Riassunto trasformate di Fourier, Laplace, Zeta

Serie di Fourier e sistemi

LTZ Xe −lim ε = x(t) α exp(jω kt ) dt = 0L k 0 0[T ]L→+∞ 0 k=−L1 Serie di Fourier 2Considerazioni energetiche 2∈ ∈x(t) t T x(t) L ([T ]),Teorema. [Parseval] Se con è periodico di periodo soddisfa alloraRla sua energia in un periodo è data da ∞X 2x |α |ε = T k[T ] k=−∞In base a quanto osservato siamo capaci di legare i coefficienti di Fourier all’energia di un se-1gnale in un periodo. Inoltre, grazie ad alcune proprietà legate all’ortogonalità , alla convergenzain media quadratica appena vista e alla serie di Fourier troncata, possiamo scrivereexx + εε = ε LL[T ] [T ][T ]L e (t)il che significa che possiamo scegliere il valore di tale per cui l’energia del segnale errore Lassume un valore piccolo a piacere. In particolare, svolgendo dei banali conti, vediamo cheX 2e |α |ε = TL k[T ] |k|>LSerie di Fourier e sistemi

<p>Consideriamo un sistema LTI tempo continuo, con risposta impulsiva a cui diamo in ingresso un segnale periodico di periodo T. Sviluppiamo in serie di Fourier con coefficienti a_k. Sfruttando le proprietà di linearità e tempo invarianza, osserviamo che anche il segnale di uscita y(t) è periodico di periodo T. Inoltre anche questo è sviluppabile in serie di Fourier a_k e la convergenza delle serie è garantita.</p> <p>Esempio. Consideriamo il circuito RC, in cui V_g è la tensione del generatore e V_c è la tensione ai capi del condensatore. Supponiamo che x(t) = rect(T_0) sia il segnale di ingresso. Studiamo il comportamento del sistema. Sappiamo che la risposta in frequenza H(jω) = 1/(1 + jRCω) e che i coefficienti di Fourier di x(t) sono a_k = sinc(kT/T_0). In base a quanto osservato in precedenza, abbiamo la seguente espressione per y(t):</p> <p>y(t) = ∑[a_k * exp(jω_kt)]</p>

kt + arg(H(jω )))k k 0 kk=−∞e sappiamo che 1√|H(jω )| =k 2 2 21 + ω R C1

Abbiamo introdotto Fourier in analogia agli spazi vettoriali e a loro relative basi. Il concetto di ortogonalitàsi lega al significato di energia mutua tra due segnali.

Serie di Fourier 3Sistemi LTI interconnessi e risposta in frequenzaAbbiamo già studiato in precedenza le interconnessioni di sistemi ed in particolare il compor-tamento della risposta impulsiva equivalente del sistema complessivo. Ci riproponiamo di farelo stesso analizzando la risposta in frequenza complessiva. Distingueremo tre casi: sistemi inparallelo, sistemi in serie e sistemi in retroazione. Come solito, supponiamo che l’ingresso siajωtx(t) = el’esponenziale puro . Pserie.

1. Sistemi in Possono essere sintetizzati da un unico sistema che ha risposta insfrequenza H (jω) = H (jω)H (jω)p 1 2Il risultato è solidale a quanto precedentemente osservato per

la risposta impulsiva.

Fig. 1.1: Pparallelo.

2. Sistemi in Possono essere sintetizzati da un unico sistema che ha rispostapin frequenza H (jω) = H (jω) + H (jω)p 1 2Il risultato è solidale a quanto precedentemente osservato per la risposta impulsiva.

Fig. 1.2: Pretroazione.

3. Sistemi in Possono essere sintetizzati da un unico sistema che ha rispostarin frequenza H (jω)1H (jω) =r −1 H (jω)H (jω)1 2Qui otteniamo un risultato nuovo, che non avevamo visto per la risposta impulsiva com-plessiva.

Fig. 1.3:2 Trasformata di Fourier 42 Trasformata di Fourierx(t) trasformata di FourierDato un segnale periodico definiamo la (eq. di analisi)∞Z x(t) exp(−2πf t)dtX(f ) = −∞anti-trasformatae la relativa (eq. di sintesi)∞Zx(f ) = X(f ) exp(2πf t)df−∞Possiamo poi osservare una serie di proprietà analizzate in precedenza per la serie di Fourier. Inparticolare l’anti-trasformata converge puntualmente,

ovveroF − +Z x(t ) + x(t )lim X(f ) exp(2πf t)df = 2→+∞F −Fed, inoltr, la stessa formula vale nel senso della convergenza in media quadratica. Di seguito elenchiamo altre di cui gode la trasformata. Proprietà della trasformata ∈a , a x (t), x (t) Teorema. [Linearità] Dati e otteniamo che C1 2 1 2F F F(a x + a x ) = a (x ) + a (x )1 1 2 2 1 1 2 2∈ X(−f ), x(t) X(f ) = X(−f )x(t) X(f ) = Teorema. se è pari allora [Simmetrie] Se allora Rx(t) X(f ), Teorema. [Traslazione] Se ammette tf. di Fourier allora F −j2πf t− −→x(t t ) X(f )e 00x(t) X(f ), Teorema. di scala] [Cambio Se ammette tf. di Fourier allora 1 fF−→x(at) X|a| ax(t) X(f ), Teorema. [Modulazione] Se ammette tf. di Fourier allora Fj2πf t −→ −x(t)e X(f f )0 0v (t), v (t) Teorema. [Convoluzione] Siano due segnali rispettivamente con tf. di Fourier 1 2V (f ), V (f )1 2 F∗ −→[v v ](t) V (f )V (f )1 2 1 2v (t),

v(t) V(f), V(f)Teorema. [Prodotto] Siano due segnali rispettivamente con tf. di Fourier 1 2 1 2F→ *v(t)v(t) [V V](f)1 2 1 2x(t) X(f), Teorema. [Dualità] Se ammette tf. di Fourier allora F→X(t) x(-f)