Schemi, Analisi matematica II

OMOGENE

EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL n-ORDINE A COEFFICIENTI COSTANTI

aₙy⁽ⁿ⁾(x) + bₙy⁽ⁿ⁻¹⁾(x) + cₙy(x) = 0 con a₁, b₁, c₁ reali

yʺ + 2yʹ + 2y = 0

a = 1 b = 2 c = 2

(1/4)yʽʽʽ + yʹʹ + yʹ = 0

a = 1/4 b = 1 c = 0

L'insieme delle soluzioni è uno spazio vettoriale R di dimensione 2

Quindi la soluzione generale sarà: c₁y₁(x) + c₂y₂(x)

- c₁ e c₂ sono parametri liberi che si possono calcolare solo nei problemi di Cauchy.

- y₁ e y₂ sono una base dello spazio delle soluzioni.

Dato che eq. di potenze regoli trovare y₁(x),y₂(x)=e

Per fare ciò devo risolvere in C l'EQUAZIONE CARATTERISTICA

aλ² + bλ + c = 0

I CASO se ho λ₁ ≠ λ₂ di λ₁, λ₂ ∈ R

II CASO se ho λ₁ = λ₂ = λ⁻1, λ₂ ∈ R x e2, e22 x + b x 8x =

III CASO se ho λ₁, -λ₂ e β ∈ R ex

BASE

y(x) = c₁eᵖˣ cos(βx) + c₂eᵖˣ sin(βx)

ESEMPIO1

yʺ - 5yʹ + 6y = 0 EQ. CARATTERISTICA z² - 5z + 6 = 0

SOLUZIONI z₁ = 3 z₂ = 2

BASE: e⁴ˣ e⁵ˣ

SOL GENERALE: c₁e⁴ˣ + c₂e⁵ˣ

OMOGENEE

EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL L'ORDINE A COEFFICIENTI COSTANTI

a_ny⁽ⁿ⁾(x) + a_n-1y^(n-1)(x) + ... + a₁y'(x) + a₀y(x) = 0 con a_n, a_n-1, ..., a₀ reali

y'' + 2y' + 2y = 0   1/4 y'' + y' + y = 0

a = 1 b = 2 c = 2   a = 1/4 b = 1 c = 1

L'insieme delle soluzioni è uno spazio vettoriale di dimensione 2

quindi la soluzione generale sarà: c₁y₁(x) + c₂y₂(x)

c₁ e c₂ sono parametri liberi che si possono calcolare solo nei problemi di Cauchy

y₁ e y₂ sono una base dello spazio delle soluzioni

Dato il eq. di partenza vogliamo trovare y_i(x) tipo e^λx

Per fare ciò, devo risolvere, in , L'EQUAZIONE CARATTERISTICA

az² + bz + c = 0

BASE          SOL. GENERALE

I CASO se ho z₁ ≠ z₂ -> y₁ = e^z₁x   y₂ = e^z₂x   -> y

pr(x) = c₁e^z₁x + c₂e^z₂x

II CASO se ho z₁ = z₂ = -b/2a   y₁ = e^zx   => sp₂(x) = e^{-b/2a x}

p(x) = (c₁ + c₂x)e^zx

III CASO se ho z_1,2 = -β ± iδ => z_1,2 = -1/2a   cos(β·x) e^{-β x}

y_i = e^-βx cos(δx) e^{-β x} sin(δx) ∀

=∅ y(x) = c₁e^βx° cos(βx) + c₂e^βx° sin(βx)

ESEMPIO 1

y'' - 5y' + 4y = 0   EQ. CARATTERISTICA z² - 5z + 4 = 0

SOLUZIONI z₁ = 4 z₂ = 1

BASE: e^4x e^x

SOL. GENERALE: C₁e^4x + c₂e^x

Esempio 2

{y'' + 2y' + 2y = 0y(0) = 1y'(0) = 1

Equaz. caratteristica:

z² + 2z +2 = 0

Soluzioni:

λ_1,2 = -1±i

α = -1β = 1

Base:

e^-x cos x; e^-x sen x

Sol. generale:

y(x) = C₁ e^-x cos x + C₂ e^-x sen x

y'(x) = - e^-x (C₁ cos x + C₂ sen x) + e^-x (-C₁ sen x + C₂ cos x)

y(0) = 1 → C₁ = 1

y'(0) = 1 → -C₁ + C₂ = 1

Sol. cercatay(x) = e^-x (cos x + 2 sen x)

