Schemi teoria Analisi 2

Funzione Continua

Sia :⊆ℝⁿ→ℝᵐ, ₀∈ di accumulazione per o punto isolato di .

è continua in ₀ ⇔ ∃ Lim () = (₀) →₀

- Somma, prodotto, rapporto, composizione di funzioni continue è una continua

- si dice continua nell'insieme se è continua in ogni suo punto.

Sia : ⊆ ℝⁿ → ℝ, ₀∈ punto interno ad , un versore di ℝⁿ (‖‖ = 1)

Derivabilità

Sia : ⊆ ℝⁿ → ℝ, ₀ intorno di , è derivabilein ₀ se ∃ tutte le derivate parziali di in ₀.

Diciamo che ammetto derivata direzionale in ₀ lungola direzione se ∃ ed è finito il limite

Lim (₀+)−(₀) = (₀) →0 ——————————————————

Derivata parziale = Derivata lungo una base canonica

ₓ(₀,₀) = Lim (;₀)−(₀,₀) →₀ ——————————————————−₀

Differenziabilità

Sia :⊆ℝⁿ→ℝ, ₀ intorno ad , è detta differenziabilein ₀ se ∃ , b₁, ... ₙ ∈ ℝ

() = + ∑ ₖ (ₖ−₀ₖ) + (‖−₀‖) oppure=1

() = (₀) + ∑ ₖ (ₖ−₀ₖ) + (‖−₀‖)=1

Proposizioni su f differenziabile in x₀:

A) f è continua in x₀

Dim. lim_{x → x0} f(x) = lim_{x → x0} (f(x₀) + Σ_k=1 b_k(x-x₀)^k + o(‖x-x₀‖)) = f(x₀)

B) f è derivabile in x₀

Dim. lim_{t → 0} (f(x₀ + t e_k) - f(x₀))/t = lim_{t → 0} (f(x₀) + Σ_i=1 b_i(x₀ + t e_k - x₀) + o(‖tek‖) - f(x₀))/t

lim_{t → 0} b_k + o(‖tek‖)/t = b_k + o(1) = b_k

→ ∃ d x f(x₀) = b_k

→ f(x) = f(x₀) + <∇f(x₀), x-x₀> + o(‖x-x₀‖)

* Relazione tra d direzionale e gradiente

C) D_uf(x₀) = <∇f(x₀), u>

Dim. D_uf(x₀) = lim_{t → 0} (f(x₀ + tu) - f(x₀))/t = lim_{t → 0} (<∇f(x₀), tu> + o(‖tu‖))/t = <∇f(x₀), u>

D) Esiste un iperpiano tangente al grafico di f in x₀

eq. z = f(x₀) + <∇f(x₀), x-x₀>

* Controesempio: funz. deriv. e continua non diff.

f(x) = {

⎧ x³y²/(x² + y²) x ≠ 0

⎩ 0 x = 0

∃ s₁ > 0; S ≤ S t.c. f(x,y_o-r) < 0 e

f(x,y_o+r) > 0, per x ∈ [x_o-S₁, x_o+S₁]

Dato x ∈ [x_o-S₁; x_o+S₁] ∃! φ(x) t.c.f(x,φ(x))=0

Bisogna dimostrare che la funzione è continua e di classe C¹

→ ∀x₁, x₂ ∈ [x_o-S₁, x_o+S₁] calcoliamo:

f(x₁,φ(x₁)) = f(x₂; φ(x₂) = 0

Lagrange L = ⏞ f (z₁), x₁-x₂

(φ(x₁)-φ(x₂)) ⏟

z punto intermedio tra (x₁, φ(x₁)) e (x₂; φ(x₂))

→ 0 = ∂_xf(z₁,z₂)(x₁-x₂) + ∂_yf(z₁,z₂)(φ(x₁)-φ(x₂))

Dimostro che φ è continua.

