Schema limiti, Analisi matematica I

Successioni e limiti

Successione convergente

La successione di elementi (a₁, a₂, a₃, …, a_n, …) ha per limite l, al tendere di n a più infinito, quando, prefissato un numero ε, arbitrariamente piccolo, è possibile trovare, in corrispondenza un numero tale che, per ogni numero naturale n sia verificata la relazione: |a_n - l| < ε.

Successione positivamente divergente

La successione di elementi (a₁, a₂, a₃, …, a_n, …) ha per limite +∞, al tendere di n a più infinito, quando, prefissato un numero M > 0, arbitrariamente grande, è possibile trovare, in corrispondenza un numero tale che, per ogni numero naturale n sia verificata la relazione: a_n > M.

Successione negativamente divergente

La successione di elementi (a₁, a₂, a₃, …, a_n, …) ha per limite −∞, al tendere di n a più infinito, quando, prefissato un numero M > 0, arbitrariamente grande, è possibile trovare, in corrispondenza un numero tale che, per ogni numero naturale n sia verificata la relazione: a_n < −M.

Successione divergente

La successione di elementi (a₁, a₂, a₃, …, a_n, …) ha per limite ∞, al tendere di n a più infinito, quando, prefissato un numero M > 0, arbitrariamente grande, è possibile trovare, in corrispondenza un numero tale che, per ogni numero naturale n sia verificata la relazione: |a_n| > M.

Successioni indeterminate

Esistono successioni, dette indeterminate, né convergenti, né divergenti, che non ammettono limite.

Intorno di un punto

Si chiama intorno completo di un punto (o di un numero) x₀ un qualsiasi intervallo aperto (x₀ − δ, x₀ + δ) contenente x₀.

Intorno sinistro e destro

• Si dice intorno sinistro del punto (numero) x₀ un qualsiasi intervallo aperto avente x₀ come estremo destro: (x₀ − δ, x₀).
• Si dice intorno destro del punto (numero) x₀ un qualsiasi intervallo aperto avente x₀ come estremo sinistro: (x₀, x₀ + δ).

Intorno di meno infinito

Si dice intorno di meno infinito un qualsiasi intervallo illimitato del tipo (−∞, a).