Non omogenee

Eq. differenziali del l'ordine, variazione delle costanti

y''(x) + b₁ y'(x) + c₁ y(x) = f(x)

y'' - 2y' + 4y = e^-x x q

1. Determinare l'assunzione generale della omogenea associata

ϕ₀(x) = C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) g(x) = 0ϕ₀(x) = C₁ e^-x + C₂ xe^-x

2. Trovare una soluzione particolare della forma:

p(x) = funzione dx con x una funzione dx

ϕ_p(x) = C₁(x) ϕ₁(x) + C₂(x) ϕ₂(x)Per trovare C'₁(x), C'₂(x)

{C'₁(x) ϕ₁(x) + C'₂(x) ϕ₂(x) = 0C'₁(x) ϕ₁'(x) + C'₂(x) ϕ₂'(x) = g(x)

x e^-x [C'₁(x) e^x + C'₂(x) xe^x] = e^-x / x q

⇒D (C₁(x) = - C₂(x) x' (x))sostituire nel sistema e decomporre equazione!

-x C'₂(x) [C₁(x)e^x + C₂(x) e^x + C₁(x) e^x + C'₂(x) xe^x] = e^-x / x q

3) Calcolare la soluzione

generale y_g(x) = y_p(x)

y(x) = y_o(x) + y_p(x)

• C₁(x) = - ¹⁄_x³
• C'₁(x) = 1 ⁄ x⁴
• C₁x = ∫^-1 ⁄ x³ dx = ^-1 ⁄ 2x²
• C"₂(x) = ∫ e^x ⁄ x³ dx = -^ex ⁄ x³
• y_p(x) = ^-1 ⁄ 2x² e^x + 1 ⁄ x³ e^x - e^x ⁄ 6x²

3) y_p(x) = y_o(x) + y_p(x)

y(x) = C₁ e^x + C₂ x e^x + e^x ⁄ 6x²

Eq. differenziali a variabili separabili

• Sono equazioni differenziali del primo ordine che si possono ricondurre alla forma:
• dy ⁄ g(x) = y(x) f(y) = e^x y(x) ⁄ g(x) g(x)

Per risolvere devo:

1. Separare le variabili x e dy
2. Integrare ciascun membro rispetto alle variabili da cui dipende
3. Ricavare y(x)

Esempio 1:

y^-1, y^-2(mx

• dy ⁄ dx = x² mx * (x
• 1) dy ⁄ y² 2) y_c ⁄ y₂
• 3) y(x) = -1 ⁄ (x(mx + 2c))

Il valore di C si ottengono infinite soluzioni.

Va bene anche y(x) = >

Esempio 2.

• ψ₁ = senx e⁻ˣ
• ψ(π/2) = -1
• dy = eˣ.dx → e⁻ˣ.dy = senx dx e⁻⁴
• ∫ e⁻⁴.dy = ∫ senx.dx → -e⁻⁴. = -cosx + C
  • e⁻⁴ = cosx - C
• e⁻⁴ = cosx + C →
  • ψ = -ln(cosx + C)
  ψ(x) = -ln(cosx + C)

Dobbiamo determinare il valore di "C" perché abbiamo davanti un problema di Cauchy

• a) ψ(π/2) = 1 → -ln(cos(π/2) + C) = -1 → ln(C) = -1 => C = 1/e

La soluzione del problema di Cauchy è:

ψ(x) = -ln(cosx + 1/e)

Importante: bisogna controllare che l'equazione ammetta delle soluzioni costanti:

• ψ₁ = g(x).g(x)
  • se x ∈ IR/g(ψ) = 0 allora ψ(x) = ψ è una soluzione
  • quindi se proseguiamo e dimostriamo l'equazione ha g(ψ) = g(x) = 0

Quindi come primo passaggio bisogna vedere se ci sono soluzioni costanti per cui si annullino g(ψ).

