Schemi matematica I

Definizioni, teoremi e dimostrazioni

Prodotto scalare

è il prodotto fra la norma di v per la proiezione ortogonale di u su v.

• positivo ^⟹ α{0, 90°}
• negativo ^⟹ α{90°, 180°}
• nullo ^⟹ α{90°}

|u| |v| cosα

(u₁, u₂, u₃), per tutti i vettori v, (v₁, v₂, v₃) solo per il vettore nullo

• u₁ v₁ + u₂ v₂ + u₃ v₃ = 0
• (u₁, u₂, u₃), ^⊥ (v₁, v₂, v₃)

Prodotto vettoriale

operazione che a due vettori ne associa un terzo ortogonale ad entrambi, avente come norma l'area del parallelogramma

u x v

• u₂ v₃ - u₃ v₂
• u₃ v₁ - u₁ v₃
• u₁ v₂ - u₂ v₁

Proprietà

• u x u = 0
• u x v = - (λu x v) = λu x λv
• λ(u + v) = λu x v
• µ (v + w) = µ v x w
• |u x v| = |u| |v| |sinα|

Dipendenza lineare

due vettori si dicono dipendenti se esiste una combinazione lineare non a coefficienti nulli che dia come risultato 0

• nel piano ^⟹ se due vettori sono paralleli
• nello spazio ^⟹ se tre vettori sono complanari

Combinazione Lineare

su V, un sottospazio vettoriale su un campo N, ci sono A1, A2, elementi di V. Si dice combinazione lineare

λ1u1+λ2u2, λnUn

Base

insieme di vettori in e di linearmente indipendenti con i quali si ottengono tutti gli altri vettori

• cos canoniche
• (1 0 0)
• (0 1 0)
• (0 0 1)

Rette nel piano

Una retta è caratterizzata da un punto e una direzione nelle equazioni parametriche:

Il vettore u_r rappresenta la direzione della retta e il punto X₀, y₀ si trova nella retta stessa mentre nelle equazioni cartesiane:

Il vettore t rappresenta la direzione ortogonale alla retta.

Coefficiente angolare

rapporto tra la distanza e le ordinate che ci sono scaturite la tangente dell’angolo formato tra la retta e l’asse x

Rette e piani nello spazio

Per trovare un’equazione cartesiana di un piano avendo tre punti occorre trovare i due vettori collegando punti, dopo che con il prodotto vettoriale trovo un vettore ortogonale agli altri due che invece sono i componenti. Questo terzo vettore fungerà da direzione ortogonale nella formula dell’equazione cartesiana:

• Piano per P1, P2, P3
• n_{1 2}, n_{2 3}, n₃
• a (x-x₀) + b (y-y₀) + c (z-z₀) = 0

Equazione Parametrica

Sistemi Lineari

equazione lineare a n incognite

dove le a e b sono numeri reali mentre le x sono le incognite

Soluzione

una n-upla di numeri reali (n₁, n₂,... nₙ) è soluzione dell’equazione se verifica:

Sistema 2 equazioni e 3 incognite

• 2 piani paralleli ⟹ 0 soluzioni
• 2 piani incidenti ⟹ ∞² soluzioni
• 2 piani coincidenti ⟹ ∞³ soluzioni

Logarithm properties: α loga a = α x^a = Δ (xⁿ )^m = x^a x^a x^b = x^a+b loga m^x = x loga m loga A = B → logc A = logc B

Teoremi dei confronti

Siano f,g,h: [a,b] → ℝ e x₀ un punto €[a,b]

• lim _x→x₀ f(x) = lim _x→x₀ h(x) = L
• lim _x→x₀ g(x) = Lx _x→x₀ x ∈ x₀

Operazioni fra limiti

• lim (f(x)) a lim (g(x)) b_{x→x₀ x→x₀}
• lim (f(x)+g(x)) ab = lim (f(x).g(x)) = ab_{x→x₀ x→x₀}

Equazione asintoto obliquo

m lim ^x→∞ f(x)) ^x→∞ _x q = lim _x→∞ ((f(x)-mx)^∞)

Continuità

Una funzione è continua in x₀ se esiste il limite _x→x₀ x = f(x₀)

Discontinuità

lim _{x→x₀ x^-} x x_₀ x^₀ x = f(x₀)_x=0 x ∋ x^₀ Una dei due à limiti non esiste

Valori intermedi

Se una funzione f(x): [a,b] continua allora f assume nell’intervallo tutti i valori compresi fra (f(a) e f(b))

Numero di Nepero e

[Image with limits and graphs]

Derivate

Data una funzione f: [a,b] derivabile in x₀ se esiste finito il limite del rapporto incrementale

lim _h→0 ^fx+h-fx = h

Equazione tangente

y^₁= f(xo)+f’(x₀)(x-x₀)