Teoria completa - metodi matematici, prof.Savarè

Name: Teoria completa - metodi matematici, prof.Savarè
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Parte di teoria frutto di una rielaborazione personale degli argomenti trattati a lezione quali:Principali funzioni di variabile complessa, nozioni elementari della corrispondente teoria; …

Esame Metodi matematici

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Savarè Giuseppe

Università Università degli Studi di Pavia

A.A. 2020-2021

181 pagine

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METODI

MATEMATICI

SAVARÉ

http://www.dimat.unipv.it/savare

METODI

MATEMATICI

SAVARÉ

http://www.dimat.unipv.it/savare

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DAY 1

03/02/17

Numeri complessi e funzioni di variabile complessa

esponenziale in ℂ
serie e trasformate di Fourier
serie di potenze
trasformata Zeta
derivato integrale
trasformata di Laplace

Numeri complessi:

ℂ insieme dei numeri complessi

z = x + iy

|z| = √(x² + y²)

argomento di z

arg(z) ∈ [-π, π]

z = ℂ(cos θ + i sin θ) — rapp. polare

x = e cos θ
y = e sin θ

cos θ = x/e₂

sin θ = y/e₂

θ = Arg(z) + 2π ⋅ K

K ∈ ℤ = {0, ±1, ±2, ...}

z = x (y = Im z = 0)

z = iy (x = Re z = 0)

unitari: |z| = e = 1

z = R (cos θ + i sin θ)

R > 0

ℝ ⊂ ℂ

y_o fissato

z = x + i y_o → retta orizzontale

x_o fissato

z = x_o + i y, y ∈ ℝ → retta verticale

z₁ = x₁ + i y₁

z₂ = x₂ + i y₂

z = z₁ + z₂ = x₁ + x₂ + i(y₁ + y₂)

i² = -1

(x₁ + i y₁) (x₂ + i y₂) = x₁ x₂ + i x₁ y₂ + i x₂ y₁ + (i²) y₁ y₂ = = (x₁ x₂ - y₁ y₂) + i (x₁ y₂ + x₂ y₁)

z̅ · z = x → se z ≠ 0

z^-1 = \[\frac{x - i y}{x² + y²}\]

z · z^-1 = 1

z₁ = C₁ (cosθ₁ + i sinθ₁)

z₂ = C₂ (cosθ₂ + i sinθ₂)

z = z₁ z₂ = C₁ C₂ [ cosθ₁ cosθ₂ - sinθ₁ sinθ₂ + i (sinθ₁ cosθ₂ + cosθ₁ sinθ₂) ] = = C₁ C₂ [ cos(θ₁ + θ₂) + i sin(θ₁ + θ₂) ]

Nel prodotto: moduli si moltiplicano, argomenti si sommano

z₁ ∈ ℂ , z₂ = R reale

z₁ → R · z₁

C₂ = R · C₁

θ₂ → θ₁

R reale negativo (R = -1)

z₂ = c₁ (cosθ₁ + isinθ₁)

z₂ = 1 (cosθ₂ + isinθ₂)

c₁ → c₁

θ₁ → θ₁ + θ₂

G_i: z_i = i θ_i π/2

La moltiplicazione tra due numeri complessi è dunque una roto-traslazione.

z^-1 = (x - iy) / (x² + y²)

x - iy = z

|z̅| = |z|

Arg (z̅) = -Arg (z)

z̅ = x - iy / x² + y²

|z|² / |z|² = 1 / |z|

(z^-1) = 1 / |z|

Arg (z^-1) = Arg (1 / z)^-1 = Arg (z̅) = -Arg (z) = -θ

z → z^-1

Non riusciamo a visualizzare le funzioni a variabile complessa perché annullerebbero 4 dimensioni (2 volori in entrata e 2 in uscita).

nella circonferenza

ombra tra due numeri

nascuri come in

z → z^-1

r^-1

Il più piccolo va nella circonferenza più grande e viceversa.

|z·z₁| = |z|·|z₁|

|z^-1| |z₁| = |z^-1|·|z| = 1

z^-z = _z/^|z|²

[z] = |z|

Arg(z̅) = -Arg(z)

Obiettivo iniziale: studiare alcune proprietà delle funzioni di variabile complessa

f: D(f) ⊂ ℂ → ℂ

_{dominio di f}

z ↦ z²; ℂ\{0} → ℂ

Es.

D(f) = ℂ

z ↦ z

z ↦ 0

z ↦ -z

z ↦ z̅

z ↦ z · z̅ · z

z ↦ Re z

D(f) = ℂ\{z₁, z₂,..., zₙ}

z ↦ z^-1 ℂ\{0}

z ↦ ₁/^z⁺1 ℂ\{+, -, i, -i}

z ↦ _z/^z²-6 ℂ\{z₁, z₂, z₃}

D(f) = {z ∈ ℂ: |z| < π}

_Immagen {z ∈ ℂ: R ≥ _u/^g}^{n R}

ℂ\{z ∈ ℝ: z = -x, x ∈ ℝ, x &l

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