Schema sulle serie numeriche, Analisi matematica I

∞ ( )

∑ n

−

1 a n

=

n 0

∞ ∞

∑ ∑

a a

Una serie si dirà assolutamente convergente se converge la serie .

n n

=0 =

n n 0

∞

∑

a

Se la serie converge assolutamente allora converge.

n

=

n 0

Criterio di Leibniz

∞ { }

( ) =

∑ l lim a

n ≥

− ∀ =

a

a 0

1 a

Sia con e è monotona, allora detto , se la serie è

n l 0

n

n n n →

+∞

n

=

n 0 =

convergente, se la serie è indeterminata.

l 0

Serie di Taylor

 ( )

− + →

f : x h

; x h R

Data di classe ha senso:

∞

C

0 0 ( )

( n )

∞ f x ( )

∑ n

⋅ −

0 x x 0

n

!

=

n 0

( )

− + →

f : x h

; x h R

Data di classe , essa si dice analitica se la sua serie di Taylor converge

∞

C

0 0 ( )

( ) ∈ − +

x x h

; x h

a per ogni .

f x 0 0

( ) ( )

− + → ( )

f : x h

; x h R ∃ ≤

n n

>

Se è di classe e tale che per ogni x

K 0

∞ f x K

C

0 0

dell’intervallo, allora f è analitica.

Serie di potenze

 ∞ ( )

∑ n

a x 1

n

=0

n

ρ = sup C

Posti C l’insieme di convergenza e (raggio di convergenza).

ρ ρ

La serie converge assolutamente se e non converge se .

< >

x x

[ ]

[ ]

( ) ) ( ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ ρ ρ

− −

− −

C può essere allora: , , e .

; ;

; ;

Criterio di D’Alembert – Lagrange

a 1

[ ] ρ =

= ∈ +∞

+

n 1

lim l 0

;

Se esiste allora .

a l

→

+∞

n n

Criterio di Cauchy – Hadamard

[ ] 1

= ∈ +∞

lim a l 0

; ρ =

n

Se esiste allora .

n l

→ +∞

n

Regolarità delle serie di potenze

∞ ( ) ( )

∑ ′

ρ ρ

=

+ n

n 1 a x

Serie derivata : ottenuta derivando termine a termine la serie .

1

+

n 1

=

n 0 ( )

+

n 2 a

a =

+

=

+ n 2

n 1 lim l

lim l

Se esiste allora esiste anche .

( )

+

a n 1 a

→

+∞ →

+∞

n n +

n n 1

∞

( ) ( )

( ) ( ) ∑

′

ρ ρ = + n

− S x n 1 a x

La funzione è derivabile in e (la serie derivata converge

S x ; +

n 1

=

n 0

alla derivata della somma).

Ogni serie di potenze è la serie di Mc Laurin della sua somma.

x

∞ ∞ a

∑ ∑ ρ ( )

∫ = −

n n

n 1

a t dt x

Serie integrale . Stesso raggio di convergenze della serie .

1

n n

= =

n 0 n 0

0

x ( ) ( )

∫ ρ ρ

∈ −

S t dt

Converge a per ogni .

x ;

0 ρ ρ

( ) ( )

−

Se la serie converge in x = o x = , allora la somma è continua in tale punto.

1 S x