Appunti Scienza delle costruzioni e stabilità dell'equilibrio elastico

TETRAEDRO DI CAUCHY

la conoscenza del vettore tensione in 3 giaciture mutuamente ⊥ permette di determinare la tensione su ogni giacitura sulla stella di centro B.

\[ \frac{\partial P^2}{\partial x_1} = dx_1, \frac{\partial P^1}{\partial x_2} = dx_2, \frac{\partial P^2}{\partial x_3} = dx_3 \]

considero un tetrad. di dV delimitato dalla giacitura τ_i e da quella generica di normale "a".

l'elemento è scelto da P in una β_n(β_m β_p β_s)

• τ_i: sono vettori tensione app. sulle facce ortogonali del truado da prendere eniamo alle equazioni delle facce nette e rivolte nel verso negativo o negativo.
• t_a: tenso. giusta sulla faccia di normale "a";

le rσv app. su G e B; superf. finali considere ad' vett. del tensione colletlita dell'elemento di volume per eq. diviamo entram. eq. trassl. \Forze origine ad' umplotti DA = aree delle corrisposte formi

∫F = 0 → \[ \overline{R} = \tau_i \, da - t_i \, dA - t_\lambda \tau dA_2 - t_3 \, dA_3 + \overline{F} \, dV = 0 \]

spazio del tetrad \(\sqrt{} = dx \) ha s/dimensioni enf; ma div.; i terminil quimappaene una fimp \(\sqrt{} \) texte = ediede {TRASCURABILI}

\[ \int \, dV = ]\] \,

ento che alle data: → \[ \int \] = reprenterà la poravanna dell'rea dA nel point cood. di mortara x d\_=1,2,3 dvolxd tuttì i termain' per dA

\[ t_x = t_1 a_x + t_\lambda a_\lambda + t_3 a_3 \]

espressione di t_a: ulta generica giacitura della stella di centro B. in funzione dei tre vettori relativi a tre giaciture a due a due ortogonoli + sono i vecter los definitesso t_a sulle genuera giacitura di centro ǝ è matematezia \[ (a_1, a_2, a_3) \] di cui:

e_a1 = t₁₁ a₁ + t₂₁ a₂ + t₃₁ a₃ = Ēu a₁ + Ēn a₂ + Ēt a₃

t_aa = t_an + t_na =

1) supporre l'equilibrio intorno a tre orif. // a quei

per un baricentro G: delle forze attivi del tetraedo

ogni orif. materializzarono ..ù q delle forze obblique di normali a,, rinvela

G- G_x = (0, dv_x 3, 0)

G-G_x (0 0 dv_y 3)

quindi su a sotto ^a

Ritorno poi V

n.s. rot intorno alle rette C,,t // x_t .

pr. rad intorno alle relte G_u // x_n .

e delle due eq. di ottica con l'eg. intorno a G-G_x e GG_x sd all_x :

pertanto là matrice ē ē antmetrica (t_NJ = r_JI) quindi (…) equivalgo.

eq. di legame costitutivo

comport. lineari. pℓo σ = ^N/_A deformazioni Ɛ = Δℓ/ℓ

solido micromanuttenzione di materiale elastico lineare

sovrapp.e ed eccapolverizzazione

eq. statica

σ = Ɛ E

statica w(0,+l) = sintattica

eq. statica di equilibrio:

dσ/dz + f = 0 → σ(z) = -βz + c₁

σ(z) = -Lz + C₁, C₁ = δR(z) + ℓ

[σ(z)] = ∫ P (z - z₁) + Q(z₁)

eq. costitutiva

Ɛ(z) - δV₁/z = 1/_Ɛ (P [z - z₁]+ Q(z₁))

eq. multifunta elementi

w(z) = ∫ Ɛ dz = 1/_Ɛ (αz + β z (z - l₁/z))

W(0) = 0 → C₂ = 0

⅓[∫ (αz + β ₁l₁)

diagrammi tensili distorsione spostamento

Cerchio di Mohr

per la determinazione degli assi principali e relativi momenti d'inerzia

Supponendo di conoscere la terna $(I_{\xi}, I_{\eta}, I_{\xi \eta})$

e detti momenti sui piani principali d'inerzia $I_1, I_2$ e supp. $I_{\xi} \leq I_{\eta}$

