σ≤maxzz amm 7risulta verificata.

3 Flessione e taglio σPer la determinazione della , legata alla flessione, si veda il punto 2.zzPer la determinazione delle tensioni tangenziali legate al taglio si ricorre alla teoriaapprossimata di Jourawski.σ dovuta al taglio è espressa dalla formula:La tensione tangenziale Tzy y x G′T Sy xσ =zy y ( )bJ b yx NM R ′Aα Q yNella formula precedente i singoli termini rappresentano=) valore del taglio nella sezione considerat a; fissata la sezione il taglio risulta costante.T T1 y′ ′=) momento statico della porzione di sezione sottostant e alla corda considerat a,S A b2 x calcolato rispetto all' asse baricentri co (variabile quindi sulla sezione).x=) lunghezza della corda generica , parallela all' asse , considerat a sulla sezione (variabile

cos .S H y y y b y t H x 2 2 2    H H− + < < - 2s2 s y2 2per       H H 1 H ( )′ = ⋅ − + − − + − − = =      eS H 2 s s 2 s 2 s y y 2 s y b h cos t . 2 s x 2 2 2 2      implica la simmetria rispetto a anche delLa simmetria della sezione rispetto all’asse x xσ .diagramma della tensione tangenziale zyx σ = 2103, 7 daN / cmmaxzyy 9′La tensione risulta massima in corrispondenza dell’asse baricentrico, dove è massimoS xσ si calcola sostituendo nella formula il valore che rende nulla la derivata prima( ymaxzy )della funzione calcolata rispetto a yσ = 2 .103, 7 daN / cmmaxzyESERCIZIO 6Determinare le tensioni principali e le direzioni principali della tensione nei punti indicatidella trave seguente q x hzly y h ) A , ,1 0 01 2  b ) A , ,2 0 02 2   h l−

 =− −C , M , , R0 , 0   2 2 2bh bh bh8 4 8    σ22ql3σ σ α α αzy= = − = = ⇒ = ° ⇒ = °tg0 2 0 2 0 0σ σI II 0 0 0−2bh4 zz yyτII giacitura n σ = 0I σσ σ≡CM I giacitura pr . IIn IIσ σ zII I σ Iy 114 Torsione ( )ω∇ = σ κ ω= −in A0 G y,zx t x( )ω ω+ = −n n yn xn σ κ ω= +G x, ,x x y y x y ,zy t y( )1M ε κ ω= − yt ,zx t x2x G ( )1qM ε κ ω= + xκ t= ,zy t y2t GJσ 0Azx κ= −σ u zyx tzy κ=u zxy t ( )κ ω=u x , yy z tESERCIZIO 6Verificare la resistenza di un elemento a sezione circolare soggetto a un momento= ⋅ =. La sezione dell’elemento ha diametro ed è in acciaiotorcent