Riassunto trasformate di Fourier, Laplace, Zeta

Serie di Fourier

Sintesi e analisi

Dato un segnale periodico di periodo T, tale che possiamo scrivere l’equazione di sintesi:

∞ X x(t) = α_k exp(jω_k t) k 0 k=−∞

e l’equazione di analisi:

T Z 1 x(t) exp(−jω_k t) α_k = 0 k T 0

a_k = Re(α_k)

b_k = Im(α_k)

Tramite alcune manipolazioni algebriche, ponendo e otteniamo la serie di Fourier in forma trigonometrica:

∞ X − x(t) = α₀ + a_k cos(ω_k t) + 2b_k sin(ω_k t) 0 k 0 k 0 k=1

α_k

Proprietà dei coefficienti di Fourier

Chiamiamo gli i coefficienti di Fourier, che godono delle seguenti proprietà:

• [Simmetria hermitiana] - Se x(t) è reale, allora a_−k = −a_k
• [Ribaltamento terminale] - Se x(−t) è pari, allora a_−k = a_k
• [Cambio di scala] - I coefficienti rimangono invariati, ma si riferiscono a pulsazioni differenti
• [Traslazione] - F −jω c − −→x(t c) e a_k
• [Modulazione] - Fjω M −→e x(t) a_k
• [Derivata] - M Fd x(t) −→ jω k a_k dt

Convergenza

Abbiamo visto che il segnale può essere scritto come somma infinita, dobbiamo capire in che senso tale serie ammette la convergenza, e se la ammette.

Teorema di convergenza puntuale (Dirichlet)

Se con ∈x(t) è periodico di periodo T soddisfa

R1 ∈x(t) L² ([T ]) ed è generalmente continuo e derivabile, allora

L − + x(t ) + x(t ) X 0 0

α_k exp(jω_k t ) = lim k 0 0 2 L→+∞ k=−L− + x(t ), x(t )

dove sono rispettivamente i limiti sinistro e destro del segnale calcolati al tempo 0.

Teorema di convergenza in media quadratica (Fisher-Riesz)

Se con ∈x(t) è periodico di periodo T soddisfa R2 ∈T x(t) L² ([T ]), allora definendo:

− e(t) = x(t) − x_L(t)

allora

2L T Z X − lim ε = x(t) α_k exp(jω_k t) dt = 0 L k 0 0 [T] L→+∞ 0 k=−L

Considerazioni energetiche

Teorema. [Parseval] Se con ∈x(t) è periodico di periodo T soddisfa R, allora la sua energia in un periodo è data da

∞ X 2x |α_k| ε = T k [T ] k=−∞

In base a quanto osservato siamo capaci di legare i coefficienti di Fourier...