I risultati per $c.r. di riferimento inclinato$ di $\alpha$

$J_{\nu} = \frac{J_{\xi} + J_{\eta}}{2} + \frac{J_{\xi} - J_{\eta}}{2} \cos 2\alpha$

$J_{\nu \prime} = \frac{J_{\xi} - J_{\eta}}{2} \sin 2\alpha$

$J_{\nu \nu \prime}= J_{\xi \eta}$

elevi (1) e (2) al quadrato e poi li sommi

$\frac{J_{\xi} + J_{\eta}}{2}$ al primo membro e sommo

$\left( J_{\nu} - \frac{J_{\xi} + J_{\eta}}{2} \right)^2 + J_{\nu \prime}^2 = \left( \frac{J_{\xi} - J_{\eta}}{2} \right)^2$

dove $C = \left( \frac{J_{\xi} + J_{\eta}}{2}, 0 \right)$

$r = \frac{J_{\xi} - J_{\eta}}{2}$

per una rotazione di q nel piano delle masse si ha uscita del 2q nel piano di Mohr

Le due coordinate:

$I_x = OC + R \cos (2q) = \frac{J_{\xi} + J_{\eta}}{2} + \frac{J_{\xi} - J_{\eta}}{2} \cos (2q)$

$I_{x \Theta} = \frac{J_{\xi} - J_{\eta}}{2} \sin (2q)$

analogamente per $q$

questa corrisponda ai due cerchi di Mohr ed

è indicata con C_σ mentre il sostegno del fascio in

per individuare la cerco ipotetico di Mohr basta assumere

le tensioni da due generici p di ga bloc t

se ciasuso e x = (σ_x, τ_xy) e y = (σ_y, τ_xy) di due dire

l’ascissa di a rispetto a x, bo che la direzione principale del trusau

e unidata di p rispetto a x іp, 1 altra dulc puip c quella 1 a e_t,

2

oppure

x = (σ_x, τ_xy) y = (σ_y, τ_xy)

trendo il errore del ectar

parcio la x la ж alla giotritria su cui у

napo leпроч номинал

trendo le у la a alla gente en cui l sein aptato пауш

from p (pole del Mohr)

la geunricia ulotta уступ la p intentera un

t (σ_x, τ_x) ele вет tensione nomins e

приг. rotasì relotonia е’ sulla gionltirla la trik panseto ни к a р T p

unaiva a sono x e e troare le due direczioni penûe q le e

PLIV

getto un ponte tra le relazioni di tensione (equilibrio) e deformazione (congruenza)

TR

considero un mezzo continuo di volume V delimitato dalla sup. est. S^a soggetta a una forza di massa f^a = (f₁^a, f₂^a, f₃^a) in ogni punto del volume e a una forza di superficie p_a^a = (p₁^a, p₂^a, p₃^a) allora

∫_S(e_I3^a - U_j) (6^a / 6_a^{- e_I) + qa) = C_a}

Il campo degli sforzi associato alle sue forze soddisfa in ogni punto le eq. di equilibrio integrale e quelle limitate di equilibrio

o~~TCI

e_IJ^a = 0 (i, j = 1, 2, 3)

e_ij^a = p^a_a

se le eq sono verificate il sistema di f. e risultore altre

81 81 A

equilibrato

Suppongo di deformare il solido con un sist. di spostam altro v_{a^b, vj composto con la continuità e con i vincoli esterni /_ interni}

allora

E_IJ = 1/2 (_{∂vi^b/∂xs + ∂vj^b/∂i}) = 1/2 (v_m^s + v_m^j).

Il vett. di spost. v^b_i ε_ij^b deformazione ε^b compatto delle relazioni qui sopra.

e b sono indeterminate

LEGGE GENERALIZZATE DI HOOKE

la posso esprimere in termini del tensore dei:

_{⁰⁰ + ^{0 0} + ^{0 0}}

la posso esprimere in termini dei numerali prossi: α₁, α₂, α₃

poi:

₁ = ^₁₂₃

→ perciò: (¹ + ²³ = ^{2 + 2 ecc.}

₁₀ = ₁₁ + ^₂

perciò:

₁₁ = ^₀₀

¹ = ²

^e = (⁰

^c =