Schema sulle funzioni continue, Analisi matematica I

Funzioni continue

Una funzione di equazione, definita in un intorno di c, si dice continua nel punto c quando esiste il limite della funzione per x tendente a c e questo limite è uguale al valore della funzione in quel punto, cioè quando: lim f(x) = f(c) per x che tende a c.

La somma, la differenza, il prodotto e il quoziente di due funzioni continue in un punto c sono funzioni continue nel punto c. La composizione di funzioni continue dà una funzione continua.

Continuità in un intervallo

Una funzione è continua in un intervallo contenuto nel dominio di f, se essa è continua in tutti i punti di (a, b), ovvero se per ogni x₀ appartenente a (a, b), lim f(x) = f(x₀) per x che tende a x₀.

I polinomi, le funzioni sen(x), cos(x), e^x, le potenze a esponente intero, razionale o reale, sono continui in tutto R. Le funzioni razionali fratte sono continue in tutti i punti in cui non si annulla il denominatore. La funzione tg(x) è continua per ogni x con x ≠ kπ/2, dove k è un intero. La funzione log(x) è continua nel suo dominio.

Discontinuità

Prima specie

Si dice che per la funzione f(x) ha un punto di discontinuità di prima specie quando esistono finiti ma diversi tra loro, i limiti dalla destra e dalla sinistra per x che tende a c della funzione:

• lim f(x) ≠ lim f(x) per x che tende a c

Salto: lim f(x) per x che tende a c dalla destra ≠ lim f(x) per x che tende a c dalla sinistra.

Seconda specie

Si dice che per la funzione f(x) ha un punto di discontinuità di seconda specie quando non esiste, o non esiste finito, uno almeno dei due limiti dalla destra o dalla sinistra di c.

Terza specie

Si dice che per la funzione f(x) ha un punto di discontinuità di terza specie quando esiste finito il limite per x che tende a c di f(x), ma f(c) o non esiste o è diversa dal valore del limite.

Proprietà delle funzioni continue

Teorema di esistenza degli zeri

Se la funzione f è continua nell’intervallo chiuso e limitato [a, b] e negli estremi di tale intervallo assume valori di segno opposto, allora esiste almeno un punto c, interno ad [a, b], in cui f(c) = 0.

Teorema di Weierstrass

Se la funzione f è continua nell’intervallo chiuso e limitato, allora la funzione assume, in tal...