Metodi matematici per l'ingegneria - Formulario

z = Re z + i Im z = x + iy

_z = _{z1 z2 z} = Re z - i Im z = x - iy

|z| = s = sqrt((Re z)² + (Im z)²) = sqrt(x² + y²) = sqrt(z * _z)

z = s [cos(θ) + i sin(θ)], θ ∈ R

Arg(_z) = Arg(z)

₁/_z² = _z/_|z|²

z₀ = x₀ + iy₀

w = _z0 * _z¹/_z * _1/z

z *₀ = x₀ - iy₀, z₁ = x₁ - iy₁, w = (x₀ x₁ + y₀ y₁ + i(x₀ y₁ + y₀ x₁)/(x₁² + y₁²)

z = s e^iθ

zⁿ = sⁿ e^inθ = sⁿ (cos(nθ) + i sin(nθ))

z = x + iy e^x = e^x

cos(θ) = (e^iθ + e^iθ)/2

sin(θ) = (e^iθ - e^iθ)/2

e^z = w

(w not= 0)

f(z) = f(x + iy)

d/dz = i d/dx

Serie di potenze

f(z) = Sum Am (z-z0)ⁿ

f(z) ammette sviluppo in serie di potenze -> f e analitica

Log(z) = ln(|u|) + i Arg(w)

se f ammette sviluppo in serie di potenze -> f e olo forma nel disco di centro zo e raggio R, f(z) = (Sum m=o inf am (z-zo )^m)

Formula dei Residui

∮_γ ƒ(z) dz = 2πi [Σ_k Res (ƒ, z_k)] = -2πi [Σ_Uk Res (ƒ, z_Uk) + Res (ƒ, ∞)]

Res (ƒ(z); ∞) = Res (ƒ(1/z); 0)

Res (ƒ(z); z_k) = lim_z→z0 (z−z₀) ƒ(z)

Se ƒ(z) = φ(z) / R(z) e φ(z₀) ≠ 0

Singolarità Eliminabile

Se e solo se lim_z→z0 ƒ(z) = l

Polo di Ordine ≤m

Res (ƒ(z), z₀) = lim_z→z0 1 / (m-1)! d^(m-1) / dz^(m-1) [ (z−z₀)^m ƒ(z)]

Integrali Trigonometrici

∫_−∞^∞ g(e^it) dt = ∮_(C0) g(z)/iz dz

Integrali sulla Retta da -∞ a +∞

∫_−∞^∞ ƒ(x) dx =

• if lim_zk < 0 then −2πi Σ_k Res (ƒ, z_k)
• if lim_zk > 0 then +2πi Σ_k Res (ƒ, z_k)

∫_−∞^∞ ƒ(x) e^iλx dx =

• if λ < 0 then −2πi Σ_k Σ_Im(zk)⟂0 Res (ƒ(z)e^iλz, z_k)
• if λ > 0 then +2πi Σ_k Σ_Im(zk)>0 Res (ƒ(z)e^iλz, z_k)

Lemma di Jordan

TRASFORMATA Z

M(z) = ∑_m=0^∞ U_m z^-m

z ∈ ℂ

∑_m=0^∞ U₀z⁰ + U₁z^-1 + U₂z^-2 + ...

U(m) = δ(0) = ∑_m=-∞^∞1

α(m) = 1

∑_m=1^∞ (0)z^-m = 1

∑_m=0^∞ z^-m = 1 + z^-1 + z^-2 + ... = 1/(1 - z^-1) = z/(z-1)

|x| > 1

H(m) = 2 ∑_m=-∞^∞ x₀ 2m = 1 - z^-2 ∑_m=0^∞z^-m

(z²)^-1 = 1/(1-z^-2) = z^-1(z -1)

U(m-k) → M(z) = z^-k

Shift

m U(m) ∑_k - z d/dz M(z)

Formula di Inversione

U(m) = 1/(2 πi) ∮_Cⅆ M(z) z^m-1 dz ↔ U_(m) = ∑_k Res ( [U(z)] * z^m-1 ; z_k)

H(m) a^m z/(z - a)

Funzioni di variabile complessa

Una funzione f complessa è una funzione che:

• Definita in un dominio D sottinsieme attribui C• Assume valori complessi.

Derivabilità in senso complesso e equazioni di Cauchy-Riemann

f(z) è D, si dice f è derivabile in senso complesso (o as olomorfa) se e soddisfatta le:δf/δx = i δf/δy      f(x+iy) = u(x,y)+iv(x,y)

Derivata Cauchy-riemann

1) D(f) C derivabile in eso complesso se e solo sez (d) lim z _k^{|z (z_o)| f(z)}

Integrali curvilinei e funzioni complesse

Supponiamo che I(t)= x(t) sia una funzione Derivabile Continuativa in [a,b] E che У s=una curva semplice contenuta in D(br) integra di s=stessio

k(t)= ∫_γ f(z)dz = ∫_a^b T[z(t) y ' (b)] dt

∫_γ [x(t)] = (1/y(t))f[z(t)]dt

∫_k [F z(u) y ' (b) + ( ф)dt]∫_α^B f [z(u)] dt = F(z(b)) - F(z(a))

μ(t) = ¹/_w² h(t) (1 - cos(wt))

μ(t) = ¹/_w² (1 - cos(wt))

t > 0

oppure

h(t), u(t) = h(t) μ(t) ( ¹/_w² + 2

h (t) = h(t) μ(t), L h(t)

h(t) L h(t) L μ(t)

L [h(t) μ(t)] = Lh(t)

L

μ(t) = 0

μ(0) = 0

μ'(0) = 1

μ'' = 2

μ''' (0) = 3

s³u(0) - s²μ(0) - s² - μ'(0) - sμ''(0)

s⁴ μ(s) = 0 - s² - 3

μ(s) = ^{s2 + 25 + 3}/_{s⁴ - 1}

s = 1

• e ^{t / 4}
• 4
• (1² + 3)

t > 0

μ(t) = ³/₂ t - ¹/₂ e ^−t + e ^+t

− cos(t) − sin(t)

t > 0

μ(t) = ³/₂ t - ¹/₂ e ^−t − cos(t) − sin(t)