Scienza dell Costruzioni - Stabilità dell'equilibrio

Stabilità dell'equilibrio elastico

Configurazione in equilibrio

La configurazione in equilibrio di un corpo può essere:

• Stabile
• Instabile
• Indifferente

Il tipo di equilibrio dipende solo dalla configurazione? Solo in un esempio come quello della pallina.

Se la struttura è elastica (e quindi deformabile), una perturbazione dell'equilibrio comporta una reazione elastica della struttura che tenda a riportare la struttura nella posizione primitiva. Effetto stabilizzante.

Ebbene, se l'effetto della perturbazione è più forte di quello stabilizzante → Equilibrio instabile.

Viceversa è stabile; Se i due effetti si equivalgono — equilibrio indifferente.

Questo è il caso di cui ci occupiamo. Il carico di questo caso è detto carico critico.

Conclusione: In un corpo elastico la stabilità dell'equilibrio non dipende solo dalla posizione, ma soprattutto dall'entità dei carichi esterni.

Modi per valutare il carico critico

Criterio statico

Si valuta l'effetto instabilizzante e quello stabilizzante. Anziché valutare quale dei due prevale, li si eguagliano, ricavando così il valore delle forze che rendono l'equilibrio indifferente. Questi sono i valori critici; Per valori maggiori, l'equilibrio è instabile. Per valori minori, è stabile.

Esempio

1. In C c'è una molla. È dunque possibile una rotazione. La struttura si deforma così:

Il carico N produce sulla struttura un effetto instabilizzante. Trattandosi di una rotazione, essa sarà provocata da un momento instabilizzante: M_inst = N·l tg ψ ← tg ψ ≃ ψ

4. La cerniera elastica si oppone con un momento stabilizzante:

Stabili: M_stabil = KΔψ

5. M_inst = M_stabil

Nψ = KΔψ = K2ψ

N_cr = 2K/ℓ

Criterio energetico

Perché l’equilibrio sia stabile, instabile o indifferente, occorre che: D"E_{nergia totale} ≼ 0

Secondo me, niente come un esempio può chiarire la cosa.

Con W = ½ MΔψ ➡ Lavoro di deformazione

W = ½ KΔψ² = ½ K4ψ² = 2Kψ²

L'energia potenziale diminuisce. Il valore sarà dunque negativo e pari al lavoro compiuto da N nel passare dalla configurazione primitiva a quella deformata.

Ln = -N (2ℓ - 2ℓ cos φ)

Per le semi → cos φ ≈ 1 - φ²/2

Dunque: Ln = -N2ℓ φ²/2 = -Nℓ φ²

E_tot = W + Ln = 2K φ² - Nℓ φ²

D'E/Dφ = 0 = 4K φ - Nℓ φ = 0

Equilibrio N_ca = N_ca = 2K/ℓ

D''E/Dφ = 4K - 2Nℓ E ⇔ N ≼ N_CR ⟹ D" E ≽ 0;

Esercizi

Metodo statico

La molla rende la struttura labile. È dunque possibile una rotazione. Indipendentemente dal carico, la struttura si deforma così:

M_INST = N⋅l⋅tg φ ≃ Nlφ

M_STAB = Kφ ⟹ Kφ = Nlφ

Conclusione: N_r = K/l

Altro metodo

1. _Ha ^{Ma N}_Va ^ψφℓN
2. Equazioni della statica nella configurazione deformata: Ha = N, Va = 0, M_(N) = Ma + Haφ = 0
3. Le reazioni vincolari dei vincoli cedenti sono note: Ma = K₁ψ, Haφ - Ma = K₁ψ - N_eψ
4. N_r = K₁/ℓ

Come si oppone la struttura? Con _{M = K1ϕ} e _{V = K2v}

Lavoriamo su questo termine; V = K₂lϕ

Però io devo sommare due momenti —› _{M = V.l}

_{Mstab = K1ϕ + K2l²ϕ}

_{Mi = Ms = Nlϕ}

_{NCR =^{K1 + K2l2}⁄l}

Criterio energetico

W = ₁/² Mϕ = ₁/² K l ϕ²

L n = - N l (1 - cosϕ) = -N l ϕ²/₂

E_tot = ₁/² K l ϕ² - N l ϕ²/₂

D`_E = K l ϕ - N l = 0 ⟹ N_ca = K/l

Esercizio

1. Come si deforma la trave?

L'entità è diversa, ma lo spostamento è lo stesso.

M_inst = N l ϕ

1. _ψEquilibrio nella configurazione deformata:

H_A = N

V_A = V_B

M(n) = M_A - H_Al_ψ + V_Al = 0

V_a = V_b = K_e

N = K_el_ψ

M_a = Klψ

Klψ + K_elψ = Nlψ

Es complessi

Equazioni della statica in C₁

H_a = N

V_A + V_C + V_D = 0

M(_A) = M_A + V_C 2ℓ + V_D 3ℓ = 0

V_C = K₂ φ ℓ₂;   M_A = K₁ φ;

Ricavo V_D e V_A;

Scriviamo in C₁, l'equilibrio di AB.