φ(x₁)-φ(x₂) = -_⏟ ∂_xf(z₁,z₂)(x₁-x₂) → N

⎜⎝ ∂_yf(z₁,z₂) ⎠⎟ ⏞ M

Per il teorema di Weierstrass:

m = min | ∂_yf (x,y) | > 0 e (x,y) ∈ [x_o-S₁; x_o+S₁] x [y_o-r, y_o+r]

M = max | ∂_xf (x,y) | > 0

(x,y) ∈ [x_o-S₁+S] x [y_o-r, y_o+r]

⇒|φ(x₁)-φ(x₂)| ≤ ^M/_m |x₁-x₂| per cui continuità si ha

x₁, x₂ per φ(x₁)-φ(x₂) →

φ continua

Studiando la (regolarità) di:

φ(x₁)-φ(x₂) = - ⏞ - ⏟ = -

∂_xf (ζ₁,ζ₂) (x₁-x₂) x₁→x₂

(x₁-x₂) ∂_yf(ζ₁,ζ₂)

Pertanto φ è continua ma anche φ(x₁)-φ(x₂) e quindi

Σ

⇒(x₂; φ(x₂)) e quindi

∴⇥_x₁→x₂ φ(x₁)-φ(x₂) = - ⏞ &=gt; - ⏟

∂_xf (Σ)

∂_yf (Σ)

⇒

∂_xf(x₂i,φ(x₂i))

∂_yf(x₂i φ(x₂i)

⇒ φ ∈ C¹ [x_o-S₁, x_o+S]

Teorema dei moltiplicatori di Lagrange 2D

Data f: A ⊆ ℝ² → ℝ, A aperto, f ∈ C¹(A),

γ: I ⊆ ℝ → ℝ² curva regolare +C

γ(x) ⊂ A

Sia x₀ ∈ I t.c. f ∘ γ(x₀) è un punto estremo

d/dt f ∘ γ(x₀) = 0

< ∇f(γ(x₀)), γ'(x₀) > = 0

x₀ è punto estremo per f ∘ γ(t) ⇔ Df(γ(x₀)) ⟂ γ'(x₀)

∇f(γ(x₀)) + λ ∇g(x₀) ⇔ ∇f(γ(x₀)) = λ m ₜ(x₀)

Vettore normale alla curva in x₀.

Teorema del differenziale totale

Siano X ⊂ ℝ aperto, fᵢ: X → ℝ e x ∈ X

Se esiste un intorno U di x nel quale fᵢ è derivabile e le derivate sono continue nel punto x → f è differente in X.

DIM

• Consideriamo la funzione f(x, y₀) con y₀ fissato, è continua e derivabile per x∈(x₀,y).
• Per il teorema di Lagrange ∃ x ∈ (x₀,y) t.c.f(x₀, y₀) = f(x₀, y₀) + ∂x f(x₀, y₀)(x-x₀)
• Per il teorema di Lagrange ∃ ζ ∈ ([x₀,y]) t.c.f(x₀, y₅) = f(x₀, y₀) + ∂y f(x₀, ζ)(y-y₀)

Sostituisco nel limite

1. lim (x,y)→(x₀,y₀) = f(x₀, y₀) - (∇f(x₀, y₀), x-x₀) = 0

|| x - x₀ ||

Curve omotope

Sia Eⁿ aperto e connesso e siano

⁽⁰⁾ : [a₁, b] → ℝⁿ e ⁽¹⁾ : [a, b] → ℝⁿ

due curve aventi gli stessi punti estremi

X_a = ⁽⁰⁾(a) = ⁽¹⁾(a)

X_b = ⁽⁰⁾(b) = ⁽¹⁾(b)

Le due curve si dicono omotope se se esiste una funzione continua φ, detta omotopia tra ⁽⁰⁾ e ⁽¹⁾,

φ : [a, b] × [0, 1] → ℝⁿ

tale che:

• i) φ(t; 0) = ⁽⁰⁾(t) e φ(t; 1) = ⁽¹⁾(t) a ≤ t ≤ b;
• ii) φ(a; λ) = X_a e φ(b; λ) = X_b 0 ≤ λ ≤ 1

Provare che una forma differenziale chiusa in un insieme semplicemente connesso è esatta

Sia ω una forma diff. lineare di classe C¹ definita in un aperto A ⊂ ℝⁿ semplicemente connesso e chiusa.

ω é esatta in A.

Dim

Considero ω = a(x, y) dx + b(x, y) dy definita in un aperto A di ℝ².

Sia A aperto connesso di ℝⁿ ω forma diff. chiusa di classe C¹(A).

Sia : [0, 1] → ℝⁿ curva regolare a tratti, ([0, 1]) ⊆ A chiuso

Sia h : [0, 1] × [0, 1] → Rⁿ di classe C² con immagine contenuta in A e t.c.

• h(t; 0) = (t)
• h(t; 1) = x₀ ∈ A
• h(0; s) = h(1; s) ∀ s ∈ [0, 1]

→ A sempre connesso → ∮ ω = 0