Schemi riassuntivi di Analisi I

Insiemir: Insieme degli allineamenti decimali con segno

Campo

1. R₊, +, 0, R⁺

2. Proprietà distributiva

3. Elemento neutro (R, 0)

4. Inverso

5. Proprietà associativa

(R, +) = somma, neutro = 0

(R, .) = moltiplicazione, neutro = 1

Proprietà distributiva

Gruppi commutativi

1. Proprietà riflessiva: x ≤ x

2. Proprietà transitiva: x ≤ y, y ≤ z → x ≤ z

3. Proprietà simmetrica: x ≤ y, y ≤ x → x = y

Relazione d'ordine ≤ in R

Numero complessi

• N: pari: 2m, dispari: 2n - 1

• La somma non è sempre possibile (es: 7 ∈ C/N: C + 5 = 3)

• Massimo da unità: 2

• Concetto somma Z aggiunge zero, opposto (-x)

• Non esiste sempre il reciproco (es: ∀ x ∈ Z, ∃ p ∈ Z, x · p = 1)

• Q aggiunge: reciproci (x^-1)

• Irrazionali: mancano gli allineamenti decimali illimitati non periodici √2, √3, e, π, ...

Numerabilità di un insieme A (es. N, Q, I): Corrispondenza biunivoca fra insieme ↔ insieme

Allineamenti decimali (numeri su viventi=giorni): (Q, periodici), (R, non periodici)

Teorema

INSIEMIR è un insieme degli allineamenti decimali con segno

Gruppi commutativi

1. (R, +, 0R), Proprietà distributiva

2. Elemento neutro (Proprietà commutativa)

3. Inverso

4. Proprietà associativa

(R, +) = somma, neutro = 0

(R, •) = moltiplicazione, neutro = 1, inverso reciproco

a = a/ab = 1/b, totalmente ordinato rispetto a relazione d'ordine ≤ m R

1. Proprietà riflessiva: x ≤ x

2. Proprietà transitiva: x ≤ y, y ≤ z → x ≤ z

3. Proprietà simmetrica: x ≤ y, y ≤ x → x = y

Numeri pari e dispari

• N pari: 2m

• Dispari: 2m-1

• La somma non è sempre possibile: 7 ∉ N, C+5=3 → Z aggiunge zero, opposto (-x)

Non esiste sempre il reciproco: ∃ un ¬ Z, ∃ f, g ∈ Z, z₁g = 1

Q aggiunge: reciproci #Z^-1

Irrazionali: mancano gli allineamenti decimali illimitati non periodici √2, √3, e, π, ...

Corrispondenza biunivoca fa allineamenti decimali (numeri su evrigoria) limitati → ⊂ Q

Illimitati: (1) periodici, (2) non periodici = R

Teorema e assioma di completezza

∃ x ∈ R, x proprietà di Archimede ∃ m ∈ N tale che: [mx > y]

NB. Q non è completo!

Principio di induzione

Serve a generalizzare una proprietà dipendente da m ∈ N (ad esempio dimostrare la proprietà (P_m) è vera per ogni valore di m)

Procedimento

Voglio dimostrare che la proprietà (P_m) è vera per ogni valore di m

1. Dimostro che è verificata (P_m0) m₀ = 1 (Ipotesi di induzione suppongo che)

2. Dimostro che la proprietà è verificata (P_m+1) ∀ m ∈ N

Applicazioni

Disequazione di Bernoulli ∀ x ≥ 0, ∀ n ∈ N \ {0,2} :[(1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx]

Dimostrazione (X induzione)

1. (P_m0) (1 + x)¹ > 1 + 0.x = 1

2. HP: (1 + x)^m ≥ 1 + mx

3. (P_m+1): da dimostrare (1 + x)^m+1 ≥ 1 + m.x + x

Binomio di Newton

∀ a, b ∈ R e ∀ n ∈ N {0} : (a + b)ⁿ = Σ_k=0ⁿ (m k) a^k b^n-k

Triangolo di Tartaglia

(m k) = (m-1 k-1) + (m-1 k)

Convenzione: a = indice di riga, k = indice di colonna

Funzioni

A ∀x ∈ A

Teorema: Unicità del supremum

"Proprietà"