Schemi Analisi II (tutto il programma)

LO SPAZIO VETTORIALE

(definita un'unità di misura) due segmenti orientati sono equivalenti se hanno lo stesso modulo, direzione e verso.

VETTORE = famiglia di tutti i segmenti orientati equivalenti tra loro.

Chiamiamo E l'insieme dei vettori geometrici nel piano e nello spazio. Introduco alcune operazioni tra vettori geometrici.

1. SOMMA

PRODOTTO DI UN VETTORE CON UNO SCALARE: dato t ∈ R, tperu è quel vettore che:

• ha modulo pari a |t||u|
• ha direzione di u
• ha verso di u se t > 0, è opposto a u se t < 0

(se t = 0) → 0u = O

E è uno spazio vettoriale

DEFINIZIONE

Sia V un insieme in cui sono definite due operazioni:

1. SOMMA: ∀u,v∈ V → u + v ∈ V
2. PRODOTTO PER UNO SCALARE: ∀t ∈ R, ∀u∈ V → tu ∈ V

Si dice che V è uno spazio vettoriale se sono valide le seguenti proprietà:

• COMMUTATIVA ∀u,v ∈ V → u + v = v + u
• ASSOCIATIVA ∀u,v,w ∈ V → (u + v) + w = u + (v + w)
• ∃ IL NEUTRO ∀u ∈ V → u + o = u
• ∃ IL INVERSO ∀u ∈ V → u + ( -u ) = o
• DISTRIBUTIVA ∀u,v ∈ V, ∀t ∈ R → t(u + v) = tu + tv
• DISTRIBUTIVA ∀u ∈ V, ∀t,s ∈ R → (t + s)u = tu + su
• DISTRIBUTIVA ∀u ∈ V, ∀t,s ∈ R → (ts)u = t(su)
• ∃ IL NEUTRO ∀u ∈ V → 1u = u

Osservazione

Da queste proprietà ne discendono altre:

EX. tZ = 0 se e solo se t=0 v Z=0

Altri esempi di spazi vettoriali

1. ^h insieme delle n-uple ordinate di numeri reali

   X = (x₁, x₂, ..., x_n)

   Le due operazioni definite sono:

   1. SOMMA ➔ X = (x₁, x₂, ..., x_n) Y = (y₁, y₂, ..., y_n) X + Y = (x₁ + y₁, x₂ + y₂, ..., x_n + y_n)
   2. PRODOTTO PER UNO SCALARE ➔ t ∈ R, X = (x₁, x₂, ..., x_n) tX = (tx₁, tx₂, ..., tx_n)

Per verificare che ^h sia effettivamente uno spazio vettoriale, devo verificare che siano soddisfatte tutte le proprietà precedentemente elencate:

• EL. NEUTRO ➔ 0 = (0, 0, ..., 0)
• EL. INVERSO ➔ -X = (-x₁, -x₂, ..., -x_n)

Vengono verificate tutte le proprietà - ➔ ^h è spazio vettoriale

N.B. ➔ se n=2 o n=3 ➔ ^h si identifica con E (cioè lo spazio dei vett. geom.)

2. ^[x] ➔ insieme dei polinomi a coefficienti reali nella variabile x

   Definisco le due operazioni:

   1. SOMMA ➔ ρ(x), q(x) ∈ ^[x] ➔ ρ(x) + q(x) ∈ ^[x]
   2. PRODOTTO ➔ t ∈ R, ρ(x) ∈ ^[x] ➔ tρ(x) ∈ ^[x]

   Verificate le proprietà posso affermare che ^[x] è uno spazio vettoriale

3. F ➔ l'insieme delle funzioni f: I ⊂ R ⟶ R è uno spazio vettoriale rispetto alla somma di due funzioni e al prodotto di una funzione per uno scalare

La Base di Uno Spazio Vettoriale

Dato uno spazio vettoriale V, e una famiglia di vettori a={v_1, v_2, ..., v_k} con v_1, v_2, ..., v_k ∈ V si dice che a è una base di V se:

1. V_1, V_2, ..., V_k genera V (cioè se span {v_1, v_2, ..., v_k} = V)
2. {v_1, v_2, v_3} è una famiglia linearmente indipendente

Esempio di base di spazi vettoriali:

• ℝ² - a={e₁, e₂} è base canonica di ℝ² perché

1. {e₁, e₂} generano ℝ²
2. {e₁, e₂} sono una fam. linearmente indipendente

N.B. - Altre basi in ℝ²

Qualsiasi coppia di vettori non paralleli (perché due vettori paralleli generano un retto) generano un sistema di rifer. montu. formato da assi non ortogonali tra loro.

• ℝⁿ - a={e₁, e₂, ..., eₙ} è base canonica di ℝⁿ perché

1. ∀ x ∈ ℝⁿ, x = x₁e₁ + x₂e₂ + ... + xₙeₙ
2. {e₁, e₂, ..., eₙ} è una fam. linearmente indipendente

• ℝ[x] (spazio vettoriale dei polinomi di grado ≤ n)

a={1, x, x², ..., xⁿ} è base canonica di ℝⁿ[x] perché

1. ∀ p(x) ∈ ℝₙ[x] p(x) = c₀ + c₁x + c₂x² + ... + cₙxⁿ
2. {1, x, x², ..., xⁿ} è una fam. linearmente indipendente

• ℝ⟨x⟩ (spazio vettoriale dei polinomi)

Non ha sistema di generatori (perché potenzialmente il grado dei polinomi potrebbe essere infinito) si dice che ℝ⟨x⟩ non è fintamente generato.

Teorema

Se uno spazio vettoriale V è finitamente generato allora V ammette una base e ogni sua base è formata dallo stesso numero di vettori.

Perché il piano è formato da 2 vettori?

• 1 genera una retta
• 3 sono linearmente dipendenti.

4) MATRICE DIAGONALE

Una matrice quadrata è diagonale se gli elementi a_ij=0 ∀i≠j.

N.B. se è diagonale è anche simmetrica.

EX.

• D₁ = | 1 0 0 | | 0 2 0 | | 0 0 3 |
• D₂ = | 1 0 0 | | 0 2 0 | | 0 0 6 |

5) MATRICE TRIANGOLARE SUPERIORE

Una matrice quadrata è triangolare superiore se a_ij=0 ∀i>j.

EX.

PRODOTTO RIGHE X COLONNE DI 2 MATRICI

Date le matrici A m×n e B n×k, il risultato del loro prodotto è una matrice C m×k.

L'elemento di posto i,j di C:

a_i ∈ ℝⁿ b_j ∈ ℝ^m

Proprietà del prodotto:

1. (A・B)・C = A(B・C)
2. A(tB) = t(AB) = (tA)・B
3. (A+B)・C = AC + BC
4. (AB)^t = B^t・A^t

N.B. non è commutativo

PRODOTTO DI UNA MATRICE X UN VETTORE

Date una matrice A m×n ed un vettore x (n×1) ∈ ℝⁿ, il risultato del prodotto Ax avrà dimensione m×1.

Allo stesso modo A・e₂ = a² ... A・e_n = aⁿ