Scienza delle Costruzioni - Criteri di verifica

Metodo di Coulomb (o dell'attrito interno)

Secondo questo ormai notissimo metodo, la rottura avviene lungo gli elementi piani nei quali:

_τ ≥ μ (c - _σ)

Tensione tangenziale sull'elemento piano

Tensione normale sull'elemento piano

Commento

In questa formula compaiono _c e _m. Che cosa sono?

• c: Coesione
• m: Coefficiente di attrito interno
• m = tan _ϕ, angolo di attrito interno

Procedura operativa

• Noti m e c, ottengo, nel piano di Mohr, 2 rette: _τ = μ (c - _σ).
• Viene assegnato uno stato di tensione _σ.
• Se ne determinano le tensioni principali _σ1, _σ2, _σ3.
• Si verifica che il più grande dei cerchi di Mohr sia, al più, tangente alle due rette.

Cerchio limite

Secondo questo ormai notissimo metodo, la rottura avviene lungo gli elementi piani nei quali:

τ > μ (c - σ)

Tensione tangenziale sull'elemento piano

Tensione normale sull'elemento piano

Commento

In questa formula compaiono c e m. Che cosa sono?

• c: Coesione
• m: Coefficiente di attrito interno
• m = tan _φ, angolo di attrito interno

Procedura operativa

• Noti m e c, ottengo, nel piano di Mohr, 2 rette: τ ± μ (c - σ).
• Viene assegnato uno stato di tensione _σij.
• Se ne determinano le tensioni principali _σ1, _σ2, _σ3.
• Si verifica che il più grande dei cerchi di Mohr sia, al più, tangente alle due rette.

NB: Come determinare c e m?

È necessario eseguire la prova di trazione e la prova di compressione. Si determinano quindi 2 circonferenze limite. Le loro tangenti comuni sono le rette cercate. Da questo grafico si ottengono delle deduzioni geometriche. Queste mi portano alla conclusione che: (per l'appunto è un valore esattamente la metà di quello trovato con il metodo di Galileo.)

Lettura

Di questo metodo esiste anche una specie di "evoluzione", nota come Metodo della curva intrinseca (o metodo di Mohr). Questo metodo parte dal metodo di Coulomb, però afferma che la crisi si raggiunge quando la tensione tangenziale sul piano di scorrimento raggiunge un valore massimo. Questo valore è legato alla tensione normale da una relazione assai più complessa di quella di Coulomb.

f() = 0

Quest'equazione è una retta d'inviluppo. Come ottengo questa curva? Disegno i cerchi di crisi. La curva è data dall'inviluppo dei punti A-A' che, a parità di s, hanno la massima t.

Caratteristiche della curva

• In c, il cerchio limite si riduce ad un punto, si=s2=s3. Questo significa che ci sono solo trazioni uguali nelle tre direzioni principali di tensione.
• La curva presenta un asintoto orizzontale, la cui concavità è rivolta verso l'asse delle ascisse.

Criterio di Tresca

Secondo questo criterio, la crisi si raggiunge quando la tensione tangenziale massima raggiunge un certo valore critico che indicheremo con t_o.

Punto 1

Quanto vale tmax? { _σ1 > _σ2 > _σ3 ⇒ _RMAX = 1/2 (_σ1 - _σ3) ⇒ [t_MAX = _RMAX = 1/2 (_σ1 - _σ3)]

Punto 2

Quanto vale t_o? Eseguo la prova di trazione.

σ_ij [t_MAX = 1/2 σ' _o = t'_o]

Eseguo la prova di compressione.

σ_ij [t_MAX = 1/2 σ"_o = t"_o]

Ora, necessariamente, t_o = t'_o = t"_o. Dunque dev'essere s_o = s'_o = s"_o.

Questo metodo ha dunque un limite: è applicabile solo a quei materiali in cui la resistenza a trazione è uguale a quella a compressione.

Conclusione

{ t_MAX = 1/2 (_σ1 - _σ3) = 1/2 σ_o = t_o DOVE MAX(|σ₁ - σ₃|, |σ₁ - σ₂|) < σ_ID [ σ_ID < σ_o e σ_ID < σ% ]