Analisi matematica 1 - schemi

Simboli Logici

¬ non

∧ e

∨ o

p(x) proposita

Quantificatori

∀ per ogni

∃ esiste (∈)

∃! esiste unico

Relazioni tra insiemi:

A=B uguaglianza → ∀ x∈A, x∈B

A⊆B inclusione → ∀ x (x∈A→x∈B)

∅ insieme vuoto → ∅ ⊆ qualsiasi A

insieme: concetto primitivo che denota una collezione di oggetti

Insiemi Numerici:

• N={0,1,2,3,...} somm., prodotto
• Z={..., -2,-1,0,1,2,...} - sottrazione
• Q={m/n | m, n ∈ Z, n ≠ 0} - divisione
• R={x|x∈C} C∈Z, l∈Z -> numeri anche infiniti e non periodica
• #=0,_3.1=0,3

Operazioni tra insiemi:

dato A, B ⊆ X

• P(A) - famiglia di tutti i sottoinsiemi di A ^→ 2ⁿ elementi
• unione: A∪B = {x|x∈A∨x∈B}
• intersezione: A∩B = {x|x∈A∧x∈B}
• diff. insiemistica: A-B= {x|x∈A∨x∉B}
• complemento di A: A^c= A\(A∩B)
• complementarità: A^c∪A^c=A
• prodotto cartesiano: A×B= {(a,b)|a∈A, b∈B} → coppie ordinate

Proprietà delle operazioni su insiemi:

∩ e ∪ commutative e associative

distributive: A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

Leggi di De Morgan:

• (A∪B)^c= A^c∩B^c
• (A∩B)^c=A^c∪B^c
• (A^c)^c=A

Tipi di Dimostrazioni:

• controesempi - antefeddiano un enunciato, trovamo un particolare x che soddisfa l'ipotesi ma non la tesi
• dim. di retta: riavvicinamento logico usando competenze acquisite, per procedere dalla tesi alla th_h.
• dim. inversa: mostro che la tesi è falsa, quindi tipo F, è falsa → x p(x)⟹ q(x) ⇔ x x∈q(x)⟹non q(x⟹non p(x))
• dimostrazione della tesi controintuitiva
• dim. per assurdo: negando la tesi, se ipotesi ⟹√ заряд с климат endot si arriva a una contraddizione

1. es: non esiste numero razionale cui opposto è 3.5 → ∀ q∈ Q φ+ε₀
2. faremoso supponanni che ∃ q ∈ Q t.q. q_{0, 3=1→ 3.5=3² and m0 m²; в qm l', m ∈ q}
3. mq√λ=2 \sqrt{λ} = ≠m²рменитьəlxalq · препятствие всем мере→÷2 (нет q только равное в паре)

Dim. per induzione:

• (1) ⊡ esculso ⊓ incluso
• ([) ∀ ɪ ʉ excluso ⊌ incluso

2

DEF:

• l∈ℝ è maggiorante di X se ∀x ∈X ⇒ x ≤ l
• l∈ℝ è minorante di X se ∀ x ∈X ⇒ x ≥ l

{ [l;+∞)

(-∞,l] }

DEF:

1. X è limitato superiormente se ammette un maggiorante

⟺ ∃ l ∈(−∞ , L] per qualche L ∈ℝ

2. X è limitato inferiormente se ammette un minorante

⟺ ∃ x ∈ [l,+∞) per qualche l ∈ℝ

3. X è limitato se ammette sia un maggiorante che un minorante

⟺ ∃ x ∈ [l,L] per qualche L,l ∈ ℝ

DIM. diretta di (1)

p(L) x= x limitato superiormente ⟺ p(¤x) = x limitato inferiormente

1. p(L)x = p(¤x) cioè, se X limitato sup ⇒ ∃l∈ℝ: x ∈ (− ∞ ; L]

p ¤ = l: ∀ x ∈ x ⇒ X ≤ L

per def. di ¤ ,

l ⟺ ∃l : ∀ x ∈ X ⇒ x ∈ (−∞ , L]

2. p(¤x) x= ⟹ p(L)x

analoga

• H∈ℝ è massimo di x se: a) H∊X

b) H è maggiorante di x, cioè ∀x∈x ⇒ x ≤ H

• m∈ℝ è minimo di x se: a) m∊X

b) m è minorante di x, cioè ∀x∈x ⇒ x ≥m

• S∈ℝ è estremo superiore, di x se S=min{maggioranti di x}

s ⇒ x è "limitato superiormente Supx, TCB

• e∈R{ è estremo inferiore di X se E=max{minoranti di x}

e ⇒ x è limitato inferiormente Infx, -∞

Proprietà dell'estremo superiore di x R:

