Teoria completa - metodi matematici, prof.Savarè

METODI

MATEMATICI

SAVARÉ

http://www.dimat.unipv.it/savare

|z₁ ⋅ z₂| = |z₁| ⋅ |z₂|

|z^-1| ⋅ |z| = |z^-1| ⋅ |z| = 1

z^-1 = z / |z|²

[z] = |z| e Arg(z) = - Arg(z)

Obiettivo iniziale: studiare alcune proprietà delle funzioni di variabile complessa

f: D(f) ⊂ ℂ ⟶ ℂ

dominio di f

Es.:

• D(f) = ℂ
• z ⟶ z
• z ⟶ 0
• z ⟶ -z
• z ⟶ z
• z ⟶ z² ⋅ z ⋅ z
• z ⟶ Re z
• D(f) = {z ∈ ℤ ; z₁, z₂, …, z_n}
• z ⟶ z^-1 ℂ\{0}
• z ⟶ 1 / z² + 1 ℂ\{±i, -i}
• z ⟶ z / z² - 1 ℂ\{a, z₁, z₂}
• D(f) = { z ∈ ℂ : |z| < π }
• dessin
• ℂ\{z ∈ k : z = -x, x ∈ ℝ, x < 0}

bello trova l in

SERIE di POTENZE

f(x) = ^∞_n=0∑ a_n(x-x_o)ⁿ ↤ r (raggio di convergenza) ∈ [0,+∞)

n = 0

^∞_n=0∑ xⁿ = ¹/_1-x r=1

^∞_n=1∑ ^xn/_n², r=+∞

^∞_k=0∑ (-1)^{k z2k}/_(2k)! = cos z

^∞_n=0∑ ¹/2n+1)!5ⁿ

f(x) = ^∞_n=0∑ a_n(x-x_o)ⁿ ↤ r (raggio di convergenza) ∈ [0,+∞)

Si chiama serie di potenze in z una espressione della forma la cui convergenza e il valore dipende dalla variabile z ∈ C.

z_o = 0

^∞_n=0∑ a_nzⁿ = a₀ + a₁z + a₂z₂ + ... + a_nzⁿ ...

e^{√2 eπ/e eπ/2 = ∞_n=0∑ πn/_n!}

e^{iπ ∞}_n=0∑ (^(iπ)n/_n! = -1

EULERO

Funzione esponenziale

∀ z ∈ ℂ

exp(z) = ∑_n=0^{∞ zn}/_n! (raggio = +∞)

Formula di Eulero

e^iγ = cosγ + i sinγ

Interpretazione:

∀ γ ∈ ℝ

e^iγ è unitario (|e^iγ| = 1), γ è un argomento di e^iγ

In generale ∀ z, w ∈ ℂ

exp(z + w) = exp(z) exp(w)

e^z+w = ^z/_e e^w/_e

z = x + iγ

z = ^z/_e = e^{x + iγ} = e^x e^iγ = e^x [cosγ + i sinγ]

il numero complesso che ha come modulo e^x e come argomento γ

α, β ∈ ℝ

cos_(z+w) = cosz cosw - sinz sinw

sin_(z+w) = sinz cosw + cosz sinw

e^{(α + β)/_e} = e^iα/_e e^iβ/_e

cos(α + β) + i sin(α + β) = (cosα + i sinα)(cosβ + i sinβ) = cosα cosβ - i sinα sinβ + i^{(sinα cosβ + cosα sinβ)}

Dimostrazione non rigorosa

f(z) = f(x + iy)

z = x + iy → ∂z/∂x = 1, ∂z/∂y = i

∂f/∂x = ∂f/∂z • ∂z/∂x

df/dz = 1

df/dy = df/dz • dz/dy = df/dz • i

Idea di derivazione dei derivati:

Supponiamo che (CR) siano soddisfatte e supponiamo che ∂f/∂x, ∂f/∂y ∈ C^∞

f(x + iy) = f(x₀, y₀) + ∂f/∂x(z₀)(x - x₀) + ∂f/∂y(z₀)(y - y₀) + o(|x + iy - (x₀ + iy₀)|)

f(z) - f(z₀) = ∂f/∂x(z₀)(x - x₀) + ∂f/∂y(z₀)(y - y₀) + ρ(|z - z₀|)

