Metodi matematici per l'ingegneria - Formulario

z = x + i y

z = R e^{i θ}

θ ∈ ℝ

1/z = z̅ / |z|²

e^{i θ} = cos(θ) + i sin(θ)

z^m = ρ^m e^{i m θ}

z = x + i y

e^x = e^{ln(x) i} e^ln(y)

cosh(θ) = e^a + e^-a / 2

l² = u

cos(θ) = e^{i θ} + e^{-i θ} / 2

Log(z) = log|u| + i Arg(w)

∂ l / ∂ r = i ∂ l / ∂ x

l(z) = ...

z = log|u| + i ( Arg(w) + 2k π )

seriedipotenzede

f(z) = Σ a_m (z - z₀)ⁿ

SEGNALI

_det(t)

Δ(t) = (1 - |t|)_{1₍₋₁,₁₎}

H(t)

SHIFT A DESTRA DI TSHIFT A SINISTRA DI TRISCALAMENTO

u(t-T)u(t+T)u(wt)u(t/w)

SEGNALI PIÙ RAPIDO

U(t) = a cos (wt)V(t) = b sin (wt)C = a-ib

U(t) = u(t) + M(t) = a cos (wt+ψ) + b sin (wt+ψ) = 3 cos (wt+θ)s = √(a² + b²)     θ = (a-ib)

PRODOTTO SCALARE DI 2 SEGNALI u, v DELLO SPAZIO Bⱼ(ℝ)

(u,v) ∈ Bⱼ(ℝ)

(u,v) = ¹/_T ∫₀ᵀ u(t) · v(t) dt

POTENZA DEL SEGNALE → (u,u) = ∫₀ᵀ u(t) dt = [μₐ]

LINEARITÀ

• (u+v, u) = (u,u) + (v,u)
• (λu, λv) = λ (u,v)

SIMMETRIA HERMITIANA

(u,v) = ̅(v,u)

SEMI-NORMA

||u||² :: = (u,u)     ||u|| = √(u,u)

FOURIER

û_k = (u, e^{-i ku₀ t}) = ∫₀^Tu(t)e^{-i ku₀ t} dt = 1/π ∫₀^Tu(t)e^{-i ku₀ t} dt

2 Lû_k = a_u - i b_k

u(t) = a₀/2 ∑_{k = 1}^∞ û_k e^{-i ku₀ t}

= a_u/2 + ∑ a_u cos(ku₀ t) + b_u sin(ku₀ t)

u₀ = 2 π/T

TRASFORMA DI FOURIER

û(f) = ∫_-∞^+∞ u(t)e^{-2πi ft} dt

u(t) = ∫_-∞^+∞ û(f)e^{2πi ft} df

û_k = 1/π û(f/k)

u(t) ↔ û(f)

u(t) e^{-2πi α t} ↔ û(f)

PRINCIPIO DI DUALITÀ

u(t) ↔ û(f)

û(t) ↔ u(-f)

v(t) = du(t)/dt ↔ 2πi f û(f)

v(t) = 2πi t u(t) ↔ d/df û(f)

es: t rect(t) ↔ 9 rect(t) ↔ sinc(f)

2πi rect(t) ↔ d/df sinc(f)

t rect(t) ↔ d/df sinc(f)

e^-j2πf_ot ———— μ(t) ———— μ(t (f - f_o)

(cos 2πf_ot) du

¹⁄₂ [μ(f - f_o) + μ(f + f_o)]

(sin 2πf_ot) dt

¹⁄_2j [μ(f - f_o) - μ(f + f_o)]

TRASFORMATA DI LAPLACE

μ(s) = ∫_-∞^+∞ μ(t) e^-st dt

SEGNALI CAUSALI

∃ t_o t.c. μ(t) = 0 ∀t < t_o

s = 2jπf ∈ 1

SHIFT γ_(m-k) ⇒ M(z) z^-K

γ_M ∑_K => z d/dz M(Z)

FORMULA DI INVERSIS NE

γ_ M (m) = 1/2πi ∮_C(G) M(z) z^m-1 dz ⇔ γ_K = ∑^k_{γ_M} Res (M(z) z^m-1 ; z_k)

H(m) a(m)ⁿ zⁿ z³ / z - z_-u

FUNZIONI DI VARIABILE COMPLESSA Una funzione ℒ complessa ℒ e' una funzione che:

1. definita in un dominio ℵ(S) sottoinsieme aperto in ℂ

2. assume valori complessi

φ(D) ⊂ ℂ ⟶ ℂ ⟶ ℂ

DERIVABILITÁ IN SENSO COMPLEX E EQULIDIUM DI CAUCHY-RIEMANN

ℵ ℒ ℒ di un sottoinsieme S detto derivabile in senso complex o olomorfa, si è rispettata;

_∂y ∫_x aC(O) | ℜ_x+x1

LIM²

^Uo₂₁ o**** z x

DEFINIZIONI CALCOLO RIPRODUTTIVO INCREMENTALE

ℵ((D)⊂ℂ derivabile in senso if complesso ed' immagine sottoinsieme y' ε D((z) = lim bz_3-k(s)

INTEGRALE CURVILINEO IN FUNZIONI COMPLESSE

Supponiamo c'e' t = ^{a(b) = b(} una funzione derivabile continuità in [a, b] e che S una curva semplice

competirci via il! integrale di stesso"

1. ∮ ^{Sc(Ω.) d_εz} = ∫ F(ε(t)) z'(ε) z'(t) dt
2. ∬_F(ℝ)z
3. ∫^b_α z(ε(t))• ℵ(ε)(t)
4. = ∫^α₀ a(ε) - emb(t)
5. _a(a)
6. ℵ f( ❰ ⓐ ^b(bu))

I Cauchy

Se riduciamo tutti i circuiti presi in senso antiorario, otteniamo che l'integrale del circuito esterno é eguale alla somma degli integrali interni, p.e:

_c0∮f(z)dz = ∑_k∮c_kf(z)dz = 0

Segni scambiati ⇔ ∮_γ0f(z)dz = 0

Funzioni Analitiche

Una funzione continua e definita in un insieme aperto del piano complex si dice analitica in Dse esiste z₀ ∈ D è possibile trovare una sfera B_r(z₀) in cui f ammette lo sviluppo in serie di potenze.

