Analisi 2 - Schemi riassuntivi

Serie di Fourier

^c₀/₂ + ⁺∑_k=1 ^{a_kcoskx + b_ksinkx = f(x)} dove: f(x) = f(x+_Τ), _Τ = ^2π/ω, q(x) = f ( ^2πx/_Τ )

Teorema

q(x) = q(x+_Τ)

dim: q ( x+_Τ ) = f ( ^2π (_x+Τ)) = f ( ^2πx/_Τ + 2π ) = f ( ^2πx/_Τ ) = q(x)

Convergenza

1. Assoluta convergenza

⁺∑_k=1 a_kcoskx + ⁺∑_k=1 b_ksinkx | a_kcoskx + b_ksinkx | ≤ | a_kcoskx | + | b_ksinkx | = (| a_k||coskx| + | b_k||sinkx|) ≤ |a_k| ( 1 + |b_k| )

se ⁺ ∑_k=1 | a_k |, ⁺ ∑_k=1 | b_k | converge ass. ⇒ serie fouier converge

2. Criterio di Dirichlet

⁺∑_k=1 a_kcoskx + ⁺∑_k=1 b_ksinkx a_k ≠ 0, b_k ≠ 0 ⇒ serie di fourier converge in (0, 2π)

Serie di Fourier

^c₀/₂ + ⁺∞ ^Σ_k=1 (a_kcoskωx + b_ksinkωx) = g(x) dove: f(x) = f(x + T), T = ^2π/_ω, g(x) = f(^2πx/_T)

Teorema

g(x) = g(x + T)

dimi: g(x + T) = f(^2π/_T(x + T)) = f(^2πx/_T + 2π) = f(^2πx/_T) = g(x)

Convergenza

1. Assoluta convergenza

/₂ ^Σ_k=1 a_kcoskx + ⁺∞ ^Σ_k=1 b_ksinkx |a_kcoskx + b_ksinkx| ≤ |a_kcoskx| + |b_ksinkx| = (|a_k||coskx| + |b_k||sinkx|) ≤ |a_k|(1 + |b_k|)

se ⁺∞ ^Σ_k=1 |a_k|, ⁺∞^Σ_k=1 |b_k| converge assol. ⇒ serie Fourier converge

2. 1^° criterio di Dirichlet

⁺∞ ^Σ_k=1 a_kcoskx + ⁺∞ ^Σ_k=1 b_ksinkx a_k → 0, b_k → 0 ⇒ serie di Fourier converge in (0, 2π)

2° criterio di Dirichlet ∑_k=1^∞ (-1)^k a_k cos kx, ∑_k=1^∞ (-1)^k b_k sin kx a_k↘0, b_k↘0 serie di fourier converge in ∀ x ≠ π ∑_k=1^∞ (-1)^k (-1)^k a_k = ∑_k=1^∞ a_k

Trovare la somma

1. ∫_-π^π f(x) dx = ∫_-π^π [a₀/2 + [∑_k=1^∞ a_k cos kx + b_k sin kx] ] dx =

∫_-π^π cos kx dx + b_k ∫_-π^π sin kx dx = a₀ π a₀ = 1/π ∫_-π^π f(x) dx

2. ∫_-π^π f(x) cos ux dx = ∫_-π^π a₀/2 cos ux dx + ∑_k=1^∞ a_k ∫_-π^π cos kx cos ux dx + b_k

∫_-π^π sin kx cos ux = a_u ∫_-π^π 1/2 [cos (k+u)x + cos (k-u)x ] dx = a_u 1/2 2π, per k = u a_k = 1/π ∫_-π^π f(x) cos kx dx

3) b_k = ¹/_π ∫ f(x) sin kx dx

Disuguaglianza

Def: f si dice funzione regolare a tratti se ∃ I₁, ..., I_m ⊂ [0,T]. I_i ∩ I_j = ∅, i ≠ j, ∪_i I_i = [0,T]:

1. f ∈ C (I̅_i)
2. f der in I_i
3. ∀ x_o in ℝ f(x_o^-) e f(x_o⁺)
4. ∀ x_o in ℝ f^' (x_o^-) e f^' (x_o⁺)

Teorema

Se f regolare a tratti ⇒ a₀/2 + ∑ (a_kcos kx + b_ksin kx) = ^{f(x+) + f(x-)}/₂

Funzioni a più variabili

1. φ: ℝ → ℝ^m