Schemi riassuntivi di Meccanica Razionale per ingegneria, prof. Vernia

INDICE

1. VETTORI pag. 3
2. BARICENTRI pag. 3
3. MOMENTI D'INERZIA pag. 4
4. CINEMATICA DEL PUNTO pag. 5
5. CINEMATICA DEL CORPO RIGIDO pag. 7
6. CINEMATICA RELATIVA pag. 9
7. FORZE E VINCOLI pag. 11
8. GRADI DI LIBERTA' pag. 13
9. SISTEMI DI FORZE pag. 14
10. FORZA PESO pag. 16
11. LAVORO INFINITESIMO pag. 17
12. LAVORO FINITO pag. 18
13. MECCANICA DEL PUNTO pag. 19
14. OSCILLAZIONI pag. 20
15. BATTIIMENTI E RISONANZA pag. 22
16. PENDOLO SEMPLICE pag. 23
17. MECCANICA RELATIVA pag. 24
18. MECCANICA DEI SISTEMI pag. 25
19. MECCANICA ANALITICA pag. 30

INDICE

1. VETTORI pag. 3
2. BARICENTRI pag. 3
3. MOMENTI D'INERZIA pag. 4
4. CINEMATICA DEL PUNTO pag. 5
5. CINEMATICA DEL CORPO RIGIDO pag. 7
6. CINEMATICA RELATIVA pag. 9
7. FORZE E VINCOLI pag. 11
8. GRADI DI LIBERTÀ pag. 13
9. SISTEMI DI FORZE pag. 14
10. FORZA PESO pag. 16
11. LAVORO INFINITESIMO pag. 17
12. LAVORO FINITO pag. 18
13. MECCANICA DEL PUNTO pag. 19
14. OSCILLAZIONI pag. 20
15. BATTI-MENTI E RISONANZA pag. 22
16. PENDOLO SEMPLICE pag. 23
17. MECCANICA RELATIVA pag. 24
18. MECCANICA DEI SISTEMI pag. 25
19. MECCANICA ANALITICA pag. 30

Argomento 1 - I Vettori

LIBERO APPLICATO

• PRODOTTO
• SCALARE: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = ab \cos \alpha \)
• VETTORIALE: \( \vec{a} \times \vec{b} = ab \sin \alpha \)
• MISTO: \( (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = ab \sin \alpha \cos \phi \)

Divisione: dati \(\vec{a}, \vec{b}\)

• Derivate
• \(\frac{d \vec{u}}{dt} = \frac{d m}{dt}\)
• \(\frac{d (\vec{u} \cdot \vec{v})}{dt} = \frac{d \vec{u}}{dt} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \frac{d \vec{v}}{dt}\)
• \(\frac{d (\vec{u} \times \vec{v})}{dt} = \frac{d \vec{u}}{dt} \times \vec{v} + \vec{u} \times \frac{d \vec{v}}{dt}\)
• Se \(\vec{u} = \vec{u}(s(t)) \Rightarrow \frac{d\vec{u}}{ds} = \frac{d \vec{u}}{dt} \frac{ds}{dt}\)
• \(\vec{u} = \text{costante} \Rightarrow \frac{d\vec{u}}{dt} = 0\)

Argomento 2 - I Baricentri

• MASSA
• Proprietà intrinseca di un oggetto costante si propone nella legge di Newton \( F = ma \)
• Punto \( (p, m) \)
• Sist. discreto: \( M = \sum_{s=1}^N m_s \)
• Sist. continuo: \( M = \int_e p(e) de \)
• BARICENTRO
• Punto \( G \)
• Sist. discreto \( G - O = \frac{\sum_{s=1}^N (m_s \cdot ps - o)}{\sum_{s=1}^N m_s} \)
• Sist. continuo \( G - O = \frac{\int_e p(e)(p - o) de}{\int_e p(e) de} \)
• \( x_G = \frac{\sum_{s=1}^N m_s x_s}{\sum_{s=1}^N m_s} \)

Argomento 3 - Momenti d'Inerzia

• Momento d'Inerzia (linee) di un sistema materiale rispetto una retta x

  Sist. Discreto: I_x = ∑_s=1^N m_s r_s²

  Sist. Continuo: I_x = ∫ ρ(P) . r²(P) dE

• Corpo Rigido = Sistema materiale i cui punti le cui mutue distanze rimangono costanti nel tempo

• Coseni direttori (α, β, γ) di una retta x rispetto ONX_o

  Coseno degli angoli per N e x

A', B', C'

• M_s x_s y_s

• M_s x_z y_z

• M_s y_s x_s

• Momenti di Deviazione

• Matrici d'Inerzia

Modo di introdurre l'espressione del Teorema dei Coseni Direttori

• A, B, C → Momenti d'Inerzia di √ rispetto assi X, Y, Z

• A', B', C' → Momenti di Deviazione

• Ellissoide d'Inerzia del corpo rigido E rispetto al punto O₁

Teorema

1 = Ax₁² + By₁² + Cz₁² - 2A'x₁y₁ - 2B'y₁z₁ - 2C'z₁x₁

Teorema

• Assi Principali d'Inerzia = gli assi ch