Schemi e mappe concettuali di Geometria Analitica

FORMULE GEOMETRIA

MATRICI SIMILI

A, B SIMILI ∃ H t.c. A = H · B · H^-1

1. Stesso polinomio caratteristico di A, B preca:
   1. A diag B diag ⇒ SIMILI
   2. A diag B mon diag A mon diag B diag ⇒ NON SONO SIMILI
   3. A mon diag B mon diag ⇒ NON SI SA, OCCORRE CERCARE UNA MATRICE H t.c. A·H = H·B

NORMA

|| X || = √_{⟨x, x⟩} = √_{x1² + x2² + ... + xm²}

DISTANZA TRA VETTORI

X = (x₁, ..., x_m)Y = (y₁, ..., y_m)

d(x, y) = || x - y || = √[(x₁ - y₁)² + ... + (x_m - y_m)²]

ANGOLI TRA VETTORI

Θ∈[0, π]cosΘ = _{⟨x, y⟩}/^{|| X || || Y ||}

ORTOGONALITÀ

X⊥y : ⟨x, y⟩ ⇒ 0

COMPLEMENTO ORTOGONALE

ℝ^m = X⊕X^⊥dim X^⊥ = m - dim X

CN

SE A, B SIMILI, allora:

1. TrA = TrB
2. |A| = |B|
3. π(A) = π(B)

FORMULE GEOMETRIA

MATRICI SIMILI

A, B SIMILI ⇔ ∃ H t.c. ⇒ A = H ⋅ B ⋅ H^-1

1. Stesso polinomio caratteristico di A, B prevea:
   1. A diag } ⇒ SIMILIB diag
   2. A diag } ⇒ NON SONO SIMILIB non diag }  }
   3. A non diag } ⇒ NON SI SA, OCCORRE CERCARE UNA MATRICE H t.c. A ⋅ H = H ⋅ BB non diag } 

NORMA

|| X || = √x₁²+x₂²+...+x_m²

Distanza tra vettori

X = (x₁, ..., x_m)Y = (y₁, ..., y_m)

d(X, Y) = || X - Y || = √(x₁ - y₁)²+...(x_m - y_m)²

ANGOLI TRA VETTORI

Θ ∈ [0, π]cosΘ = ⟨ X, Y ⟩/|| X || || Y ||

ORTOGONALITÀ

X ⊥ Y : ⟨ X, Y ⟩ ≥ 0

COMPLEMENTO ORTOGONALE

ℝ^m = X ⊕ X^⊥dim X^⊥ = n - dim X

CN

SE A, B SIMILI, allora:

1. TrA = TrB
2. |A| = |B|
3. π(A) = π(B)

PROIEZIONE ORTOGONALE SU UN VETTORE

X^' = <X, a> / <a, a> · a se a è versore X = <X, a> · a

Sviluppo di Fourier:

X = Σ_k=1^m (<X, X_k> / <X_k, X_k>) X_k

IPERPIANO

Sottospazio di ℝ^m con dim = m-1

PROIEZIONE ORTOGONALE SU UN IPERPIANO

X^' = X - (<X, a> / <a, a>) a

PROIEZIONE ORTOGONALE SU UN SOTTOSPAZIO X di ℝ^m

R_X(V) = V^'

V^' = Σ_i=1^k (<V, x_i> / <x_i, x_i>) x_i ⇒ Fourier : occorre base ortogonale

MATRICE ORTOGONALE

A · A_T = A_T · A = I e A_T = A^-1

Proprietà:

• Prodotto di rotazioni ortogonali è matrice ortogonale
• La matrice I è ortogonale
• |A| = ±1
• A^-1 è ortogonale
• Righe o colonne formano una base ortonormale di ℝ^m (righe o colonne a due a due ortogonali)

MATRICI SIMMETRICHE (reali)

Ogni matrice reale simmetrica è diagonalizzabile.

• a) A possiede tutti gli autovalori reali.
• b) ℝ^m possiede una base formata da autovettori di A.
• c) ℝ^m coincide con la somma diretta degli autospazi di A.
• d) Gli autospazi di A sono a due a due ortogonali

MATRICI ORTOGONALMENTE SIMILI

A = H·B·H_T = H·B·H^-1

H matrice ortogonale!

TRASFORMAZIONI ORTOGONALI

f: ℝ³→ℝ³ trasf. ortogonale

A: matrice che rappresenta f (ortogonale) rispetto alla base canonica.

