Schemi, Analisi matematica II

OREGENZE

EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL II ORDINE A COEFFICIENTI COSTANTI

ay''(x) + by'(x) + cy(x) = 0 con a, b, c, reali

y'' + 2y' + 2y = 0   1/4 y'' + y' = 0 a = 1 b = 2 c = 2   a = 1/4 b = 1 c = 0

L'insieme delle soluzioni è uno spazio vettoriale di dimensione 2

quindi la soluzione generale sarà: C₁y₁(x) + C₂y₂(x) - C₁ e C₂ sono parametri liberi che si possono calcolare solo nei problemi di Cauchy. - y₁ e y₂ sono una base dello spazio delle soluzioni

Dato L' eq. di partenza è uguale a trovare y₁(x), y₂(x)

Per fare ciò devo risolvere in C l'EQUAZIONE CARATTERISTICA aλ² + bλ + c = 0

I CASO   se ho 2 r.l. λ₁, λ₂ ∈ R — D = λ² + λx   p y(x) = C₁e^λ₁x + C₂e^λ₂x

II CASO   se ho 1 r.l. λ₁ = λ₂ ∈ R — x   1   x e^λx   x

III CASO   se ho λ₁ = q + ips ∈ C   e^qx cos(ps) e^qx sin(ps)   e^qx e^qx

  y(x) = C₁e^qxcos(βx) + C₂e^qxsen(βx)

ESERCIZIO

y'' - 5y' + 4y = 0   EQ. CARATTERISTICA: λ² - 5λ + 4 = 0

SOLUZIONI:   λ₁ = 4   λ₂ = 1

BASE:   e^4x   e^x

SOL GENERALE:   C₁ e^4x + C₂ e^x

Esempio 2

4ψ‴+2ψ′+2ψ+0 ψ(0)=1 ψ′(0)=1

Equaz. Caratteristica:

z²+2z+2=0

Soluzioni: λ₁=-1+i; λ₂=-1-i

Base: e^xcosx, e^-xe^mx

Sol. Generale: ψ(x)=C₁e^xcosx+C₂e^-xe^mx

ψ¹(x)=-e^-x(C₁acosx+C₂e^mx)+e^-x(-C₁e^mx+C₂cosx) ψ(0)=1 ⟹ C₁=-1 ψ′(0)=1 ⟹ -C₁+C₂=-1

Sol. Cercata: ψ(x)=e^-x(cosx+2e^mx)

Non Omogenee

Eq. Differenziali Dell'Ordine, Variazione Delle Costanti

y′′(x)+bₓy′(x)+cₓg(x)=f(x) ψ‴′-2ψ¹+ψ=e^x

1. Determinare l'assoluzione (Generale Della Dirigenza Associata)

φ₀(x)=C₁y₁(x)+C₂ϕ₂(x) g(x)=0 costante costante

1. Trovare una soluzione particolare Della Forma: ϕ è in funzione Dir cain funzione Dix

φₚ(x)=C₁(x)ϕ₁(x)+C₂ϕ₂(x) Per trovare C₁(x)e C₂(x)

C₁′(x)ϕ₁(x)+C₂′(x)ϕ₂(x)=0

C₁′(x)ϕ₁(x)+C₂′(x)ϕ₂(x)=f(x)

⇒ C₁(x)=e^xC₁(x)e^x+C₂(x)x

sostituire su Decom Barney Eq. interna accorda equazione!

-xC₂'(x)e^x+C₂(x)x+C₁(x)e^x=¹/_x⁹

Esempio 3

y^'' + 5y' + 6y = e^-2x

Tentativo: y(x) = e^-2x

y'(x) = -2 e^-2x      y''(x) = 4 e^-2x

Sostituzione:

4 e^-2x - 10 e^-2x + 6 e^-2x = e^-2x

0 ≠ e^-2x      Non va bene

Doveva venire 0, perché e^-2x è sol. dell'equazione omogenea: cioè sostituito y'' + 5y' + 6y dà per forza 0.

I tentativo del tentativo è fallito

e^-2x è soluzione dell'omogenea

Si può cercare una soluz. particolare del tipo y_p(x) = λxe^-2x

y_p'(x) = λe^-2x - 2λxe^-2x

y_p''(x) = -2λe^-2x - 2λe^-2x + q λxe^-2x

Sostituisco

-q λ e^-2x + q

e^-2x + 5 λe^-2x - 10

+ 6

= e^-2x

Le parti con λ x nella nuova equazione devono per forza andare

Resta q λ e^-2x = e^-2x ⇒ λ = 1

Soluzione generale: y(x) = xe^-2x + q e^-2x + b e^-3x

V(x, μ) = xμ² + g(μ) ∋ V(x, μ) = xy² + 0 ∋ V(x, y) = xμ²

Im. 3 dimensioni

E = (xμ, y, x-y, l, z)

r(t) = (r^t, e(t), e¹, e^t) t∈[α, γ]

V_x = x+y ∂ ∋ V(x, y, z) = ß(x+y) dx + g(y, z) dy = x² + xy + g(μ, z)

V_μ = x + ∂_y g = x-y ∂g(y, b) ∂z ∋ ∂dμ = μ² h(z) = ^g ∂z h(z)

V(x, y, z) - x² + xy + z² h(z) = x² xy - y² + z² + c

Lavoro

Metodo

P(α, γ)⁽⁰⁾

Q(x², y², z) retta passante per due punti

x-x₁ y-y₁ x y x=x φ d(t), (t, t)

x₂-x_b y₂-y_p 1 1

Γ(F, ó) = ₀∫ E₁(σ+t)x1 + ₂(σ+t)φ¹d^t1d

= ₀∫ t³ + zt², t¹ dt

= ^t1 + ² ∫ t² dt ∪ 2 ∫ t² dt +...

3 3 ³ 1¹ 0 1+2 0 ₃ ∋ +1

Metodo

Γ(E, ó) = L(F, ó)¹

σ¹(o) = δ(o) = (o, o)

j¹(σ) = δ(σ)⁴ (-y¹)

V(x, y¹) - Vó(o, o)¹

V(x, φ)¹ = xy² = D(L(F, δ)), -1,¹ -0,-1

Forma Differenziale

ω = ₂ dk - 2xy dφ

F(¹) ¹ ,∈

(1+ψ)^{4x 2xy}, ^(1+ψ)2

a) ω, usi da chiuso α rot E = 0

F (Ti, Ef) ∋ rot F = (o, o, dx E¹ = dμ_y F)⁴

rot F(o, o ², 4+(ψ)²)²...

(1+μ)² σ4 (1+ψ)²₂) ¹+o

ω non ầ chiusa