Ogni x⊆ℝ limitato superiormente ha estremo superiore

Caratterizzazione di Sup x: x limitato superiormente

• S=SupX∈ℝ ⟺

1. ∀ x ∈ x, x ≤ (cioè S, è maggiorante)
2. ∀ e≺ S, s

b) ∀e≺ o, ∃ s∈X: S−ε≺x

Caratterizzazione di Infx:

x limitato inferiormente

• s=InfX

1. ∀ x∈X, X ⊆ s

• b) ∀ s≺0 ∃x ∈ X, S≺s+ε x

ARCHEIMEDCITALDI IN:

∀ x∈ℝ ∃ n∈ℕ Con n≫x ⟹ N° i limitato superiormente

FUNZIONI ELEMENTARI:

• identità

∎ costante: assume lo stesso valore indipendentemente dalla x considerata, c: R ⟶ R | f(x) = k | Im mf = k

∎ modulo f(x) = |x|

R ⟶ R | Im mf = f: [0, +∞)

|x| =

• x se x ≥ 0
• -x se x < 0

(definizione a tratti)

∎ parte intera

[x] = quell’intero n tale che n ≤ x < n + 1

[x] ∈ R ⟶ Z

x ⟶ max{z ∈ Z : z ≤ x}

(funzione costante a tratti)

∎ mantissa (o parte decimale di x) mant(x) = x - [x]

D: R ⟶ R | Im m(mant) = [0, 1)

es: mant(-1.2) = -1.2 - (-2) = 0.8

f periodica con T = 1.

∎ segno sgn(x) R ⟶ {1, 0, -1}

sgn x =

• 0 se x = 0
• -1 se x < 0
• 1 se x > 0

(non è iniettiva)

∎ composta

o = g ∙ f(x) f: A ⟶ Im m A ⊆ B g: B ⟶ C

[g(f(x))]

∎ o ∙ f = f ∙ o prodotto di composizione non commutativo

(f ∘ g) ∘ o = f ∘ (g ∘ o) proprietà associativa

∎ inversa (definita tramite composizione)

f^-1: g ∘ f(x): B ⟶ A è inversa di f: A ⟶ B se: (f ∘ g) = I_DB ⟶ ∀b ∈ B: f(g(b)) = b

o = (o ∘ f) ⦁ I_DA = ∀a ∈ A: f(b) ⦁ g = a

sono ciascuna una corrispondenza biunivoca tra A e B.

-grafi ottenuti tramite riflessione rispetto alla bisettrice del III^° quadrante

∎ trigonometriche:

∎ angolo x misurato in radianti

1 rg = angolo che intercetta sulla circonferenza un arco di lunghezza ps ¹/₂ raggio = acos^r

∎ funzioni periodiche

• _an non converge a L &element; ℝ per eccesso se ∃ ε > 0 definitivamente L < a_n < L + ε

⇒ lim a_n = L⁺

• _an non converge a L &element; ℝ per difetto se ∃ ε > 0 definitivamente L - ε < a_n ≤ L

⇒ lim a_n = L^-

• Se _an non converge o diverge, si dice IRREGOLARE. Se ciò non accade ⇒ regolare o indeterminato

TEOREMA

Se _an non converge a L &element; ℝ ⇒

• [_an] è limitata

1. Se a_n → l per definizione ∀ ε > 0 ∃ N ∨ N &element; ℕ l - ε < a_n < l + ε
2. Se l∃ (a₁, a₂, ..., a_n, l + ε) ∃ a_v ∨ S V n − S maggiorante
3. s = min(a₁, a₂, ..., a_n, l - ε), l - ε → a_n, S V n = S miniorante

(def. di successione limitata → c.v.d.)

TEOREMA

Se lim a_n = +∞ ⇒

• [_an] è limitata inferiormente

Se lim a_n = -∞ ⇒

• [_an] è limitata superiormente

TEOREMA

Se _an è regolare, il suo limite è unico ed è lo stesso V sottosuccessione

1. C₁ Se lim a_n = +∞ → ∃ n &element; _an è limitata inferiormente, limitata superiormente
2. Se n → x