Metodi Matematici – Zeta trasformata

1. La Trasformata Zeta

1.1 Definizione di Zeta trasformata ed esempi

{a }

Definizione 1.1 Sia una successione numerica. Diciamo Zeta Trasformata della

n

{a },

successione la funzione

n +∞

X −n

Z({a }; ≡

z) a z

n n

n=−∞

nel sottoinsieme di dove la serie converge.

C

Osservazione 1.1 Una serie come la precedente converge sempre in una corona circolare

eventualmente degenere.

Esempio 1.1 Consideriamo la successione

1

 ≥

, n 0;

 n

2

a =

n 0, n < 0.



e calcoliamo la sua trasformata.

Si ha: +∞ +∞

1 1 1 2z 1

X X

−n

Z({a }; ∀z |z|

z) = z = = = , : > .

n n n − −

2 (2z) 1 1/z 2z 1 2

n=0 n=0

Esempio 1.2 Consideriamo la successione

1

 , n < 0;

 n

2

a =

n ≥

0, n 0.



e calcoliamo la sua trasformata.

Si ha: −1 +∞

1 2z 1

X X

−n n

Z({a }; ∀z |z|

z) = z = (2z) = , : < .

n n −

2 2z 1 2

n=−∞ n=1 G.Di Fazio

Osservazione 1.2 Dai due esempi precedenti emerge che le successioni nulle per n < 0

hanno trasformata definita all’ esterno di un cerchio mentre quelle nulle per n > 0 hanno

trasformata definita all’ interno di un cerchio. Ciò si prova facilmente ricorrendo alla

definizione di trasformata.

Proviamo inoltre che ∈ 6 ∀k −n.

Teorema 1.1 Supponiamo che esiste n : a = 0, a = 0, < Allora la

N −n k

trasformata ha un polo di ordine n all’ infinito.

Dim. Infatti, dalla definizione segue immediatamente che:

+∞ +∞ +∞

X X X

−j −(m−n) −m

n

Z({a }; z) = a z = a z = z a z

n j m−n m−n

m=0 m=0

j=−n

e quindi +∞

Z({a }; z)

n X −m 6

lim = lim a z = a = 0.

−n

m−n

n

z

z→∞ z→∞ m=0

In modo simile si prova che ∈ 6 ∀k

Teorema 1.2 Supponiamo che esiste n : a = 0, a = 0, < n. Allora la

N n k

trasformata ha uno zero di ordine n all’ infinito.

∃m ∈

Esempio 1.3 (Filtro FIR) Supponiamo che : x = 0 se n < 0 e n > m. Allora

N n

˜ \ {0}.

la trasformata è definita in C

Infatti, m

X −n

Z({a }; z) = a z .

n n

n=0

∃m ∈ −m.

Esempio 1.4 Supponiamo che : x = 0 se n > 0 e n < Allora la

N n

˜ \ {∞}.

trasformata è definita in C

Infatti, 0 m

X X

−n n

Z({a }; z) = a z = a z .

−n

n n

n=−m n=0

∃m ∈ |n|

Esempio 1.5 Supponiamo che : x = 0 se > m. Allora la trasformata è

N n

˜