Rielaborazione di Fisica Generale

Accelerazioni: Componente Tangenziale e Normale

L’accelerazione è la variazione della velocità nel tempo se in termini differenziali è pari alla derivata della velocità rispetto al tempo.

a = ^dv/_dt

La cui unità di misura è [a] = ^[∇v]/_[Δt] = ^m/s/_s = ^m/_s²

Il modo più immediato per definire l’accelerazione è quello relativo come variazione della velocità in due istanti di tempo diversi, quindi:

a_m = ^{v₂ - v₁}/_{t2 - t1} = ^∆v/_∆t

Mentre se vogliamo considerare l’accelerazione per ogni istante di tempo dobbiamo parlare di accelerazione istantanea:

a_i = lim (∆t→0) ^{v₂ - v₁}/_{t2 - t1} = ^dv/_dt

In uno spazio con tre dimensioni però l’accelerazione è costituita da tre componenti

a = a_tî + a_xî + a_zk

Infatti nella sua definizione generale l’accelerazione è il vettore che quantifica la variazione di direzione e modulo della velocità in tempo infinito. Riconduci in unica...

componente ad essa tangente detta accelerazione tangenzialee in una componente perpendicolare detta accelerazionenormale:

a = a_t + a_n N

a_t (accelerazione tangenziale) descrive il cambiamento inmodulo della velocità mentre quella normale è associataalla variazione della direzione della velocità.Possiamo calcolarla facendo del noto circolare per il quale

v = ω x r

Dato una traiettoria C giacente inun piano e tracciata per un puntoP in moto è la componenta tangentein ogni istante alla curta si trova dalla che:

a = _dv/_dt = _d/_dt (ω x r) = ω x v + ω x r - a x r x t + ω x v

dove ω è l'accelerazione angolare Considerando la derivatadella velocità v = r^ˆ x h

a_t = _du/_dt x = ωx^u + ωx^t θ^l + ω²r θ

Esaminando quanto ottenuto dalle equazioni precedentie identifichando i termini si ha che le componentisono

a_n = _dv/_dt = θ x r

Dimostriamo

Se condizioni al potere combinate da Stokes, furono la pericolosità del sfera messa in un fluido e sottoposta ad una forza di gravità

F_g = mg

Inoltre la sfera è sottoposta anche all'attrito del fluido, secondo F_attrito che è data da

F_attrito = 6πημ

Infine la sfera è sottoposta alla spinta di Archimede

F_A = ρ_f g V

Allora in condizioni di equilibrio con a = 0

6πημ = mg - ρ_f g V

ma m = ρ_s V allora

6πημ = (ρ_s Vg - ρ_f g V) ⇒ gV(ρ_s + ρ_f)

poiché V_sfera = 4/3 π R³ otteniamo che

6πημ R = 4/3 π R³ (ρ_s - ρ_f) g

3 ημ = 2/3 (ρ_s - ρ_f) g ⇒ μ = 2/9 (ρ_s - ρ_f) g R²

Nel caso in cui non ci sia solo una massa m ma

una miriade di punti materiali avremo che

L = Σ L_i = Σ m_i r_i x v_i

Se le particelle formano un corpo rigido, il teorema

che definisce il loro momento angolare rispetto al centro

di massa può essere ulteriormente semplificato. In questo caso

è possibile legare la sua espressione alla descrizione

del moto rotatorio ovvero alla velocità angolare ω, avremo

che

L = I ω

È importante sottolineare come il momento angolare

va legato al momento meccanico

Prendiamo una miriade di punti materiali. Se un

punto P si muove con quantità di moto p = m v

il momento angolare rispetto ad un polo O è dato da:

L = r(t) x p(t)

Se il polo O è in moto con velocità v₀ allora il

momento angolare varia nel tempo

dL/dt = d/dt (r x p) = dr/dt x p + r x dp/dt

dove dr/dt è la velocità del punto P rispetto ad O

all’istante

Inerzia ha effetti non trascurabili in tutti i casi in cui

un corpo sulla terra si muove ad alta velocità su lunghe

distanze (macchine e missili).

La forza di Coriolis si esprime come:

Fc = ma_c = -2m w × v

dove m è la massa del corpo in movimento con velocità

v rispetto al sistema di riferimento non inerziale rotante

e w è la velocità angolare del sistema.

Esplicitare la formula vettoriale

Fc = 2mWv |senθ|

Per determinare la legge oraria del moto armonico smorzato dobbiamo partire dalla seconda legge di Newton e scrivere l'equazione della forza tenendo presenti:

la forza elastica di richiamouna forza d'attrito direttamente proporzionale alla velocitàper cui:

-kx = bẋ = mȧ

Con b indichiamo un coefficiente da cui dipende il valore dell'attrito. Scrivendo in forma differenziale:

m d²x/dt² + b dx/dt + kx = 0

da cui:

d²x/dt² + b/m dx/dt + k/m x = 0

Sapendo che ω₀² = k/m e che 2λ = b/m scriviamo che:

d²x/dt² + 2λ dx/dt + ω₀²x = 0

Ora per trovare la soluzione all'equazionefaremo autosorobo quindi da cui abbiamo:

λ² + 2λ λ + ω₀² = 0

Lavoro

Il lavoro è l'energia scambiata tra due sistemi quando avviene uno spostamento attraverso l'azione di una forza risultante (vole) che ha una componente non nulla nella direzione dello spostamento, pertanto ha le dimensioni di una forza applicata lungo una determinata distanza.

Il lavoro lineare è definito come:

dL = F ds

Di conseguenza il lavoro totale lungo una curva β è definito come:

L = ∫ dL = ∫ F ds

Il lavoro quindi non dipende dall'intero percorso ma solo dai punti finali ed iniziale, se questi coincidono il lavoro è nullo questo perché siamo nel caso di una forza conservativa.

Nel caso in cui la forza sia costante ed il percorso rettilineo il lavoro diventa pari al prodotto scalare del vettore forza ed il vettore spostamento:

L = F ⋅ s = Fs cos(α)

Il lavoro può essere positivo o negativo, il segno dipende dall'angolo α.

quella emission

Ep = Et:

In condizione meccanica affinché questo sia vero è di non essere presenti forze esterne al sistema e di la forze

sistemi devono essere conservative.

Indichiamo con:

• F_i la risultante delle forze esterne sulla particella i-esima
• F_i,j la forza sull’i-esima particella dovuta all’interazione con la j-esima (FORZE INTERNE)

Quindi per una particella abbiamo

F_i(t) + ∑_j=1,j≠iⁿ F_i,j = dmv

dove abbiamo espresso a=dv_dt. Di fatto determiniamo la massa come grandezza costante il secondo membro dell’equazione diventa dp_dt

Infatti per il principio di azione e reazione abbiamo infatti che F_i,j = -F_j,i (esemme le forze interne)

∑_i=1ⁿ ∑_j=1,j≠iⁿ F_i,j = 0

Risulta allora che la F_es quindi diviene

F_es = dp/dt

Questa è la prima equazione cardinale della dinamica chiamata anche teorema della quantità di moto afferma dei