Schemi Analisi 2

Analisi II

Serie di Fourier (es. 1)

f(x) = a₀/2 + ∑ (a_n cos(nx) + b_n sin(nx)) dove a₀ = 1/π ∫_-π^π f(x) dx a_n = 1/π ∫_-π^π f(x) cos(nx) dx b_n = 1/π ∫_-π^π f(x) sin(nx) dx

Integrale per parti

∫ x cos(ωx) dx f(x) = x f'(x) = 1 g(x)=∫ cos(ωx) g'(x) = sin(ωx) = x sin(ωx) - ∫ 1 sin(ωx) dx

se f(x) = f(-x) f PARI se f(x) = -f(-x) f DISPARI f(x) PARI f PARI + f DISPARI

f(x) se f(x) è continua 1/2 (lim x→x₀^- f(x) + lim x→x₀⁺ f(x)) nei punti in cui è discontinua

NB: f(x) è integrabile o cadadala se:

Tema d'esame 12/3/2021

f(x) = {

• x ξ (0,2π)
• 0 altrimenti

{(E) = lim x→±∞ 1 + ((ln(ln(x))) - 2) ____________ √(x)

f(x)=|x|

f(x)=1/x

c₂f₂=c₅f₅

traslazione orizzontale

-cos(kx)

cos(π/2-δ)=sin(δ)

k=2k

k=2m+1

Domini di funzione (exe. 1)

x/x-5 è definito se solo se x ≠ 0

x/3-5x è definito se solo se x ≠ 0

√(x) è definito se solo se x ≥ 0

√(n-8) è definito se solo se x-n+1 ≠ k, k ∈ Z

|adscosa| è definito se solo se x≥0

D(ℝ)

x=f(||x||)

Come si disegnano il grafico nel piano cartesiano:

• x=f(x), x ≠ d : dx della curva
• x=f(x), x ≠ x₂ : dx sopra della curva (retta e parabola)
• x=f(x), x 0

  y = c₁e^λ₁x + c₂e^λ₂x

  le λ sono reali coincidenti se Δ = 0

  y = c₁e^λ₁x + c₂xe^λ₁x

  le λ sono complesse coniugate se Δ < 0

  esempio λ² + 1 = 0 → λ = ± i → y = e^(ax)(αx=0βx=1

  y = c₁e^αxcos(βx) + c₂e^αxsin(βx)

  2. SOLUZIONE PARTICOLARE

  f(x) = P_m(x) e^(αx) cos(βx) sin(βx)

  cerco: P_m →

  • n
  • α
  • β

  esempio: y'' - y = e^2x

  f(x) = e^2x · 1 f(x) + P_m(x) e^(αx(cos(βx))

  P_m = 1 → m = 0

  P_m = 2 → m = 1

  P_m = 2 → m = 2

  scrivo (a_λ + β) — — = e soluzione dell'eq contistente molteplicita >

  esempio per capire modo bif &stuff; t + 1 e risulta (a + β) = 2, dell'eq omogenea associata .2

  2mm + soluzione omogena m = 0 . a < (a ₁+β) allora m = 2

  y = (a₀ + β₁)+x₁(a₂t₁t₂; . . . +00=0 · B₀t_(x) cosα(B₀t₁+B₂t₍)x₁

  denvo 1^a volta y y_β substituto nell'e.o.m

  denvo 2^a volta y_β/ scrivo un predico (soluzione articulare) (chrochet…

  scrivo integrale generale R.a. o(fx) y(x_o) = yo e -