V_AL - M_A - H_Aℓ φ = 0   Da qui si ricava N

Esercizi

N = H₀

V_A = V_C = V_D

M(A) = V_C2ℓ + V_D3ℓ = 0

V_C = K₂v = K₂ℓψ

V_D = ²/₃ V_C; V_A = V_C/₃;

Equilibrio di un tronco: V_Aℓ - N2ψℓ + M₁ = 0

Dove M₁ = K₁3ψ

ESERCIZI

1. H_A = N
2. V_A + V_C = 0
3. M(A) = V_Cℓ + N ℓ φ = 0

2. V_C ℓ = N ℓ/φ
3. V_C - V_A = N φ/2

Equazioni ausiliarie rispetto a B:

M_B + V_C ℓ + N2 ℓ φ = 0

Es più complessi

Vediamo ora strutture effettivamente labili:

21. Deformazione della struttura:

Rc = K₂η_C; M_B = K₁Δψ

Equazioni ausiliarie di equilibrio:

M_B + V_Aℓ - Nη_B = 0

M_B - Rcℓ - N(η_B - η_C) = 0

I coefficienti li metto in una MATRICE. Pongo Det=0 2 valori di Nga. I corrispettivi valori di η_c e η_b

Esercizio in classe

La struttura è in equilibrio in C;

Ha = P

Va + Vc = 0

M(a) = Vc2l = 0 → Va = Vc = 0

Equilibrio di un tronco: Mb = Pl sen α

Mb = K2α

CONCL: Pl sen α = 2Kα

Ma quanto vale α? sen α = _2Kα/^Pl

sen α, γγ = 2Kα / Pℓ

L'intersezione tra le due curve mi dà il valore di α.

Es. γ

Se la retta è molto impennata, non può che essere 0. Qui ho preso l'unicità della soluzione. α

Qui c'è 1 soluzione: tan α = 11 = 2K / Pℓ -> P = 2K / ℓ

Se α è piccolo -> sen α = α

P = 2K / ℓ, L'equazione è soddisfatta per qualunque α. - FINE

Introduzione al metodo ω

Elasticità diffusa

1. Attribuisco alla trave una deformata generica; N produce un momento flettente instabilizzante; M = N v(z)
2. La struttura tende a reagire con un momento stabilizzante; M = - E_s v''(z)
3. M_INST = M_STAB; N v(z) = - E_s v''(z)
4. α² = ^{N r}/_Esv''(z) + α² v(z) = 0
5. v = C₁ sen αz + C₂ cos αz
6. v(0) = 0, v(ℓ) = 0, C₂ = 0, C₁ sen αℓ = 0 o C₁ = 0 o αℓ = 0
7. O meglio: αL = nπ

Conclusioni

_NCR = ^n2π2ES/_ℓ²

Se n = 1 → N_CR = ^π2ES/_ℓ²

Per una trave comunque vincolata, il carico critico può essere espresso con la formula di Eulero:

N_CR = ^π2ES/_ℓ0²

l_o = lunghezza libera d'inflessione: È la distanza tra 2 punti di flesso successivi della deformata. La deformata è sempre una «sinusoide».

Es in classe

1. Trave Sostatic A

La forza P produce un momento flettente misto: flessione. Il suo valore dipende dalla deformata: M = P.nr(z)

Ora, per congruenza:

¹/_RA = ^n''/_{(1 + n'²)^3/2}

Per le equazioni costitutive: ¹/_R = -^M/_ES

Sostituendo: ^n''/_{(1 + n'²)^3/2} = -^M/_ES = -^P/_ES nr(z)

Chiamo α² = ^P/_ES

^n''/_{(1 + n'²)^3/2} + α² nr(z) = 0

Considero n^2 trascurabili => n''(z) + α² n(z) = 0

Dividiamo: n = A sen αz + B cos kz

Condizioni al contorno:

n(0) = 0 => B cos 0 . 0 => B=1

n(l) = 0 => A sen αl = 0

A=0 oppure αl = nπ

Supponiamo nπ = αl

α = ^nπ/_l

α² = ^n²π²/_l² =>   ⇒    ^P/_ES = ^n²π²/_l²

Se n=1 _/ => ^{P = π² ES}/_l²

_ FINE _

Tabulati

Per i casi più comuni esistono dei tabulati.

Ora, la «tensione normale critica» vale:

σ_cr = Nc_A = π²ES = π²EAρ² ≤ σ_o. Dove S = A_oA A_o² A_o² (l_o²)

Ora, λ = l_o snellezza ρ_min

La «snellezza limite» è quella per cui si ha:

σ_CA = σ_o l_o √_E πσ_o

La formula di Eulero è valida solo per λ > λ_o;