NON OMOgenea

Eq. differenziale del II ordine con metodo intuitivo

Esempio 1

y'' + 5y' + 6y = e^x

Devo trovare una soluzione del tipo ϕ(x)=λe^x

sostituisco

ϕ''(x)=λe^x; ϕ'(x)=λe^x

λe^x + 5λe^x + 6λe^x = e^x

12λe^x = e^x λ=1/12

Una soluzione ϕ₁(x) = 1/12e^x

xol generale: ϕ(x) = 1/12 ae^-2x + be^-3x + 1/12 e^x

Esempio 2

y'' + 5y' + 6y = e^2x

Cerco una soluzione del tipo ϕ(x) = λe^2x

ϕ'(x) = 2λe^2x ϕ''(x) = 4λe^2x

sostituisco

4λe^2x + 10λe^2x + 6λe^2x = e^2x

20λe^2x = e^2x λ=1/20

xol generale: ϕ(x) = ae^-2x + be^-3x + 1/20 e^2x

ESEMPIO 3

y''+5y'+6y = e^-2x

Tentativo: y(x) = c e^-2x

y'(x) = -2 c e^-2x   y''(x) = q c e^-2x

sostituzione

c q e^-2x - 10 c e^-2x + 6 c e^-2x = e^-2x

0 = e^-2x   NON va bene

Dobbiamo evanire, o perché e^-2x è sol. dell'equazione omogenea, cioè sostituito y''+5y'+6y dà per forza 0.

Il metodo del tentativo è proibito

e^-2x è soluzione dell'omogenea

Si può cercare una soluz. particolare del tipo y_p(x) = l x e^-2x

y'_p(x) = l e^-2x - 2 l x e^-2x

y''_p(x) = -2 l e^-2x - 2 l e^-2x + q l x e^-2x

sostituisco

-2 l e^-2x + q l / _xe^-2x + 5 l e^-2x - 10 l / _xe^-2x +

  + 6 /_xe^-2x = e^-2x

Le parti con l/x e nel danno e devono per forza andare

Resto: -2 l + l e^-2x = e^-2x → l = 1/2

soluzione generale: y(x) = x e^-2x + a e^-2x + b e^-3x

In generale se f(x) = e^qx il tentativo da fare è

ψ(x) = l e^qx

Questa funzione sempre tranne quando e^qx è soluzione dell'omogenea

In due casi si prova con

ψ(x) = λx e^qx

Questo non funziona nel caso in cui e^qx è sol. dell'omogenea, ma allora si prova con

ψ(x) = λx² e^qx e così via

L'esponente dell'xx deve essere maggiore di

quello dell'omogenea

Metodo della somiglianza

• Semi - andaggiamento se f(x) = xe^qx o pol
• in generale

g(x) = ρ(x) e^qx , si cerca una soluzione del

tipo

ψ(x) = q(x) e^qx dove q è un polinomio dello

stesso grado di quelli con cui

prenduto

Esempio

ψ⁽⁰⁾ + 5ψ⁽¹⁾ + 6ψ = x² + 3

Il tentativo da fare è un polinomio dello stesso grado

ψ(x) = ax² + bx + c

ψ⁽⁰⁾ = 20a + b

ψ⁽¹⁾ = 20a costitutivo

20a + 10xax + sb + 6ax² + 6bx + 6c = x² + 3

6α=1                   coeff. di x²

10α+6b=0          coeff. di x

2α+5b+6c=3    termine noto

α=1/6

6b + 10α = 10/3

b=-5/3

trovo C

Provare con un polinomio dello stesso grado funziona tranne quando dei polinomi sono soluzioni della eq omogenea.

TERMINI NOTO: PRODOTTO DI UN POLINOMIO PER UN'ESPRESSIONE ESPONENZIALE

g(x)=p(x) e^αx

I CASO: α NON è RADICE

ψ_α(x)=q(x)g^α(x)   qg(x)=g(α)f(x)

II CASO: α è RADICE

ψ_α(x)=m_α(x)q ⊃α(x) e^αx

Multiplicità delle radici α

Δ≤ 0     m=l

Δ > 0     m=2

TERMINO NOTO: PRODOTTO DI UN POLINOMIO PER FUNZ. TRIGONOMETRICHEED ESPONENZIALI

g(x)=e^αx(pm(x)cosδβx)+q · (pm(x)cosδ)_βx)

pm non gemm    re eq   q=R

I CASO: -γ+iβ NON è RADICE DEL POLINOMIO

ψγ,β (x) =e^αx(g_{m(x)[ω,pβ(x)]cosβx}

g^m,unωm(x)cosβx

II CASO: ± iβ è RADICE

ψ(x)-Xl iβ e^αx[g_m(x)cos(

(&om(x))sm(x)gmm=max ½ mul ε

h1 è la multiplicità delle radici-γ+iβ

4^a E P R C E

y''+y = 0

αu''₊ βu'₊ γu = 0

P(C )=λ²₊1

λ_1,λ ₂ = _±i

λ =α_±iβ

γ 

= _-β ^/ 2α

β= _{√( ^x |||x+}

demod_t≤>

p&_x>x&-1>t;

βp^ƽ=

β>=xt

g(x

)
• Y

p