Schemi Analisi II

Titolo: Proprietà delle successioni numeriche

AOCvitevo delle vadieSia an0 e sa O<Ke1 tle che en KVn. Ollova sev.e dale coinvege.Dim.Se Yan K, allova an K1; me se 0hei allova la seue e waggiovale de nasee geomevce d vagiove n mduloc L, qVind con veyen le, quind lo e anche la pavieniCvtevo della vadce coni e NO emnaoilnLSe ano Ve llovs Se Lo1dvegeVay<L+gLelcWanLleg<iVesoln:Yn>i- 1ct.c.im.E Ltg enche lsex.e pacieneQuind. pev il. cr. della vedice n conyevge =conNevgeSe invece L>i ho L-E>1=) 1<Ki-ek Vdn => 1<K4nQuind la seve savebhewinovatè de una Sene geometvcad vauone 1 e quindi divergenteleorema se una sevie e assolulamevnle alova e convergevle iYa dean 5to c. Y b ntlel=Os bn 2lal b una sevie terDim posit.vmaagiovata d 2laul che é conv. pevipoles bné conieugente.lotne ansb-lanl, Silcome Sia bn che lanlconvevgone ConNevgeia 2nche An.Cvitevio d Leibni2tn o VData2n .cnr kan vn llore converge limnylnoitve, Y lewore bva valove cU convevge la sene e la Sua v.dobta n-esi naemagyouato del

tevmineuccesswa dd2nOvvevo s-SlAnrdDim. t_inutvo che pe le seve seno altevnodelle vdolle dspavie monctona cvescenle, quella delle vdotlepavMonotona decvesYKeN SSz tpev Kto s- s-oss (sT s dopavQuiadK.dole pvidsp conevgovo allo stesso limte-i edmostvato bl punto2 h, 1 ho Szd4Szh inolbve Sax4ss Sa s-Saw d2u 5-sal a aCioe una stivna s con ewore cE S ova con no An E e po cdolands la -inLemma d hel iDeta2aly-Ko se convevge in Rix allasa conw. asolutamewte Vx t.c lx- Xlclx-xDn. Solche mae aalz-k.)-o ed 3m>o:la, (R-x ne IN cou Ix-x.i lxxollax)lle -Ko)}=la,lzxall con q con okqe4 =>lak-x.I El:4delsev.eOweyo Eclanl-x| meyyiovaladalla geometviced Pev cv.vaguone q.Con vonto quind: l sev.e data con. assolulame nle Vx t.c. lx-Xo 1-xalleovema: Yaggo d donvevgenza R_yodel delle seguventipopve t iSe xeRx-xlRsevie éassolutemete convergen te in k2) Se xe Rx-XI>Rla seve no convege lin Kxi m . Si ix-Xol <R sup {lxxl,xeI.Al/a xéI t.c lx1ki-x.lkA. Alova peiLteor d 9bel E o anx-xo)

asolu tawmente convevgente nel punto XSialova x-x RI Se la5evie conv. in x avve m mo um paadosso Avve mmo in tabbiLun xeI Ec.x-xl sup lx-xol, keI} he élas3uVdoCondiz.onipev la svloppabiltsm sevie di leylov sulle devivate teSia h Xoth)-R, LeC sypeongo Mo Lc. V eIN abbia ! <llova 2 " convevqe afn (x-h; Xoth) e donvevge yi tormemente ain LX-K; xotk] v okKkh= ho conv. Un.inlevvallo chiw so conlenulo nell inlervalo d parlenta'altima es NessioneveppieseqtslewoveDimxe lxe-h,osi ha lnSnag il=Foy-Peroldd redngmekstiumable come x-x don Elelkox = exdM n pofesnoliree o perche xe k-h;xth) =>e H:( o=S coav. puntualomente L0)Considevo ora ock<h e prendoxeLx-Kx,K1,i guelo caso l |n[con la SULe`Sone geometutacon vayiane 2i =>pe1-Test) conv. uni.i LX- K X, tK].Teovema: ovmule d: Colero cost) e Sin(2)-e2V2eCeecostisen(), eScos()-isen(2)Dim. 5e espansome d laylov pex n da 0e 3 povaespessjone vawe pev tutt oalt VStla Ciclcta dela tunzone alayamenle 5ipvovee2 2 + £

zcos(e)t sene)steSo Pe ePropyets della dstanzyop.eta d non degenevetezza dxy)=o = X= y2 op eta dsimne tvia dky)= dy,

3)Disuguaglanza t.angolave: d (x,y)dx,) t dly,2)

Le pvime 2 discendono dwettameote dalls defnzone dey-N-ymaeda dd dels cheltncle Su apdnleore ma dconessione

