Metodi Matematici – Zeta trasformata

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X X X−j −(m−n) −mnZ({a }; z) = a z = a z = z a zn j m−n m−nm=0 m=0j=−ne quindi +∞Z({a }; z)n X −m 6lim = lim a z = a = 0.−nm−nnzz→∞ z→∞ m=0In modo simile si prova che ∈ 6 ∀k

Teorema 1.2 Supponiamo che esiste n : a = 0, a = 0, < n. Allora laN n ktrasformata ha uno zero di ordine n all’ infinito.∃m ∈

Esempio 1.3 (Filtro FIR) Supponiamo che : x = 0 se n < 0 e n > m. AlloraN n˜ \ {0}.la trasformata è definita in CInfatti, mX −nZ({a }; z) = a z .n nn=0∃m ∈ −m.

Esempio 1.4 Supponiamo che : x = 0 se n > 0 e n < Allora laN n˜ \ {∞}.trasformata è definita in CInfatti, 0 mX X−n nZ({a }; z) = a z = a z .−nn nn=−m n=0∃m ∈ |n|

Esempio 1.5 Supponiamo che : x = 0 se > m. Allora la trasformata èN n˜ \ ∪ {∞}).definita in ({0}CInfatti, mX −nZ({a }; z) = a z .n

nn=−m2Appunti di Analisi Matematica III

Le successioni descritte nei tre esempi precedenti si dicono segnali di durata finita.

1.2 Proprietà della Trasformata Zeta

La trasformata zeta gode di molte proprietà simili a quelle di cui godono le altre trasformate continue e cioè la trasformata di Laplace e la trasformata di Fourier. Elenchiamo le più importanti:

1. Linearità. Z({αa }; Z({a }; Z({b }; ∀α, ∈+ βb z) = α z) + β z) β C.n n n n
2. Traslazione nel tempo. −kZ({a }; Z({a }; ∀k ∈z) = z z) Z.n−k n∀n
3. Cambio di scala. z nZ({x }; Z({a }; ∀a 6) = x z) = 0.n na
4. Inversione nel tempo. 1Z({x }; Z({x };z) = ).−n n z
5. Derivazione in z. d−z Z({x }; Z({nx };z) = z).n ndz
6. Convoluzione nel tempo. Posto

+∞X∗(x y) = x yn j n−jj=−∞si ha: Z({(x ∗ }; Z({x }; · Z({y };y) z) = z) z)n n n 3G.Di FazioEsempio 2.1 A volte, per calcolare la convoluzione di due successione, si procedemolto più rapidamente usando la formula precedente. Consideriamo ad esempio lesuccessioni seguenti:  1, n = 0, ( ≤ ≤− 2, n = 1, 1, 0 n 5,x = y =n n1, n = 2, 0, altrove, 0, altrove,Invece di calcolare la convoluzione delle due successioni e poi trasformare la con-voluzione, calcoliamo il prodotto delle trasformate. Indichiamo rispettivamente conX, Y le trasformate delle due successioni e con Z la trasformata della convoluzione.Si ha: 1 1 1 1 1 12− + , Y (z) = 1 + + + + + ,X(z) = 1 2 2 3 4 5z z z z z z zda cui 1 1 1−− + .Z(z) = 1 6 7z z zDa quest’ ultima formula si ottiene immediatamente che la successione ottenuta convol-vendo le due date è  −7,1, n = − −6,1, n

1, n = 0,

0, altrove,

1.3 Legame con la Trasformata di Laplace

∞∈ ∀t

Sia f C , T > 0, f (t) = 0, < 0. La distribuzione

0 +∞

X −f (t) δ(t nT )

n=−∞

è temperata ed ha supporto in [0, +∞[. Si ha:

∞ ∞ ∞

X X X

−st −snTL − h(f − if (t) δ(t nT ); s = (t) δ(t nT ), e = f (nT )e .

n=−∞ n=−∞ n=−∞

4Appunti di Analisi Matematica III

L’ultima espressione si può scrivere sTZ(U(n)f (nT ); e ).

La trasformata Zeta si può vedere quindi come una versione discreta della trasformata di

Laplace. {x }

Definizione 3.1 Data una successione consideriamo

n +∞

X −2nπiξT2πiξT F({x }; ≡ Z {x }; ∈ξ) e = x e , ξ Z.

n n n

n=−∞F({x }; {x }.

La successione ξ) si dice trasformata discreta di Fourier della successione

n n

1.4 Antitrasformazione

Questo paragrafo si risponde al quesito seguente: Data una funzione olomorfa all'esterno di un cerchio determinare una successione la cui Zeta trasformata sia la funzionedata.

Teorema 4.1 (del valore iniziale) Si ha: Z({a };a = lim z)0 nz→∞

Dim. Infatti, +∞1 X nZ({a }; Z({a }; ) = lim a z = alim z) = limn n n 0zz→∞ z→0 z→0 n=0

tenendo conto dell' olomorfia delle serie di potenze.

In modo simile si dimostraTeorema 4.2 Si ha: }; −a = lim z (Z({a z) a )1 n 0z→∞

Iterando i due teoremi precedenti si possono ricavare delle formule che consentono il{x }calcolo dei coefficienti della successione in maniera ricorsiva. Nel caso di funzioninrazionali ciò tuttavia si può ottenere anche attraverso la cosiddetta divisione lunga. La di-visione lunga consiste nell' eseguire la divisione tra numeratore e denominatore esprimendo5G.Di Fazio−1poi il quoziente in funzione di potenze di z . 2z +1 eseguendo la divisione si

trovaEsempio 4.1 Per antitrasformare la funzione 3z +12z + 1 -1 -3 -4 -6- - · · ·= z + z z z + +3z +1

Il problema è che sia usando il procedimento ricorsivo descritto prima, sia usando la divisione lunga, si possono calcolare soltanto un numero finito di coefficienti. Ciò può essere accettato nel caso in cui l'antitrasformazione viene eseguita attraverso un calcolatore. Nel caso in cui volessimo determinare l'intera successione esiste un altro procedimento che fa uso del teorema dei residui.

Teorema 4.3 Data la funzione f (z) definita in > %. La funzione f è la Zeta trasformata della successione doven n-1 ∀n ∈ x = Σ Res z f (z), N.n+∞ -n n-1P |z|, > %. Moltiplichiamo ambo i membri per z edDim. Sia f (z) = x znn=0integriamo su una circonferenza contenente tutte le singolarità della funzione integranda.

n−m−1 n−m−1z f (z) dz = x z dz = x z dz = x .m m n2πi 2πi 2πiγ γ γm=0 m=0Infatti, 2πZ Zn−m−1 n−m iθ(n−m)z dz = R i e dθ = 2πiδ .n,mγ 0 z+1

Esempio 4.2 Antitrasformare la funzione X(z) = .2z +2z−1Usiamo la formula di antitrasformazionen−1 ∀n ∈x = Σ Res z X(z), N.n √n−1 −1 ±La funzione z X(z) ha due poli semplici nei punti z = 2 e quindi1,2√√1 h in−1 n−1− ∀n ∈(−1 2) + (−1 + 2) ,x = N.n 26