Schemi matematica I

Definizioni, Teoremi e Dimostrazioni

Prodotto scalare

é il prodotto fra la norma di v₂ per la proiezione ortogonale di v₁ su v₂

• positivo se α < 90°
• negativo se α > 90°
• nullo se α = 90°

|u| |v| cos α = u₁v₁+u₂v₂

Proprietà

• λ(u₁,u₂) = (λu₁,λu₂)
• u,v=0 solo per il vettore nullo
• (u₁,u₂)+(v₁,v₂) = (u₁+v₁,u₂+v₂)
• (u,v)+(z,w) = (u+z,v+w)

Prodotto vettoriale

operazione che a due vettori ne associa un terzo ortogonale * ad entrambi; questo come l'area del parallelogramma

u x v = u₂v₃- u₃v₂ - u₁v₃ u₁v₂ - u₂v₁

Proprietà

• λu x v = 0
• u x v = -λ(u x v) = -u x v
• u x (v + u) = u x v + u x w
• v x v = 0
• |u x v|= |u| |v| | sin α

Dipendenza lineare

Due vettori si dicono dipendenti se esiste una combinazione lineare non a coefficienti nulli che dia come risultato 0.

• vettori nel piano: se due vettori sono paralleli
• nel piano: se due vettori sono complanari

Definizioni, Teoremi e Dimostrazioni

Prodotto scalare

è il prodotto fra la norma di ₁ per la proiezione ortogonale di ₂ su ₁

positivo <> < 90°

negativo <> > 90°

nullo <> = 90°

• < , > + = ₁₁ + ₂₂
• ( + ,) = , + ,
• (,) = (,)
• (,) = (,)
• (,) > 0 se ≠ 0

Prodotto vettoriale

operazione che a due vettori nel lascia un terzo ortogonale ad entrambi, questo come l'area del paralelogramma

• × = ×
• = -

Proprietà

• × =0
• =-
• ( × (+) = × + ×
• × = - ×

Dipendenza Lineare

Due vettori si dicono dipendenti se esiste una combinazione lineare non a coefficienti nulli che dia come risultato 0.

Nel piano ┬ se due vettori sono paralleli

Nello spazio ┬ se tre vettori sono complanari

Combinazione lineare

Sia V un sottospazio vettoriale su un campo K, e siano v₁, v₂, ... , v_n elementi di V, si dice combinazione lineare:

λ₁v₁ + λ₂v₂ + ... + λ_nv_n

Base

insieme di vettori in E² o E³ linearmente indipendenti con i quali si ottengono tutti gli altri vettori

• cos θ
• sin θ

Rette nel piano

Una retta è caratterizzata da un punto e una direzione nelle equazioni parametriche:

x = x₀ + λd_x y = y₀ + λd_y

Il vettore d₁ rappresenta la direzione della retta e il punto x₀, y₀ è un punto per cui la retta passa mentre nelle equazioni cartesiane:

μ₁(x-x₀)+μ₂(y-y₀)=0

Il vettore ν rappresenta la direzione ortogonale alla retta.

Coefficiente angolare rapporto tra le ordinate e le ascisse e che come risultato dà la tangente dell'angolo formato tra la retta e l'asse x

m = ^y₂-y₁/_x2-x1

Rette e piani nello spazio

Per trovare un'equazione cartesiana di un piano avendo tre punti, devo prima trovare due vettori collegando i punti, dopo di che con il prodotto vettoriale trovo un vettore ortogonale. Ogli altri due che invece sono componenti del vettore fungerà da direzione ortogonale nella formula dell'equazione cartesiana.

• Piano con P₁, P₂, P₃
• P₁₁, P₂₂, P₃₃

α(x-x₀)+β(y-y₀)+γ(z-z₀)=0

Equazione parametrica

• x = x₀ + t
• y = y₀ + t
• z = z₀ + t

Sistemi Lineari

Equazione lineare a n incognite:

a₁x₁ + a₂x₂ + a₃x₃ + ... + a_nx_n = b

dove le a e b sono numeri reali mentre le x sono le incognite

Soluzione → una n-upla di numeri reali (h₁, h₂, ..., h_n) è soluzione dell'equazione se verifica:

a₁h₁ + a₂h₂ + a₃h₃ + ... + a_nh_n = b

Sistema 2 equazioni e 3 incognite

• Piani paralleli → 0 soluzioni
• Piani incidenti → ∞² soluzioni
• Piani coincidenti → ∞² soluzioni

sistema di equazioni e incognite

(3 rette) 1) rette coincidenti → soluzioni infinite 2) rette incidenti → soluzione unica 3) nessun punto in comune → nessuna soluzione

Un sistema può essere compatibile se ammette soluzioni, incompatibile se non ammette soluzioni

matrice

Una matrice m×n (m righe e n colonne) è una tabelladi numeri reali (antecenti) / coefficienti numericidel sistema

Teorema Rouché-Capelli

Un sistema di m equazioni e n incogniteè compatibile solo se

rango A = rango Ab Rango = numero di righe o colonne indipendenti sistema m equazioni n incognite rango A = rango Ab → sistema compatibile sistema incompatibile rango n → 1 soluzione rango n < n → soluzioni infinite

Determinante

Geometricamente, il determinante è il volume delparallelepipedo avente come lati 3 vettorianalocamente il volume si può scrivere anchecon il prodotto misto

⟨u, v, w⟩ = Volume

(...) = volume

Il determinante è quel numero che si ottiene sommandoelementi di una riga o una colonna per il loro complemento algebrico

il rango di una matrice è l'ordine del più grande minore della matrice con determinante diverso da 0

Proprieta - determinante nulla se ci sono due righe o colonne ugualideterminante uguale se addirittura più di una colonna ne siamo un'altra moltiplicata per una scalaredeterminante inverso se scambio due righe.

Matrice identità - quella matrice diagonale che ha tutti gli elementi diagonali uguali a uno.Matrice inversa - data una matrice quadrata con det diverso da zero si chiama inversa quella matrice che moltiplicato per la matrice originale restituisce la matrice identità

Matrice trasposta - quella matrice nxm ottenuta scambiando righe e colonne

Proprieta - detA = detA^T(A^-1)^T = A^-1TValori propri - sono i valori λ che sono soluzioni di det(A-λI)=0.

Funzione"regola che ad ogni elemento di A associa al più un elemento di B".

Funzione limitata - una funzione si dice limitata se esiste m tale che -m