Riassunto di ''Fondamenti di Automatica'', prof. Bittanti

Modelli

SCRITTURA MATRICIALE di SIST. DIN. LIN →

^.x = Ax + Bu

y = Cx + Du

PUNTO di EQUILIBRIO →

^.x̄ = 0

x̄ = - A^-1 B ū̄

CARATTERISTICA STATICA →

q̄ = s(ū̄)

LINEARIZZAZIONE →

• Δx = A Δx + B Δu
• Δy = C Δx + D Δu

A = ∂f/∂x |_x̄,ū̄

B = ∂f/∂u |_x̄,ū̄

C = ∂g/∂x |_x̄,ū̄

D = ∂g/∂u |_x̄,ū̄

Sistema multivariabile →

• ^.x₁ = f₂(x₁, x₂, u₁, u₂)
• ^.x₂ = f₂(x₁, x₂, u₁, u₂)

Δ^.x = A Δx + B Δu

• A = [∂f₁/∂x₁, ∂f₁/∂x₂, x̄, ū̄]
• [∂f₂/∂x₁, ∂f₂/∂x₂, x̄, ū̄]

• B = [∂f₁/∂u₁, ∂f₁/∂u₂, x̄, ū̄]
• [∂f₂/∂u₁, ∂f₂/∂u₂, x̄, ū̄]

MOVIMENTO LIBERO →

x_L(t) = φ(X(t₀), 0)

x_L(t) = e^A(t-t₀) x(t₀)

MOVIMENTO FORZATO →

x_F(t) = φ (0, u(t)₀)

x_F(t) = ∫_t₀^t e^A(t-τ) B u(t) dτ

MOVIMENTO di un SIST. LIN. →

x(t) = x_F(t) + x_L(t)

FORMULA di LAGRANGE →

x(t) = e^A(t-t₀) x(t₀) + ∫_t₀^t e^A(t-τ) B u(t) dτ

TABELLA di ROUTH-HURWITZ →

• [α₀ α₂ α₄ ...]
• [α₁ α₃ α₅ ...]
• [h₃ h₄ h₅ ...]
• [k₁ k₂ k₃ ...]

(m+1) righe

h₃ = - (1/α₁) det[α₀ α₁]

h₂ = - (1/α₁) det[α₀ α₂ α₃]

...

k₁ = - (1/h₁) det[α₁ α₃ h₀ h₄ h₅]

k₂ = - (1/h₂) det[α₀ α₄ h₁ h₂]

Segnali e trasformate

TRASFORMATA di LAPLACE → \( F(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\, dt \)

impulso → \( \text{imp}(t) = \lim_{\varepsilon \to 0} f_{\varepsilon}(t) \) con \( f_{\varepsilon}(t) = \begin{cases} \frac{1}{\varepsilon} & 0 \leq t \leq \varepsilon \\ 0 & \text{altrove} \end{cases} \)

TRASFORMATA dell’IMPULSO → \( F(s) = 1 \)

scalino → \( \text{sca}(t) = \begin{cases} 0 & t \leq 0 \\ 1 & t > 0 \end{cases} \)

TRASFORMATA dello SCALINO → \( F(s) = \frac{1}{s} \)

rampa → \( \text{ramp}(t) = \begin{cases} t & t > 0 \\ 0 & t \leq 0 \end{cases} \)

TRASFORMATA della RAMPA → \( F(s) = \frac{1}{s^2} \)

parabola → \( \text{par}(t) = \begin{cases} \frac{t^2}{2} & t \geq 0 \\ 0 & t < 0 \end{cases} \)

TRASFORMATA della PARABOLA → \( F(s) = \frac{1}{s^3} \)

TRASFORMATA del COSENO → \( F(s) = \frac{s}{s^2 + \omega^2} \)

TRASFORMATA del SENO → \( F(s) = \frac{\omega}{s^2 + \omega^2} \)

Proprietà:

LINEARITÀ → \( f(t) = \alpha_1 f_1(t) + \alpha_2 f_2(t) \) → \( \mathcal{L}[f(t)] = \alpha_1 \mathcal{L}[f_1(t)] + \alpha_2 \mathcal{L}[f_2(t)] \)

TRASLAZIONE nel DOMINIO S → \( \mathcal{L}( e^{at} f(t) ) = F(s-a) \)

DERIVAZIONE nel DOMINIO S → \( t f(t) \) → \( - \frac{dF(s)}{ds} \)

DIAGRAMMA DI BODE della FASE

• in ascissa: vedi modulo
• in ordinata: G(jω) al variare di ω da 0 a ∞

N.B. segno delle costanti di tempo!

1. ai bassi pulsazioni, il diagramma è costante e vale 0° se μ > 0, oppure -180° se μ < 0;
2. zero nel semipiano dx → sale di 90°, i multipli dello 0;
3. zero nel semipiano dx → scende di 90°;
4. polo nel semipiano sx → scende di 90°, i multipli del polo;
5. polo nel semipiano dx → sale di 90°.

CON POLI o ZERI NELL'ORIGINE:

1. ai bassi pulsazioni: K poli nell'o.: il diagramma è costante e vale 0° oppure -180° se μ < 0;
2. zeri nell'origine: il diag. sale +K90° se μ > 0, oppure -180° + K90° se μ < 0.

Fitti con μ > 0 e poli/zeri nel semipiano sx:

• dal modulo -> alla fase
• diag del modulo decresce di Kx10 dB/decade → la fase ha una variazione di -K90°
• diag del modulo sale di Kx10 dB/decade → la fase ha una variazione di K90°