Schema limiti, Analisi matematica I

M M

. = −∞

lim a

Successione negativamente divergente n

→ +∞

n − ∞

La successione di elementi (a , a , a , …, a , …) ha per limite , al tendere di n a più infinito,

1 2 3 n

quando, prefissato un numero M>0, arbitrariamente grande, è possibile trovare, in corrispondenza a

>

n n n

esso un numero tale che, per ogni numero naturale sia verificata la relazione:

M M

−

<

a M .

n = ∞

lim a

Successione divergente n

→ +∞

n ∞

La successione di elementi (a , a , a , …, a , …) ha per limite , al tendere di n a più infinito,

1 2 3 n

quando, prefissato un numero M>0, arbitrariamente grande, è possibile trovare, in corrispondenza a

>

n n n

esso un numero tale che, per ogni numero naturale sia verificata la relazione:

M M

.

>

a M

n

Esistono successioni, dette indeterminate, né convergenti, né divergenti, che non ammettono limite.

Si chiama intorno completo di un punto (o di un numero) x un qualsiasi intervallo aperto

0

( ) ( )

δ δ

= − + δ δ

=

I x x ; x

contenente x Se intorno circolare.



0. 0 0 1 0 2 2 1

Si dice intorno sinistro del punto (numero) x un qualsiasi intervallo aperto avente x come estremo

0 0

( ) ( )

δ

= −

I x x ; x

destro. 0 0 0

Si dice intorno destro del punto (numero) x un qualsiasi intervallo aperto avente x come estremo

0 0

( ) ( )

δ

= +

I x x ; x

sinistro. 0 0 0 ( )

− ∞

Si dice intorno di meno infinito un qualsiasi intervallo illimitato del tipo .

; a

( )

+ ∞

Si dice intorno di più infinito un qualsiasi intervallo illimitato del tipo .

; a

Si chiama intorno di infinito l’unione tra un intorno di meno infinito e uno di più infinito.

Un insieme numerico A si dice superiormente limitato quando esiste un numero k tale che ogni

elemento dell’insieme è minore o al più eguale a k. Si dice che k è il maggiorante di A.

Un insieme numerico A si dice inferiormente limitato quando esiste un numero h tale che ogni

elemento dell’insieme è maggiore o al più eguale a h. Si dice che h è il minorante di A.

Se un insieme numerico A è limitato sia inferiormente sia superiormente, si dice solo limitato.

Dato un insieme numerico non vuoto A, si dice estremo superiore dell’insieme quel numero L, se

ε

esiste, tale che: L è un maggiorante di A e comunque si scelga un numero >0, arbitrariamente

ε

piccolo, esiste almeno un elemento dell’insieme che sia maggiore di L - .

Dato un insieme numerico non vuoto A, si dice estremo inferiore dell’insieme quel numero l, se

ε

esiste, tale che: l è un minorante di A e comunque si scelga un numero >0, arbitrariamente

ε

piccolo, esiste almeno un elemento dell’insieme che sia minore di l + .

Si dice che un numero c di un insieme numerico A è isolato, se esiste almeno un intorno di c che

non contiene altri punti dell’insieme A.

Si dice che un numero c, che può anche non appartenere all’insieme A, è di accumulazione per A,

se in ogni intorno di c esiste almeno un elemento di A distinto da c.

1. Limite finito di una funzione per x che tende a un valore finito

( )

=

Sia una funzione definita in un intorno completo I del punto c, escluso al più il punto c. Si

y f x ( ) =

( ) lim f x l

=

dice che, per x tendente a c, la funzione ha per limite l e si scrive

y f x →

x c

ε

se, comunque si scelga un numero positivo , arbitrariamente piccolo, si può determinare, in

corrispondenza a esso, un intorno completo di c, contenuto in I, tale che, per ogni x di tale intorno,

( ) ε

−

si abbia: .

<

f x l

( )

=

Sia una funzione definita in un intorno destro I del punto. Si dice che, per x tendente a c

y f x ( )

=

dalla destra (per eccesso), la funzione ha per limite destro il numero l se, preso ad arbitrio

y f x

ε

un numero positivo , si può determinare, in corrispondenza a esso, un intorno destro di c,

( ) =

lim f x l

( ) ε

−

contenuto in I, per tutti i punti del quale si abbia: . E si scrive

<

f x l +

→

x c

( )

=

Sia una funzione definita in un intorno sinistro I del punto. Si dice che, per x tendente a c

y f x ( )

=

dalla sinistra (per difetto), la funzione ha per limite sinistro il numero l se, preso ad

y f x

ε

arbitrio un numero positivo , si può determinare, in corrispondenza a esso, un intorno sinistro di c,

( ) =

lim f x l

( ) ε

−

contenuto in I, per tutti i punti del quale si abbia: . E si scrive

<

f x l −

→

x c

( ) ( )

− +

= =

( ) lim f x l lim f x l

Se tende a l per difetto o per eccesso: e .

f x → →

x c x c

2. Limite finito di una funzione per x che tende all’infinito

( )

=

Sia una funzione definita in un intorno I di infinito. Si dice che, per x tendente

y f x ( ) =

( ) lim f x l

=

all’infinito, la funzione ha per limite l e si scrive

y f x → ∞

x

ε

se, comunque si scelga un numero positivo , arbitrariamente piccolo, si può determinare, in

corrispondenza a esso, un intorno di infinito, contenuto in I, tale che, per ogni x di tale intorno, si

( ) ε

−

abbia: .

<

f x l ( )

=

Si dice che, per x tendente a più infinito, la funzione , definita in un intorno I di più

y f x

( ) =

lim f x l

infinito, ha per limite l e si scrive → +∞

x ε

se, comunque si scelga un numero positivo , arbitrariamente piccolo, si può determinare, in

corrispondenza a esso, un intorno di più infinito, contenuto in I, tale che, per ogni x di tale intorno,

( ) ε

−

si abbia: .

<

f x l ( )

=

Si dice che, per x tendente a meno infinito, la funzione , definita in un intorno I di meno

y f x

( ) =

lim f x l

infinito, ha per limite l e si scrive → −∞

x ε

se, comunque si scelga un numero positivo , arbitrariamente piccolo, si può determinare, in

corrispondenza a esso, un intorno di meno infinito, contenuto in I, tale che, per ogni x di tale

( ) ε

−

intorno, si abbia: .

<

f x l

3. Limite infinito di una funzione per x che tende a un valore finito

( )

=

Sia una funzione definita in un intorno completo I del punto c, escluso al più il punto c. Si

y f x ( ) = ∞

( ) lim f x

=

dice che, per x tendente a c, la funzione ha per limite infinito e si scrive

y f x →

x c

se, comunque si scelga un numero positivo M, arbitrariamente grande, si può determinare, in

corrispondenza a esso, un intorno completo di c, contenuto in I, tale che, per ogni x di tale intorno,

( )

escluso al più x = c, si abbia: .

>

f x M

4. Limite infinito di una funzione per x che tende all’infinito

( )

=

Sia una funzione definita in un intorno I di infinito. Si dice che, per x tendente

y f x ( ) = ∞

( ) lim f x

=

all’infinito, la funzione ha per limite infinito e si scrive

y f x → ∞

x

se, comunque si scelga un numero positivo M, arbitrariamente grande, si può determinare, in

corrispondenza a esso, un intorno di infinito, contenuto in I, tale che, per ogni x di tale intorno, si

( )

abbia: .

>

f x M