Schemi Analisi 2

Analisi II

Série di Fourier (exe 1)

dove

Integrale per parti

Th Convergenza Puntuale

se f(x) è 2pi-periodica e regolare ai tratti allora la serie di Fourier converge alla equalf(x).

dove f(x)

• f(x) se f(x) è continua in quel intervallo
• x = x₀
• x = x₀
• x = x₀
• x = x₀

N.B. f(x) è resolable o debils se:

• AM.1

lim

denn

ok

den dann ok

ok denn

wieder ok

• x = x₀
• x = x₀

Tema d'Esame

F(x)

Analisi II

Série di Fourier (es. 1)

S_f(x) = a₀/2 + Σ_k=1^∞ (a_kcos(kωx) + b_ksin(kωx))

dove

• a₀ = (1/π)∫f(x)dx
• a_n = (1/π)∫f(x)cos(nωx)dx
• b_k = (1/π)∫f(x)sin(kωx)dx

Integrale per parti

∫x cos(ωx)dx

• u = x
• v' = cos(ωx)
• u' = 1
• v = sin(ωx)/ω
• ∫udv = uv - ∫vdu

= x sin(ωx)/ω - ∫1 sin(ωx)/ω dx

Th Convergenza Puntuale

se f(x) è 2π-periodica e regolare ai tratti allora la serie di Fourier converge alla

dove

• f(x) se f(x) è continua in quel intervelo
• (1/2)(lim_{x → x⁺} f(x) + lim_{x → x^-} f(x)) nei punti in cui è discontinua

NB f(x) è regolare ai tratti se:

• limitata e l’intervallo è divisibile in M intervalli
• lim_{x → x⁺} f(x) = lim_{x → x^-} f(x)
• lim_{x → x^-}
• lim_{x → x^-}

Tema d’Esame 12/04/2021

f(x) = {-4    x ∈(0,2π)

f(x) = 2 o.a.a sommarsi

{ (1/2π)∫

(1/2) = Σ_n=0 ((9/(m + 1)) + ((Λ(m,y))/E)) Σ

f(x)=|x|

_f(x) = ^x_|x|

_∫|x|dx

∑_x=0 ^∞

cosx + 5x

2⁵x

k=2m

k=2m+1

∫_cosxdx = ^sinx_k

(-1)^k+1 =

Dominio di funzione (exe 1)

• ^x = definito se solo se √t/o
• √x
• x²-1_x = definito se solo se
• arccos_ex = definito se solo se
• a^l = definito se solo se x ≠ k π th k ∈|Z
• arc_tgx

Come disegnare il grafico nel piano cartesiano:

• x=f(t)
• y=f(x)
• f(x,y,) <
• f (x,y,) <=
• con
• con
• con
• con

< x < d

|x < d|

Curve (ex e z)

γ(t) = (X(t), Y(t)) con t∊[a, b]

Proprietà di una curva

• Chiusa: quando il punto finale coincide con quello iniziale
  • ⇔ γ(a)≡γ(b) con t∊[a, b]
• Semplice: quando presi 2 isolom diversi stanno in 2 posizioni diverse
  • ⇔ t₁ ≠ t₂ ⇒ γ(t₁) ≠ γ(t₂) con t₁, t₂∊I
• Regolare: c e derivabile
  • γ'(t)≠0 ∀t∊[a, b] opppure X'(t)∥∥≠0
• Regolare a tratti
  • sulla curva γ: esaminumdo se può dividere l'intervallo [a, b] in n subintervalli dove ognuna delle quali è regolare
• Sostegno: L'immagine I = C = γ : {C∊ℝ: ∃t∈I. ∋ γ(t)=x}

Nota bene: se γ: è chiuso allora ≡ semplice se solo se per uno t₁ e t₂ I≠J ⇔_{t1=t2 [C] e [a, b]}

• Curve equivalenti: date 2 curve γ(t): [b₁, b₂]→ ℝ^m e η(t): [b₁ d, b]→ ℝ
  • regolano il bordo, si dicono equivalenti se, sd

  ∃ ψ: [c₁, c₂]→[a, b] d.i.c, o ψ invertibile

• ψ ∈ C₁ e derivabile
  • dj={ψ(c)} 이
• deg ∃ t[ψ] ≈ b₁[0, 2] ∫ b₂

γ(t)={cos(zs), sin(zs)} s∊[0,π₁]

ψ(t=cos(t), sin(2t)) t∊[0,2π]

2S=z S= |ψ(z₁=t)|⇔