Schemi riassuntivi di Meccanica Razionale per ingegneria, prof. Vernia

INDICE

1. VETTORI
2. BARICENTRI
3. MOMENTI D'INERZIA
4. CINEMATICA DEL PUNTO
5. CINEMATICA DEL CORPO RIGIDO
6. CINEMATICA RELATIVA
7. FORZE E VINCOLI
8. GRADI DI LIBERTA'
9. SISTEMI DI FORZE
10. FORZA PESO
11. LAVORO INFINITESIMO
12. LAVORO FINITO
13. MECCANICA DEL PUNTO
14. OSCILLAZIONI
15. BATTIMENTI E RISONANZA
16. PENDOLO SEMPLICE
17. MECCANICA RELATIVA
18. MECCANICA DEI SISTEMI
19. MECCANICA ANALITICA

Argomento 1 - I Vettori

• Libero
• Applicato (P, ũ)

Prodotto:

• Scalare: ã · b̅ = abc cos α
• Vettoriale: ã x b̅ = ab sin α = det ( î ȷ̂ k̂ a₁ a₂ a₃ b₁ b₂ b₃ )
• Misto: (ã x b̅). ĉ = ab ma c cos γ

Divisione: dati ã , b̅ : a̅ | b̅ ⇒ ∃ n ẋ = b̅ x ĉ_a / a₂² ; ã x ẋ̅ = b̅

Derivate:

1. du̅ / dt = du̅ / dm · dm / dt
2. d(u̅ · v̅) / dt = du̅ / dt · v̅ + u̅ · dv̅ / dt → pr. scalare
3. d(u̅ x v̅) / dt = du̅ / dt x v̅ + u̅ x dv̅ / dt → pr. vettoriale
4. Se ũ = ũ(s(t)) ⇒ du̅ / dt = du̅ / ds · ds / dt → composta
5. ũ = costante ⇒ + dã / de

Argomento 2 - I Baricentri

Massa: → proprietà intrinseca di un oggetto→ costante di proporz nella legge di Newton: F = ma

1. Punto: (P, m)
2. Sist. discreto: M = ∑ _s=1^N m_s
3. Sist. cont.: M = ∫_E ρ(P)dE = ∫_e dm

Baricentro: Punto G : G - O = ∑ _s=1^N (P_s - O) m_s / ∑_s=1^N m_s (Y_g = Z_g) calcolare analogamente

G - O = ∫_E (P - O) dm_e / M

x_G = ∑_s=1^N m_s x_s / ∑_s=1^N m_s →

x_G = ∫_e ρ(P) x dE

Argomento 5 - Cinematica Corpo Rigido

Un sistema materiale di punti P0 e uncorpo rigido

∀ P, Q ∈ E ∀ t: dP/dt = 0 dQ/dt = 0

velocità simultaneamente vive lestesse componente lungo la congiungente PQ

M_O gradi di libertà = M minimo di parametri (<=nodi) che permettono dideterminare la posizione senza vincoli di natura

Un corpo rigido libero ne ha 6dette anche ASSE (da O libere)

3 COORD: x_O1, y_O1, z_O1 di O₁

3 ANGOLI DI EULERO

LAGRANGIANIPARAMETRI INdIPENDENTI (definizione ciascun 1°..., ...) B.

• ^Ψ = ANGOLO PRECESSIONE = x û_O1 ℓ
• φ = ANGOLO ROTAZI. PROP. = ℓ Ô_A x₁
• θ = ANGOLO NUTAZIONE = z Ô_A z₁

con E = LINEA NODALE = piano α_x1 | piano O₄z₁

FORMULEdiPOISSON

1. dũ_i/dt = ũ x ĩ_i
2. d ĵ_i/dt = ũ x ĵ_i
3. d ĸ_i/dt = ũ x ĸ_i

FISSO

SOLIDALE_{(i, j, k)}

(1, 2, 3, K)

FORMULA FONDAMENTALE della CINEMATICA RIGIDApermette la determinazione le velocità di PP∈E

CONOSCENDO

VELOCITÀ di un qualunquepunto A o FdP/dt

VELOCITÀ ANGOLAREù di E (PA)

(ú):- unica

VETTORICARATTERISTICIdi E

O₂₁P₄₂ FISSOO₁x₁y₁z₁ MOBILE

(P_s, m_s) SISTEMA di Punti matr.

(P_s, F_s) SISTEMA di Forze att.

(P_s, C_s) SISTEMA di Reaz. vinc.