• 1) |A| = 1 ⇒ Trasf. ortogonale propria (rotazione)
• 2) |A| = -1 ⇒ Trasf. ortogonale impropria (riflessione)

A matrice reale emisimmetrica. Allora esiste w ∈ ℝ³ t.c.:

∀x ∈ℝ³ (Ax = w ∧ x)

w = [0 a b]

   [-a 0 c]

   [-b -c 0]

ROTAZIONE (|A|=1)

cosθ = ¹/₂(TrA -1) (angolo di rotazione)

∂ : (A - A_T)x = α ∧ x

                ⟶ (asse di rotazione)

GEOMETRIA ANALITICA

RETE

r:{ x = x₀ + at

   y = y₀ + bt     t ∈ ℝ    equazione parametrica

   z = z₀ + ct

(a:b:c) PARAMETRI DIRETTORI   (oppure: (kA:kB:kC) con k ≠ 0 )

PIANI

π: ax + by + cz + d = 0   equazione cartesiana

(a:b:c) mi danno la direzione ortogonale al piano: [π]

x₀ (PUNTO DEL PIANO): (x₀, y₀, z₀) ← passante per zeta che ha ∂: (a, b, c) ⊥ π

X (P.del PIANO): (x, y, z)

π: a(x-x₀) + b(y-y₀) + c(z-z₀) = 0

PARALLELISMO E ORTOGONALITÀ

1. r, s rette
   • r // s a // b b = ka
   • r ⊥ s a ⊥ b <a, b> = 0
2. π₁, π₂ piani
   • π₁ // π₂ a₁ // a₂ a₂ = ka₁
   • π₁ ⊥ π₂ a₁ ⊥ a₂ <a₁, a₂> = 0
3. r , π
   • (a) r // π a ⊥ b <a, b> = 0
   • (b) r ⊥ π a // b b = ka

POSIZIONI RECIPROCHE

• π₁ , π₂
  • Intersezione lungo una retta
  • Parallelismo (o coincidenza)
• r , π
  • Intersezione in 1 punto
  • Parallelismo (o appartenenza retta-piano)
• r , s
  • Incidenza in 1 punto
  • Parallelismo

DISTANZA PUNTO PIANO

π: ax + by + cz + d = 0

P ≡ (x_o, y_o, z_o)

d(P, π) = |ax_o + by_o + cz_o + d| / √(a² + b² + c²)

FASCIO DI PIANI

π₄ = a₁x + b₁y + c₁z + d₁ = 0

π₂ = a₂x + b₂y + c₂z + d₂ = 0

Φ_r = λ(a₁x + b₁y + c₁z + d₁) + μ(a₂x + b₂y + c₂z + d₂) = 0

dove (λ, μ) ∈ ℝ e (λ, μ) ≠ (0,0)

SFEREA

S = (x-x₀)² + (y-y₀)² + (z-z₀)² = r² eq. cartesiana

S = x² + y² + z² + ax + by + cz + d = 0 eq. cart. generale

Centro:

• x₀ = -^a/₂
• y₀ = -^b/₂
• z₀ = -^c/₂

Raggio: r = ¹/₂ √(a² + b² + c² - 4d)

POSIZIONE RECIPROCA (piani-sfere)

1. Piano esterno alla sfera d(C,Π) > r
2. Piano tangente alla sfera d(C,Π) = r
3. Piano secante la sfera d(C,Π) < r

CIRCONFERENZA

γ: { x² + y² + z² + Ax + By + Cz + D = 0 dx + By + Cz + d' = 0 eq. cartesiana

Centro:

• Trovo una retta passante per il centro C della sfera.

Facco l'intersezione della retta con il piano: r ∩ Π

• Trovo la distanza tra C centro della sfera e il piano Π: d(C,Π) = R = ¹/_√
• Uso il Teorema di Pitagora r = √(R² - H²) dove R = raggio sfera

CONICHE

ELLISSE

^x/_a + ^y/_b =1

ε=(^c/_a) a² = b² - c²

IPERBOLE

^x/_a - ^y/_b =1

ε=(^c/_a) b² = c² - a²

PARABOLA

y=ax²+bx+c

F=(-^b/_2a, -^Δ/_4a)

Δ => y=-^1+D/_4a

Equazione:

F(x,y)=a₁₁x²+2a₁₂xy+a₂₂y²+2a₁₃x+2a₂₃y+a₃₃=0

M: X^T.B.X + a^T.x + e = 0      dove: x = ^{[ x ]}/_{[ y ]}

(λ₁x²+λ₂y²+c=0)      forme canonica

B= [_{a11 a12}]

     [_{a12 a22}] (σ λ₁, λ₂)

INVARIANTI

• I₃ = |a₁₁ a₁₂ a₁₃|
•           |a₁₂ a₂₂ a₂₃|
•           |a₁₃ a₂₃ a₃₃|
• I₂ = |a₁₁ a₁₂|
•           |a₁₂ a₂₂|
• I₁ = a₁₁ + a₂₂ (Traccia di B)

I'₃=p³.I₃

I'₂=p².I₂

I'₁=p.I₁

Classificazione e Riconoscimento (coniche)

1) I₃ ≠ 0   —→   CONICA IRRIDUCIBILE

• 1.1. I₂ < 0     —→  IPERBOLE   (Se I₁=0 EQUILATERA)
• 1.2. I₂ = 0     —→  PARABOLA
• 1.3. I₂ > 0     —→  ELLISSE:
• 1.3.1. ellisse REALE:
•      I₁.I₃ < 0
• 1.3.2. ellisse IMMAGINARIA
•      I₁.I₃ > 0

2) I₃ = 0   —→   CONICA DEGENERE (RIDUCIBILE)

• 1.1. I₂ < 0
• 1.2 I₂ = 0
• 1.3 I₂ > 0