= ∂f/∂x[z₀][(x - x₀) + i(y - y₀)] + ρ(|z - z₀|) = ∂f/∂x(z₀)(z - z₀) + o(|z - z₀|)

f(z) - f(z₀)/(z - z₀) = ∂f/∂x(z₀) + o(|z - z₀|)/(z - z₀)

z → z₀:

lim z→z₀ f(z) - f(z₀)/(z - z₀) = ∂f/∂x(z₀)

Moltiplicazione

(x, y) → (α + iβ)z = (α + iβ)(x + iy) = (αx - βy) + i(βx + αy)

x + iy

[x]

[y]

= [α - β] (x)

= [β α] [y]

|α + iβ| = √(α² + β²)

= 1

α/π = cosθ, β/π = sinθ

[α/π -β/π]

[β/π α/π]

= [cosθ -sinθ]

= [sinθ cosθ]

ortogonale

(Parametrizzazione) della poligonale:

z₀, z₂ → z₂, z₃ → z₀

è un circuito perché si può iniziale coincide con il punto finale.

t ∈ [0,2]

z(t) =

• param. di [z₂, z₁] in [0,1]
• param. di [z₂, z₁] in [1,2]

z₀ + t (z₃ - z₂) in [0,1]

z₀ + (t-1) (z₂ - z₁) in [1,2]

z ∈ C¹ (a tratti) perché in z₁ non è derivabile.

La poligonale può essere composta anche da tratti che si intersecano.

Parametrizzazione archi di circonferenza.

Γ = C₁ (0)

z(t) = cos(t) + i sin(t) = e^-it t ∈ (0, 2π)

Eulero

z(t) = e^2πit t ∈ [0,1]

z'(t) = - sin t + i cos t = i (cos t + i sin t) = i z(t) = i e^it

|z'(t)| = | i (1 - i ⁴)| = 1

|z'₁(t)| = - e^{i t}. |2 π x i x e^{i t}| ∈ - 2π

z(t) = cos t + i sin t = e^-it

t ∈ [0, π]

∫_γf(z)dz = ∫_a^bf(z(t))z'(t)dt

z'¹(t) = z ○ φ

φ: (α, β) → [a, b] crescente, lineare c¹

∫_a^bf(z(t))dt = ∫_α^βf(z̃(π))z̃'(π)dπ =

z̃_π(t) = d/dπ z(φ(π)) = z'(φ(π)) • φ'(π) per la derivazione delle fun. composte

= ∫_a^bf(z(φ(n)))z'(φ(n)) • φ'(n) dn sostituzione t = φ(n)

= ∫_α^βf(z(t))z'(t) dt

Attribuiamo all'ipotesi di continuità il fatto che

ammette una primitiva.

Teorema (fondamentale)

Supponiamo che F ammetta in D(f) una primitiva F in senso complesso (cioè F'(z) = f(z) in D(f)).

Allora ∫_Γ f dz = F(z(b)) - F(z(a)) _Σ se Γ è un circuito ∮ f = 0

^{∫ fdz} dipende solo dagli estremi della curva

F (analogo con i campi vettoriali conservativi: L(H)-M(L))

dove la primitiva di mg è x ed dice che esiste una energia potenziale. Ma però Mg non è campo a scalare

ma fe F non ordinario funzione da x in φ.

DAY 8

_19/10/17

Formula di Cauchy

, () → ℂ dom. riflesso ∈ (), ₍₀₎ ⊂ (), ∈ ₍₎

()= (1/2) ∮ (()/(−))

ℎ .

( ∫ () =0) 0; ℎ à ℎ ' 0

^().

_{()=0 =0 =1}

^{(,) = 1−2−2}

Teorema _{(olomorf=analitiche)}Supponiamo che : (₀) ⟶ ℂ sia olomorfa.Allora è analitica, cioè sviluppabile in serie di potenze:∃ ∈ ℂ() = ∑^∞₌₀ (−₀) ∀ ∈ (₀) (raggio di convergenza)=(^()(₀)/_!) = (1/2) ∫ (()/(−₀)⁺¹)