Appunti Scienza delle costruzioni

III.

Quando dimostro lo schema di corpo libero, separo tutti i tratti regolari (in cui non ci

sono spigoli, forze o coppie concentrate, vincoli interni). In presenza di punti in cui

convergono due travi (nodi) separiamo anche questi se sul nodo sono applicati

carichi. Nei punti in cui convergono tre travi li separiamo sempre.

Assunzioni costitutive

Cinematica Generali, riguardano tutto il corpo

Equilibrio

Teoria costitutiva

: restrizioni su forze e cambiamenti di configurazione dettate da

vari materiali. () () ()

ß

equazione costituiva => = à

L’ collega lo sforzo e la deformazione con

funzione di risposta costitutiva

.

materiale iperelastico

funzione potenziale

Un è detto se esiste una che è l’energia

È ().

=

elastica tale che

Elasticità lineare à()

Consideriamo piccole deformazioni. Possiamo approssimare espandendola in

= 0.

serie di Taylor attorno a • à()| = ;

s s4?

( )

à() = à() + à()| + () →

s s4? • à() = 0 (sforzo della molla quando non la allungo)

()

ß

= → = (legge di Hooke).

rigidezza

= = ,

A parità di se la rigidezza è bassa, lo sforzo è più basso.

"

ä /

()

= → energia elastica.

/

Elasticità 3D 444⃗

äI4⃗ ä (4⃗

J = ).

Materiali iperelastici Considero solo elasticità lineare -> approssimo

s

ä ä ä ä

±⃗

4

⃗ I4⃗J 4

⃗ I4⃗ 4

⃗ 4

⃗ 4⃗ I^4⃗

(0) ()| 4⃗ä

→ J = + ² + ^J → 4⃗J 4⃗

• I0 = 0

…+⃗ …+⃗4?+

⃗ sforzo residuo => 0

4

⃗ 44⃗

= ℂ ä

⃗ 4444444⃗

4⃗ ä

• ()| ()|

=

+⃗ +⃗ +

⃗ +⃗ +⃗ +⃗ +

⃗

… … 4? … … … 4?

} (81)

= ℂ ∙ ∙ 3

ha componenti. ∙

,

2,8 2,8,>,7 >,7 2,8,>,7 tensore

= ℂ =

tensore del 4° ordine

materiali isotropi,

Considero perciò solo nei di elasticità

risposta elastica tutte le

quali la è uguale in

direzioni

. I materiali non isotropi sono detti

81 2.

anisotropi. Delle componenti ne restano

4

⃗ 44⃗ 4

⃗J⃗²

= ℂ = ± + I → equazione costitutiva per materiale elastico, lineare,

! !

isotropo. ")Š Š

4⃗ 4⃗ 4⃗ 4⃗J⃗

!"

= ℂ = − I → equazione costitutiva inversa.

Š ‹

Ε, → =

modulo di Young, coefficiente di Poisson

costanti elastiche e ())

L n

[ ] [ ] []

Ε = = = ? @ =

modulo di scorrimento , mentre adimensionale.

$ $

m o

Ε

corrisponde al della molla.

…

$$

= − (quanto si “strizza” la sezione trasversale).

…

##

= 2 →

444⃗

444⃗.

tensione di normale dirette come

"/ "/ / 1

"

4

⃗ ä I4⃗ ä 4⃗ 4⃗ 4⃗

= J I J = ℂ ∙ Ε > 0, >

. Affinché sia positiva

…+⃗ /

" materiali

0, −1 < < < 0

. Se tirando, si allunga trasversalmente (

/

auxetici

, molto rari in natura).

Problema elastico

4⃗,

, ⃗ ,

4⃗ .

Dati: su su

n Œ ü4⃗ 4⃗ý.

,

4⃗,

Determinare lo stato elastico:

4⃗ 4⃗

4⃗

+ = 0

⎧ 4444⃗

4⃗ Equazioni di equilibrio

0

=

⎪

⎪ 4⃗4⃗

= ⃗

n Equazione costitutiva

4⃗ ℂ4⃗

=

⎨ " 4444⃗

4⃗

⎪ 4⃗ 0

= (∇ + ∇ ) Equazioni di congruenza

⎪ /

4

⃗

⎩

4⃗ =

B

Œ

4

⃗ 4⃗

4⃗ 15 15

(6 componenti), (6 componenti), (3 componenti) => componenti. Abbiamo

equazioni differenziali con relative condizioni al contorno.

Teorema (di Kirchoff)

soluzione problema elastico unica

Se la del esiste, è .

