Integrali - Schemi riassuntivi

INTEGRALI - SCHEMI RIASSUNTIVI

estr. di integrazione

differenziale

funzione integranda

Riemann somma inferiore

• f(x₀, x₁, x₂, x₃, x₄)
• x₀ = a
• x₀ = b
• Δx_i = x_i - x_i-1

• ruhe superiore

∫_a^b f(x) dx = inf ^{J ∈ I} S(J, P)

• Teorema fondamentale del calcolo integrale

Se f(x) è una funzione continua

Dove F(x) è una PRIMITIVA di f(x), cioè: F'(x) = f(x).

Effettuare:

• f(x) = x²
• F'(x) = 2x = f(x) ➝ 2x è la primitiva di x²
• x² è la primitiva di 2x

D(x²) = 2x

_d^d/_dx (x²) = 2x

_d^d/_dx (x²+c) = 2x

INTEGRALE INDEFINITO = non ha gli estremi:

INTEGRALI DELLE FUNZIONI FONDAMENTALI

D(c·x) = c·D(x) = c ➝ ∫ c dx = c·x

D(x^α) = α·x^α-1 ➝ ∫ x^α dx = x^α+1 / (α+1) α ≠ -1

Es: D(x³) = 3x²

occorre il valore assoluto per motivi di dominio α = -1

D [β(ϕ(x))] = β'(ϕ(x)) ϕ'(x)

D [u ⧸ β(x)] = (u' β(x) - β'(x) u) ⧸ β(x)²

• Fratti (semplici di primo grado):
• ∫ A ⧸ (ax+b) dx = (A ⧸ a) ln |ax+b|
• D (arctan x) = 1 ⧸ (1+x²)
• ∫ 1 ⧸ √(1+x²) dx = arctan x
• D (arctan [β(x)]) = [β'(x) ⧸ {1+[β(x)]²} * ϕ'(x)]
• ∫ [β'(x) ⧸ {1+[β(x)]²}] dx = arctan [β(x)]
• ∫ (Ax+B) ⧸ (ax²+bx+c) = logaritmo + arcotangente

∫ R (cos x) sin x dx

pone: cos x = t ⇒ -sin x dx = dt

sostituendo: -∫ R (t) dt

• sostituzione 2

∫ R (sin x, cos x) dx

Parametrizzazione di seno e coseno:

sin x = ^2t/_1+t² cos x = ^1-t2/_1+t² tan (^x/₂) = t ⇒ dx = ²/_1+t² dt

sostituendo ∫ R (^2t/_1+t², ^1-t2/_1+t²) ²/_1+t² dt

• sostituzione 3

∫ R (tan x, sin² x, cos² x) dx

tan x = t ⇒ x = arctan t ⇒ dx = ¹/_1+t²

cos² x = ¹/_1+t²

sin² x = ^t2/_1+t²

sostituendo: ∫ R (t, ^t2/_1+t² , ¹/_1+t²) ¹/_1+t² dt