∮_cγf(z)dz =0 ⇔ ∮_cγ1(z -z₀)dz;

V_∀cεdΛ B_r(z₀)

Formula di Cauchy

Se f ⊂ D⊆ℂ → ℂ è olomorfa in D(f, B_r(z₀) ⊆ D), allora

f⁽ⁿ⁾(z₀) = n! / 2πi ∮_cεf(z) / (z - z₀)ⁿ⁺¹dz

Sviluppi in Serie: Equivalenti dei Laurent per due funzioni olomorfe

f si riduce equivalente a due funzioni di tipo uniforme B_r(z₀), dove z₀ è uno zero isolato di ordine p (eventualmente uno zero di ordine q) è ammette lo sviluppo in serie:

f(z) = 1 / (z - z₀)^m∮_cB_γ(z₀)(z_∫),

m = p - q ordine di singolarità

Sviluppo in Serie di Laurent

Se f è olomorfa nell'insieme complesso del piano analizzi il campo ammette sviluppo in serie:

f(z) = (z - z₀)^-k

∑_{k = 0}∞a_k(z - z₀)^k

1 / 2πi ∮_c(z - α)^-1dz = a

Classificazione delle Singolarità

• Eliminabile se lim_z→z0f(z) = l
• Polo se lim_z→z0f(z) = ∞

f è essenziale e ammette sviluppo in serie di Laurent

g(z) = ∑_{k= -∞}^∞a_k(z - z₀)^k

Residuo

Res_z0(f; z₀) = 1 / 2πi ∮_ε(z0) f(z)dz

Coff. b è lo sviluppo di Laurent di f

∮_cγf(z)dz = 2πi∑_{k =1}^∞b_k(f; z₀)

Polo d'ordine M

Res(f; z₀) = 1 / (m-1)! lim_z→z0

∮_z→z0[(z-z₀)^m-1f(z)]

B all'infinito

B₀(f; ∞) = Res (f; 1 / z) / [1/z²

∮_cf(z)dz = 2πi∑_uB_γ(f; z_u^u/i) = - 2πi∑_k(f - z)

∑_uB_γ(f; z_uⁱⁿ) + ∑_uB_k(f - z) = 0

Lemma di Jordan

∫₀^2π e^(±jkα)t dt = {e^±jkα2π - 1 &over; ±jkα} per k ≠ 0,= 2π k = 0

V.P. ∫₀^2π f(u) e^-ju du = 1 T ∑_k=-∞^+∞ c_k ∫₀^2π e^j(2πkt/T) dt =c₀ + ∑⊂k=1;^+∞ c_k 2πδ(t - 2πkt/T)+ ∑_k=1^+∞ c_-k e^-j(2πkt/T)

Spazi vettoriali di segnali: Un insieme di segnali V (Real♭♭). V è uno spazio vettoriale

Prodotto scalare di segnali

Siano V ⊂ S(U), uno spazio vettoriale di segnali, un prodotto scalare V×V -> C da una coppia di segnali u,v ∈ V

Linearità: (a*u|v) = a(u|v)

Simmetria hermitiana: ¯(u|v) = (v|u)

Semidefinità: (u|u) ≥ 0

Orto Normalità

Il sistema S si dice ortonormale se: ||u_i|| = 1

Teorema di Pitagora: ||u + v||² = ||u||² + ||v||², se e solo se autoanonicali

Prodotto scalare: (u|v) = ∫₀^T u(t)&overline;v(t) dt

Media

<w> := &frac;1;T; ∫₀^T w(u) dt

Potenza

P[u] = 1 T ∫₀^T |u(t)|² dt

Scarto quadratico medio

<u - v>² = 1 T ∫₀^T |u(t) - v(t)|² dt

Coefficenti di Fourier

a_n:= (u| e^jnwt) = 1 T ∫₀^T u(t)e^-jnwt dt

1a Miglior Approssimazione

I coefficienti:                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                

Diseguaglianza di Bessel

IdentitÀ di Parsival

Trasformata di Fourier

Plancherel

Convoluzione

LaPlace

T. Paley-Wiener

Dominio della trasformata di LaPlace

Formula d'inversione di Riemann

u(t) = ¹/_w² (1 - cos(wt))

u(t) = ¹/_w² (1 - cos(wt)) t > 0

H(t) u(t) = M_H(t) u(t) = ¹/_w² H(t) (1 - ^{u w}/_{2 w²})

u(0) = 0

uʹ(0) = 1

uʹʹ(0) = 2

uʹʹʹ(0) = -

H(t) u(t) → H(s) M(s)

u(0) L

s⁴M(s) - M(s) = -s²-25-3=0

M(s) = ^s2+25+3/_s⁴-1

M(s) = ^s2+25+3/_s⁴-1

s⁴ = 1

¹/₄ i e t

t > 0 u(t) = ³/₂ e^t - ¹/₂ e^-t + 2 Re()

= ³/₂ - ¹/₂ e^-t + 1 cos(t) - m(t)

t > 0 u(t) = ³/₂ e^t - ¹/₂ e^-t - cos(t) - m(t)

2 Re (a i a b) e^{i(a t) = a cos(bt) - a m(u(t))}