Schema sulle serie numeriche, Analisi matematica I

Serie numeriche

Definizione e comportamento

Data una successione, è detta serie la somma infinita dei suoi termini. La successione delle somme parziali ha lo stesso comportamento (convergente, divergente o irregolare) della serie infinita originale. Se la serie è convergente, la somma della serie è definita.

Tipi di serie

Le serie possono essere di diversi tipi: geometrica, armonica, di Mengoli, telescopica.

Condizione necessaria per la convergenza

Una condizione necessaria affinché una serie converga è che il termine generale tenda a zero.

Serie a termini non negativi

Se una serie è definitivamente di segno costante, allora non è indeterminata.

Criterio del confronto

• Siano a_n e b_n tali che a_n ≤ b_n definitivamente, allora:
  • Se ∑b_n è convergente, allora ∑a_n è convergente.
  • Se ∑b_n è divergente, allora ∑a_n è divergente.

Criterio del confronto asintotico

Se due serie a_n e b_n sono asintotiche, allora esse hanno lo stesso comportamento.

Criterio degli infinitesimi

Sia a_n definitivamente positiva, se esiste un α > 0 tale che:

• Se lim_n→+∞ a_n = α e α ≤ 1, allora la serie converge.
• Se α > 1, allora la serie diverge.

Criterio del confronto con l'integrale improprio

Sia f(x) positiva e decrescente, allora la serie ∑f(n) e l'integrale improprio ∫₁^+∞ f(x) dx hanno lo stesso comportamento.

Criterio del rapporto

Sia ∑a_n una serie definitivamente positiva. Se esiste:

• lim_n→+∞ (a_n+1/a_n) = l, allora:
  • Se l > 1, la serie diverge.
  • Se l < 1, la serie converge.
  • Se l = 1, la serie è indeterminata.

Criterio della radice

Sia ∑a_n una serie definitivamente positiva. Se esiste:

• lim_n→+∞ n√a_n = l, allora:
  • Se l > 1, la serie diverge.
  • Se l < 1, la serie converge.
  • Se l = 1, la serie è indeterminata.