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Metodi Matematici – Zeta trasformata Appunti scolastici Premium

Appunti della materia di Metodi Matematici Zeta trasformata. Nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: De finizione di Zeta trasformata ed esempi, Proprieta della Trasformata Zeta, la trasformata di Laplace e la trasformata di Fourier, ecc.

Esame di Metodi matematici docente Prof. U. Dardano

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G.Di Fazio

Osservazione 1.2 Dai due esempi precedenti emerge che le successioni nulle per n < 0

hanno trasformata definita all’ esterno di un cerchio mentre quelle nulle per n > 0 hanno

trasformata definita all’ interno di un cerchio. Ciò si prova facilmente ricorrendo alla

definizione di trasformata.

Proviamo inoltre che ∈ 6 ∀k −n.

Teorema 1.1 Supponiamo che esiste n : a = 0, a = 0, < Allora la

N −n k

trasformata ha un polo di ordine n all’ infinito.

Dim. Infatti, dalla definizione segue immediatamente che:

+∞ +∞ +∞

X X X

−j −(m−n) −m

n

Z({a }; z) = a z = a z = z a z

n j m−n m−n

m=0 m=0

j=−n

e quindi +∞

Z({a }; z)

n X −m 6

lim = lim a z = a = 0.

−n

m−n

n

z

z→∞ z→∞ m=0

In modo simile si prova che ∈ 6 ∀k

Teorema 1.2 Supponiamo che esiste n : a = 0, a = 0, < n. Allora la

N n k

trasformata ha uno zero di ordine n all’ infinito.

∃m ∈

Esempio 1.3 (Filtro FIR) Supponiamo che : x = 0 se n < 0 e n > m. Allora

N n

˜ \ {0}.

la trasformata è definita in C

Infatti, m

X −n

Z({a }; z) = a z .

n n

n=0

∃m ∈ −m.

Esempio 1.4 Supponiamo che : x = 0 se n > 0 e n < Allora la

N n

˜ \ {∞}.

trasformata è definita in C

Infatti, 0 m

X X

−n n

Z({a }; z) = a z = a z .

−n

n n

n=−m n=0

∃m ∈ |n|

Esempio 1.5 Supponiamo che : x = 0 se > m. Allora la trasformata è

N n

˜ \ ∪ {∞}).

definita in ({0}

C

Infatti, m

X −n

Z({a }; z) = a z .

n n

n=−m

2

Appunti di Analisi Matematica III

Le successioni descritte nei tre esempi precedenti si dicono segnali di durata finita.

1.2 Proprietà della Trasformata Zeta

La trasformata zeta gode di molte proprietà simili a quelle di cui godono le altre

trasformate continue e cioè la trasformata di Laplace e la trasformata di Fourier. Elenchi-

amo le più importanti:

1. Linearità. Z({αa }; Z({a }; Z({b }; ∀α, ∈

+ βb z) = α z) + β z) β C.

n n n n

2. Traslazione nel tempo. −k

Z({a }; Z({a }; ∀k ∈

z) = z z) Z.

n−k n

∀n

Nel caso che a = 0, < 0,

n a a a

1 2 k−1

k

Z({a }; Z({a }; − − − − · · · − ∀k ∈

z) = z z) a N.

n+k n 0 2 k−1

z z z

3. Cambio di scala. z n

Z({x }; Z({a }; ∀a 6

) = x z) = 0.

n n

a

4. Inversione nel tempo. 1

Z({x }; Z({x };

z) = ).

−n n z

5. Derivazione in z. d

−z Z({x }; Z({nx };

z) = z).

n n

dz

6. Convoluzione nel tempo. Posto +∞

X

(x y) = x y

n j n−j

j=−∞

si ha: Z({(x ∗ }; Z({x }; · Z({y };

y) z) = z) z)

n n n 3

G.Di Fazio

Esempio 2.1 A volte, per calcolare la convoluzione di due successione, si procede

molto più rapidamente usando la formula precedente. Consideriamo ad esempio le

successioni seguenti:  1, n = 0,

 ( ≤ ≤

 2, n = 1, 1, 0 n 5,

x = y =

n n

1, n = 2, 0, altrove,

 0, altrove,

Invece di calcolare la convoluzione delle due successioni e poi trasformare la con-

voluzione, calcoliamo il prodotto delle trasformate. Indichiamo rispettivamente con

X, Y le trasformate delle due successioni e con Z la trasformata della convoluzione.

Si ha: 1 1 1 1 1 1

2

− + , Y (z) = 1 + + + + + ,

X(z) = 1 2 2 3 4 5

z z z z z z z

da cui 1 1 1

− + .

Z(z) = 1 6 7

z z z

Da quest’ ultima formula si ottiene immediatamente che la successione ottenuta convol-

vendo le due date è  −7,

1, n =

 − −6,

1, n =

∗ − −1,

(x y) = 1, n =

n  1, n = 0,

 0, altrove,

1.3 Legame con la Trasformata di Laplace

∈ ∀t

Sia f C , T > 0, f (t) = 0, < 0. La distribuzione

0 +∞

X −

f (t) δ(t nT )

n=−∞

è temperata ed ha supporto in [0, +∞[. Si ha:

!

+∞ +∞ +∞

X X X

−st −snT

L − h(f − i

f (t) δ(t nT ); s = (t) δ(t nT ), e = f (nT )e .

n=−∞ n=−∞ n=−∞

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AUTORE

Sara F

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria informatica
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Sara F di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Metodi matematici e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Napoli Federico II - Unina o del prof Dardano Ulderico.

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