Schemi riassuntivi di Analisi I

INSIEMI

(R, + , ⋅ )

• SOMMA
• NEUTRO 0
• INV. OPPOSTO

(R, ⋅ )

• MOLTIPLICAZIONE
• NEUTRO 1
• INV. RECIPROCO

1. prop. RIFLESSIVA x ≤ x

2. prop. TRANSITIVA x ≤ y, y ≤ z → x ≤ z

3. prop. SIMMETRICA x ≤ y, y ≤ x → x = y

N

• PARI: 2n
• DISPARI: 2n - 1

massimo da UNITA' ∑ CONCETTI

R

• SOMMA
• NON sempre possibile

Z

• aggiunge
• ZERO
• OPPOSTO (-n)

non esiste sempre l' RECIPROCO

Q

• aggiunge: RECIPROCI (z^-1)

IRRAZIONALI

marciano gli ALLINEAMENTI DECIMALI ILLIMITATI NON PERIODICI

(e,N,Z,Q)

ALINEAMENTI DECIMALI

(INTERI con la VIRGOLA)

1. LIMITATI
2. ILLIMITATI
• PERIODICI
• NON PERIODICA

sono tutti NUMERI ∈ R

Teorema

ASSIOMA di COMPLETEZZA di ℝ

per i numeri: X ⊆ ℝ

p.es: esempi:

• ∃ elemento separatore c ∈ (X, X^c)
• ∃ x ∈ X ∀ y ∈ c
• ∃ c ∈ (X, X^c)

Q NON è COMPLETO!

PR. d'INDUZIONE

serve a generalizzare una proprietà dipendente da ℕ

PROCEDIMENTO:

1. Dimostro che è verificato (P_m₀) m = m₀
2. IPOTESI d'INDUZIONE suppongo che P_m è vera
3. Dimostro che è verificata (P_m+1)

→ la proprietà è vera ∀ m ∈ ℕ

APPLICAZIONI

• ∀ x > 0, ∀ m ∈ ℕ ∪ {0}:
• (1 + x)^m ≥ 1 + mx

Dimostrazione (per INDUZIONE)

1. (1 + x) = 1 + 0 ⋅ x ✔
2. HP: (1 + x)^m ≥ 1 + mx
3. (1 + x)^m+1 = (1 + x)^m ⋅ (1 + x) = 1 + (m + 1)x

• ∀ a, b ∈ ℝ e ∀ m ∈ ℕ ∪ {0}:
• (a + b)^m = ∑_k=0^m (m k) a^k ⋅ b^m-k

• m_j = (m-1 k-1)
• riga precedente
• n = indice di riga
• k = indice di colonna

Insieme "A" è chiuso

complesso coniugato

complesso numeri complessi

^algebra

teorema fondamentale dell'algebra

unità immaginaria

forma cartesiana del piano

struttura

operazioni

• somma
• prodotto

elemento neutro

complesso coniugato

reciproco

modulo

formula

quoziente

Funzioni Composte

lim h(g(x))

1) lim_x→x0 g(x)=y₀

2) lim_y→y0 h(y)=l

g ≠ y₀ nell'interno di x₀ (escluso x₀)

⇒ lim_x→x0 h(g(x))=l

Funzioni Irrazionali

lim x^1/n f(x)

m pari: lim_x→d x^1/n f(x) =+∞

m dispari: lim_x→∞ x^1/n f(x) =-∞

lim_x→-∞ x^1/n f(x) =+∞

Funzioni Esponenziali

lim a^x

Suppongo che x√y sia strett. crec.

1) lim_x→+∞ x√f(x) =+∞ ε ecc. (a>1)

2) lim_x→-∞ x√f(x) = -∞ ε ecc. (a f' CONTINUA

Theorem: "Derivabile implica continua"

5) PUNTI DI NON DERIVABILITÀ

• f' (x₀) non esiste
• Suppongo f CONTINUA in x₀
• PUNTO ANGOLOSO => derivate SX DX non coincidono
• CUSPIDE => le DERIVATE non oo di segno opposto
• TANG. VERT. => le DERIVATE non oo di segno uguale
• Tutti gli altri con p.es. lim x oo sono oscillazioni non permettono il calcolo di lim

6) Derivata FUNZIONE COMPOSTA

Sia I,J⊆R    f:I→JP:K→I    xo∈I

• Se f DERIVABILE in g(x_o)
• g DERIVABILE in x_o
• g(I)⊆J Condizione di composizione
• Nei PUNTI in cui g(I)≮J verifica se f'(x)≠f(x)

[f(g(x))]'=f'(g(x))⋅g'(x_o)

7) Derivata FUNZIONE INVERSA

Sia I⊆R    x_o∈If    f:I→R

• f CONTINUA in I
• f STR. MONOTONA in I    f f <=UNIVOCA
• f DERIVABILE in x_o => f'(x_o)≠0

[(f^-1(x₀)]' = 1/f'(x_o)

[F^-1(f(x)])

8) Estremi Relativi

Sia f: I⊆R→R e f(x)= Estremo Relativo

MASSIMO in x_o di f => δ>0: x∈ (x_o-δ,x_o +δ)∀:f(x≤f(x_o))

MINIMO in x_o di f => δ>0: x∈ (x_o-δ,x_o +δ)∀:f(x≥f(x_o))

• PUNTI STAZIONARI f'(x_o^±)=0
• ESTREMI di f' f'(a)=0
• PUNTI di NON DERIVABILITÀ [N.B. x_o non deve essere punto isolato]

9) MONOTONIA e derivata

Sia f:I⊆R→R monotona in I

f CRESCENTE f'(x)>0

f DECRESCENTE f'(x)≤0