Se P:4(R)->RE2ontinua e Cuninsieme connesso per avch allovaanche L(c) eUn insieme coninesso

Dim LotyeLC)=>se e connesoun avcO Premetrico continuocheS.anoconnette xe ylrlahl>Cyax xL)y-s foy e tont.o necont.nua-toy:

Le,b)->Plc) e un avco coalinuo chelcolle9a to e ly KOe conie ssoleorema degi 2eyieov. d olz2no)

Si:C(iR)Rune tungone continva e Clun sieme connesso. Suppongodve punta e bdel domino t.c.Me). P6)<o= 3ceCcc)-Oc ) compve nde un punto 0 e uno oteov.dal d siove.

SequeDim conne>contievne anche lo tevo pevtanto deve 2unCeC:Ptc)=OTeovemà dWe.erstwass nt 4llovscompatto,VKcont.nwacoUns lun?.oneK(R)R ins.eme

Sia di Plx) pey eesstono massimo iviMo assolut m.talo. U5sendoechusozz=éd

compatteteov.perK)ecompattoi m limteloammetle estvemisupekovele imleyove in Essendo chusog estvemK)SonoemPdsup.insieme-estvemidellpayle1Pavdevovnospe tivamenle massimo eminimoisuguaghan2a dCavchy-Sghwavz in smeuleVxye R 1y1 ) e( ) Kx)17Yezke sono dpdDinDinSe yo venlsbvale ye keave dseyuazio ne. Vedawode ytoxx-ty), le R= x-lyx-by x,x)iEK4Y)-tz)2 0,pe_essevedscvivmnane deve esseve = 7 44,4-4k,) 4, Y Oy xx)kyly)->IXy Cxx YYcheé quznlovolevasi dhnostvarePopvels dele normaVyERAE Renplcazone |1RR veyea le seyuenli pvopuelsx=O X (pvopv. d. non degerenelerze) naualu huve 2lgel.caza2)l1x=lllxli che avetle piog.(propr. d ovmoyene.ta3) lx tyls llx Ilypropy. dsuba dd tivit)|Dim Le prine due dscendono della deli|oné. Qupn to ale tev2a ho2 x2x5y) e ledsuguagl au2 d Cvch Sinxa 2, qvindUxl2kx,) sllxlilt+21lklly=lkntly21k4yll xl4 yilleorema dRiest m RT avexo le 2dpl .estad essed deapplice zone lineare ekR R) 3uno euno holo RL-NVARDim Eso base ldResenho e)-aLe Detntodnà =

Holok)LoetXe)XLleg) Xule)xdttke(axSuppongo che 3b #a Lo) -Kbx)=> Vxe R x L x) => (2-5,x)-Onp2tidolave pvendo X a-,-b2=0 che pe le pvopy. del prodo tbovaleScalave 2abo a b s giumge naad cona onedd eoncaebrema: La dlieretiabila impkca lalcontinuitalSePAlCR)->REJ Mevezabile e Aalo/aEcontnu aDivm.SeVE derenable-> ) POg°)+L(x- olk-x), k->Shase_poio LxX)+ollk PotL)4olk- i . S.ccome meaveLesex Lx-)0 analogemenle ollx-xl)0 x-x Pie)=> e contanudTeovema: La dlevenbabilte impkca d totte le derNste ldvezionali iSi:4CR RUns tupzone debnta so, un aperto A dlevenziab.le inx'¬ AAllova V versore v e R3 x). Inoltve xe)Lv) con L: (d P)(x°)t-s0dvTeovema Ropveta del gvadentendhce la dvetone lungo cui onzone cvesce piu vepidsmente2)Se t o e ortajonale allMsieme d lvello della tunzone passante perDm. Si veRn genevco vevsore, s ha ) : Pe ) ) => -ITPlN NG| E(£ R),)sHO EoeNep) e c h e é qValo vdlevasi dimostvareleovem3 del valov nedioSiaACR)->Rvna oneone

d.leventable in tutto, aseme è perto A, allorcoppie yeAt.cVt elo1]segmento (1-t)xtly é mleramenle contenuto in ADim. Si I:lo 3) ->A una foneone cos deklei (1-xtly con h:loy:I-Rlacomposta tva e Y hC)= C[c4-t) x +ty). pplico a hlel teor, del valo medod.Lagvemge => hl)- hohta)-i4-0)=>y))-Llytr)=ly)-L nlt- cx+ TY,-x)Condlzone sultcenle inché uneuazone sia devenz able due voltSe led dasse C su Un epevto A, allove dve valte d Plere nziale inOgni Ponto ADi. Se e d dasse Csyoles che enche d clagse Aegvadeateammette dev.vate paivaial contnve im utlo A fey teovena del dleventi eletotele se amm ette devivale pav2id continue M utleo A allava dPereinziale n utoA che s:gn Pe che edue volte d.lerevislaile n tutto ATeorenà Fovmula d: làylov del Secondo ordineSe Pe due volle d Pleventahile mel puno X, è A all ove hoo(x-x)- &(«)- llx-X°uetoo-i(dlte)yx*y HMK-}x-x>to{le EC)-> se X-xDivm. S.2 P):lo-hs)-K7l),X-X)-PixJk-*)x*lelovzione che