= SISTEMA MECCANICO

insieme materiale su cui agisce un sistema di forze

3) VINCOLI

• CONFIGURAZIONE

  insieme delle posizioni occupate dai punti del sistema nell' istante t rispetto ad un certo riferimento

DISPOSITIVO dovuto a corpi, che limita i punti del sistema meccanico

1) CONFIGURAZ. + VELOCITA => OLONOMO

2) VELOCITA => ANOLONOMO

CLASSIFICAZIONE

• INTERNO = dovuto a punti che ∈ al SIST. MAT. IN ESAME
• ESTERNO = dovuto a punti che ∉ al SIST. MAT. IN ESAME
• SCELERONOMO = indipendente da t (tempo)
• REONOMO = dipendente da t
• BILATERALE = si esprime attraverso un' equazione (f = 0)
• UNILATERALE = si esprime attraverso una disequaz. (g ≶ 0)
• FINITO = eq./diseq. che NON contiene le derivate
• NON FINITO = eq./diseq. che contiene le derivate
• OLONOMO = forma finita/diff. integrabile
• ANOLONOMO = forma differenziale NON integrabile

VINCOLI

N.B SISTEMA SCELERONOMO = tutti i vincoli anolonomi

REONOMO = almeno 1 vincolo reonomo

Argomento 11 - Lavoro Infinitesimo

1. Forza
   • Reale \(dL = \mathbf{F} \cdot \mathbf{dp}\)
   • Virtuale \(\delta L = \mathbf{F} \cdot \delta \mathbf{p}\)
2. Sistema di Forze
   • Reale
     1. Sistema Scleronomo \(dL = \sum_{k=1}^{N} Q_k dq_k\)
     2. Sistema Reonomo \(dL = \sum_{k=1}^{N} Q_k dq_k + Q^* dt\)
   • Virtuale
     1. Sistema Scleronomo \(\delta L = \sum_{k=1}^{N} Q_k \delta q_k\)
     2. Sistema Reonomo \(\delta L = \sum_{k=1}^{N} Q_k \delta q_k\)
3. Forza su Corpo Rigido
   • Reale \(dL = \mathbf{R} \cdot d\mathbf{a} + \mathbf{\omega} \cdot \delta \mathbf{a}\)
   • Virtuale \(\delta L = \mathbf{R} \cdot \delta \mathbf{a} + \mathbf{\omega} \cdot \delta \mathbf{a}\)

Argomento 15 - Battimenti e Risonanza

1) Battimenti

Dato da oscillazioni forzate non smorzate (ω ≠ Ω)

x₁(t) = c cos (ωt + δ)

x₂(t) = c cos (Ωt + δ)

x(t) = x₁(t) + x₂(t)

• [cos (ωt + δ) + cos (Ωt + δ)]
• = 2c cos [(ω - Ω) t + δ - δ] cos [(ω + Ω) t + δ]
• cos [ (ω - Ω) t + δ ]

Oscillazione 2 "modulante"

Oscillazione 1 "modulata"

• Frequenze:
• f_s = ω + Ω / 2π fondo
• f₁ = |ω - Ω| / 4π battimenti

2) Risonanza

Dato da oscillazioni forzate smorzate

Oscillazioni forzate non smorzate (ω = Ω)

ẍ + 2ρẋ + ω²x = N cos (Ωt + δ)

Entra in risonanza ↔ l'ampiezza D(Ω) è max

Ɵ = √(ω² - ρ²) ↔ -2(ω² - Ω²) + 4ρ² = 0

D_max = D(Ω₀) =

D_(Ω) = N / √((ω² - Ω²)² + 4ρ²) * Max

Picc. G oscill azione 2

Per x₀

DINAMICA

PUNTO MAT.: Q̅ = m v̅_S con v̅ = ^dP/_dt Ox_yz

SIST. DISC.: Q̅ = Σ_S m_S v̅_S

SIST. CONT.: Q̅ = ∫ ρ(P) v̅(P) dξ nei SISTEMI

Q̅ = MV̅_G

velocità BARIcentro

V̅_G = ^dG/_dt Ox_yz

L'algebra della QUANTITÀ di MOTO rispetto al BARIcentro G

in un sistema rispetto al BARIcentro G: Q̅_G = 0

Dove v̅_S nella formula mette v̅'_S = ^dPS/_dt Gx_yz = SISTEMA BARICENTRICO + TRASLANTE

MOMENTO angolare con polo in O₁

• "ASSOLUTO" PUNTO MAT.: K̅ (O₁) = m v̅'_S x (O₁ - P) nei SISTEMI
  • K̅ (O₁) = Σ_S=1^N m_S v̅'_S x (O₁ - P_S)
• "RELAZIONE" nei SISTEMI K̅ (O₁) = Σ_S=1^N m_S v̅_S x (O₁ - P_S)

ne CORPI RIGIDI (intorno a ASTA) K̅' (O₁) = J̅ ω̅

Proprietà:

1. CAMBIO POLO (da O₂ ↔ O₁)
   • K̅ (O₁) = K̅ (O₂) + M V̅_G x (O₁ - O₂)
2. RELAZIONE MOMENTI ASSOLUTO ↔ RELATIVO
   • K̅ (O₁) = K̅' (O₁) + M v̅(O₁) x (O₁ - G)

ENERGIA CINETICA

dei SISTEMI

• "ASSOLUTA": int. disc.: T = Σ_S=1^{N 1}/₂ m_S v̅_S²
  • continua: T = ¹/₂ ∫ ρ(P) v̅²_S dξ
• "RELAZIONE": SISTEMI nei CORPI RIGIDI: T_G = Σ_S=1^{N 1}/₂ m_S v_S²

come celebre

T_G = ¹/₂ (Aρ_p² + Bq₂² + C₂ - 2Aρ - 2Bρ - 2C)

Teorema di König

T = ¹/₂ M V̅_G² + T_G