Metodi Matematici – Zeta trasformata

La trasformata Zeta

Definizione di Zeta trasformata ed esempi

Definizione 1.1 Sia una successione numerica. Diciamo Zeta trasformata della successione a_n la funzione:

Z({a_n}; z) = ∑_n=-∞^∞ a_n z^-n

nel sottoinsieme di C dove la serie converge.

Osservazione 1.1 Una serie come la precedente converge sempre in una corona circolare eventualmente degenere.

Esempi di trasformata Zeta

Esempio 1.1 Consideriamo la successione:

• a_n = 1, n ≥ 0;
• a_n = 0, n < 0.

e calcoliamo la sua trasformata. Si ha:

Z({a_n}; z) = ∑_n=0^∞ z^-n = &frac{1}{1 - z^-1} = &frac{z}{z - 1}, |z| > 1.

Esempio 1.2 Consideriamo la successione:

• a_n = 1, n < 0;
• a_n = 0, n ≥ 0.

e calcoliamo la sua trasformata. Si ha:

Z({a_n}; z) = ∑_n=-∞^-1 z^-n = &frac{1}{1 - z}, |z| < 1.

Osservazione 1.2 Dai due esempi precedenti emerge che le successioni nulle per n < 0 hanno trasformata definita all'esterno di un cerchio mentre quelle nulle per n > 0 hanno trasformata definita all'interno di un cerchio. Ciò si prova facilmente ricorrendo alla definizione di trasformata.

Proviamo inoltre che ∈ 6 ∀k −n.

Teoremi sulla trasformata Zeta

Teorema 1.1 Supponiamo che esista n tale che a_-n ≠ 0, a_k = 0, ∀ k < -n. Allora la trasformata ha un polo di ordine n all'infinito.

Dim. Infatti, dalla definizione segue immediatamente che:

Z({a_n}; z) = ∑_m=0^∞ a_m-n z^-(m-n) = z^-n ∑_m=0^∞ a_m z^-m

E quindi:

lim_z→∞ zⁿ Z({a_n}; z) = a_-n ≠ 0.

In modo simile si prova che ∈ 6 ∀k.

Teorema 1.2 Supponiamo che esista n tale che a_n ≠ 0, a_k = 0, ∀ k > n. Allora la trasformata ha uno zero di ordine n all'infinito.

Esempi applicativi della trasformata Zeta

Esempio 1.3 (Filtro FIR) Supponiamo che x_n = 0 se n < 0 e n > m. Allora la trasformata è definita in C.

Infatti:

Z({a_n}; z) = ∑_n=0^m a_n z^-n.

Esempio 1.4 Supponiamo che x_n = 0 se n > 0 e n < -m. Allora la trasformata è definita in C.

Infatti:

Z({a_n}; z) = ∑_n=-m⁰ a_n z^-n.

Esempio 1.5 Supponiamo che x_n = 0 se n > m. Allora la trasformata è...