espime lewovecommesso nell èppro Ss, mave() con l SUa Ppvosi vnane qurdvet.ca u e uolkx-x)Ve-Vlx-Vl-uAik=*)conV)Vl)+HPNx=X')h ollx-*'i)=> Vedaoll-Xei):ellxxllSe Plae)=o alove Pb)-oe):He)=Teov. del velov vmedo > pev relq4) ho P-(VPle:V(k-*), *x) vske i(Pork-),x-K)=(ELtgl')-rlk-°M,K-*)Appl.co Caucky-Shavt ({k+uleHl(xiM,x)Skilx- E+G()=>PlsElx+g(xex*)-|lx-*ovvevo Pdallx-X'IË')Test del gyedienle_Pey puntidestve me iSie PElC)Rune luntione devenzabile nel euvto x t (E):se x é un punto dalova e)-Oestvemo pev kiof un ma$Si vmo o mnimo vel. peDim, Consdevo le vestizone d (auepe) g4): wot ut) con teeS-). Se Poe epunto d. estyemo alloveo e un massimo pey Lon dev.vab1le pevchecompositione d 2 onzoni deventil Peyteo drevmat Ogo)uKQeslo vale uche quanto volevas. dmos braveCritev.o degli autovelovi a postdefaleulovalaitutt glposit.ve sovModelnle 2=>quadveticalovmaUna éVievseé d e f t a eyatva, indeEn.ta L=5 aomeno un utovaore

poS tuo e vo neyet.vvodaloDivm. Essevnd U na mate.ce imwertible veppresnta un epeplh.cozonebiiett.ua cuind={UAUK,K):2KQh)Q{UK) +UK=lR".Kenoelno sdo3heRvede èclomeole, cie se.g aulavrlov sono o QSave. ovipre jpesitusLed2lt tes)lest del Hessiena pe ipunti destvemo e d: sella Wic-o.Abdne dPkentable 2Si ElcR-R 0 le AldmnoKe e sa1)Se HP) E detnta pes.tivax é un pu nto d mivmivmo velatvoSe HLLe) é debats neyatva x é un punto d. masSimd relativwoSe Hte)eindebinta allova x e un punto dsellaDivm. o -loe:(Vle),x-x) (HELelx-x),x-x)1 E)lly- ype laloumla daylcHbx-xx-x°) +Elxlix-xt viSto che ly):o pev ipofesiSeHedel postvs m>ot.cQ):(Hkbe)le-xe),x-x)>mhl= La-Ltvi>( E )ux-xcon 0: o =1un brno Vt.. fuso Yxé VNVIt-Lie)zo = e n punto d mn.mo vel. Analoyo pe 2)Essendo HLoe)indelnka 12 vevsoi ov tc. K£ (eluu)co,HEie)vv)>oS.a X t u :lheat-Lbe-Eutkuu+Ebe hu)ll tu2{% KHRLu) + £ltu). Se t-o mcheEletl>0=>tLHLL°)U) E(e+)) é

neyetivA>o é un punlo di masvmo pe la un~ioelongo la dvezione u. Analkganeade é un punlo d minimo lungo vxevn pputo d: sella.Condi2i0ne necesavid alnche un ponto si2 d: estremo vincolatoSia PACRSR una tonzone e Ce sia IlCR- une cowa egelate in loteparemetuica.Se xyltol, to 61e un punto d: estyemo vincadato per la tunioue fin1 T 0 allora {V£),yltJ)o a l n e a d livell Lele) e tangenke Tiu xDim. Se he un estvemo in x alova lt=lyte)_ha un esvenoito é ietI on Yepoiché com posiz.one d e e d ona Covva vegoi>ve-y t : o pey evimatO-Y')(O£ly{E J), ylt)-(i£kl), rltal). Owevso se xe elun eshevma d (TELal,Y'lt.))=oleovema de moltiplicatord Lagvavge in RS.ano ACRRe pA->R 2 Lontion e Ce se l a nea d vello dTi e A:plx-o3. Se e)=x e Téun punto d estvema vincalato d s u TeDekd 10