Strategie di soluzione

1. Formulazione in spostamenti (variabile primaria è lo spostamento)

" 4444⃗

4⃗ 0

= ±∇

4⃗ + ∇ ²

/ " 4444⃗

4⃗ ℂ4⃗ 0

= = ℂ ±∇

4⃗ + ∇ ²

/

4⃗

Trovare tale che:

" 4444⃗ 4⃗ 4⃗

0

? ℂ 4⃗ + ∇ + = 0

±∇ ²@

⎧

⎪ /

" 4444⃗

0

ℂ 4⃗ + ∇ 4⃗ = ⃗

±∇ ² n

⎨

/

⎪ 4

⃗

4⃗

=

B

⎩ Œ ≡ ,

2. Formulazione in sforzi (solo se non ci sono spostamenti, ma solo

n

sforzi su tutta la frontiera).

4⃗

Scegliamo come incognita primaria

4⃗ 4⃗

!"

= ℂ

" 4444⃗

4⃗ 0

= ±∇

4⃗ + ∇ ²

/ 4⃗ 4⃗

!"

= ℂ

Occorre garantire che la deformazione corrispondano uno

" 4444⃗

4⃗

!" 0

4⃗ ℂ = ±∇

4⃗ + ∇ ².

spostamento tale che La deformazione deve soddisfare

/ 4⃗

equazione di compatibilità

l’ : dato , condizione necessaria e sufficiente,

" 4444⃗

4⃗ 4⃗ 4⃗

0

4⃗ = ±∇

4⃗ + ∇ ² = 0

affinché esista tale che è che .

/

4⃗

Trovare tale che:

4⃗

4⃗ 4

⃗

+ = 0 6 9

Ho incognite in equazione => potrebbe

% 4⃗

4⃗

ℂ = 0 non esistere una soluzione

4⃗4⃗ ⃗

=

Problema di Saint-Venant (1885)

Cilindro di sezione costante di materiale elastica lineare.

Metodo semi-inverso

: assegnazione a priori di alcuni caratteri della

soluzione e si determinano quelli mancanti tramite le equazione del

problema.

Geometria e carichi

(0,

= × )

lunghezza, sezione trasversale (semplicemente connesso, non ha

⃗

buchi). campo scalare e campo vettoriale (ho solo le prime due componenti):

=

444⃗ + 444⃗

⃗ = ⃗ + 444⃗

"," " ",/ / 1 1

⃗ = + ⃗ = 444⃗

+ 444⃗

"," /,/ " " / /

⃗ = − 4444⃗

•

= − 444⃗

+ 444⃗

/," ",/ / " " /

4

⃗ 4

⃗

= 0

1. ;

2. Forze di superficie sono applicate solo sulle basi, mantello laterale scarico.

Equilibrio globale 4⃗

+ = 0

∫ ? T

| 444⃗ 444⃗ 444⃗ 444⃗ 444⃗ 4⃗

(

⃗ × + 444⃗ + ⃗) × = ⃗ × I + J +

444⃗ × = 0

∫ ∫

? 1 T ? T 1 T

| |

444⃗ 444⃗ 444⃗ 444⃗

444⃗ = , 44⃗

= , 44444⃗

= ⃗ × ,

44444⃗ = ⃗ ×

Chiamo: ∫ ∫ ∫ ∫

? ? T T ? ? T T

| | | |

4⃗

444⃗

+ 44⃗

= 0 Momento della forza

? T

=> þ

44⃗

rispetto al polo

4

⃗

44444⃗ +

44444⃗ +

444⃗ × 44⃗

= 0 T

? T 1 T

444⃗ 4⃗ )

+ 444⃗ =

444⃗ + ⃗(

∫ ? 1 ? 1

| 4⃗(

)

⃗( = , , )

444⃗

∫

1 " / 1 1

|

4

⃗ )

⃗( = −

444⃗ =

44⃗

)

4444⃗ 4⃗(

+ = 1 ? T

ƒ

=> þ )

44⃗( = −

44444⃗ + × 44⃗

4

⃗

) (

444444⃗ 444⃗( 4444⃗ 4444⃗)

+ + × = 1 ? 1 1 T

4

⃗

44444⃗

+ 44444⃗

+

444⃗ ×

44⃗ = 0 → −

44444⃗ = 44444⃗

+

444⃗ ×

44⃗

Dato che ? T 1 T ? T 1 T

)

4

⃗( 444⃗

=

ƒ )

4

44⃗( 44444⃗ 444⃗

= + ( − ) ×

( )

=

⎧ ( )

=

⎪

⎪ ( )

=

( ) ( )

= − −

⎨

( ) ( )

⎪

= − −

⎪

( )

⎩ =

Richiami di geometria delle aree

baricentro)

centro d’area (o

" |

$

()

= = =

essendo momento statico

∫ ∫

" " / "

| |

w w

" |

#

()

= =

∫

/ /

|

w w

Teorema del trasporto

:

".

= + = (0)

2 "

"

ƒ con (riferito a…)

/.

= + = (0)

2 /

/

Momento di inerzia

// "/

= = = → momento di inerzia mi