Riassunto Teoria di Algebra Lineare e Geomentria Analitica

Algebra Lineare e Geometria Analitica: Tecnica e Dimostrazioni

• Struttura Algebrica: insieme dotato di una operazione (A, x)
• Proprietà delle strutture algebriche:
• P. Associativa: ∀ a, b, c ∈ A (a•b)•c = a•(b•c)
• Esistenza E. Neutro: ∃ e ∈ A | ∀ a ∈ A a•e = e•a = a
• Esistenza E. Inverso: ∀ a ∈ A, ∃ a⁻¹ ∈ A | a•a⁻¹ = e
• Gruppo: struttura algebrica in cui valgono le 3 proprietà sopraindicate
• Gruppo Commutativo o Abeliano: ulteriore condizione è la della proprietà commutativa rispetto all'operazione x
• Campo: insieme dotato di due operazioni (A, +, x) in cui:
• (A, +) è un gruppo commutativo
• (A\{0}, x) è un gruppo commutativo
• Valgono le proprietà distributiva: a•(b+c) = a•b + a•c
• Spazio Vettoriale: struttura algebrica composta da due operazioni che gode delle seguenti proprietà:
• (V, +) è un gruppo commutativo
• Vale la proprietà distributiva per la somma di vettori
• ∀ a ∈ R ∀ u, v ∈ V: a•(u+v) = a•u + a•v
• Vale la proprietà distributiva per la somma di scalari
• ∀ a, b ∈ R, ∀ v ∈ V: (a+b)•v = a•v + b•v
• ∀ a, b ∈ R ∀ u ∈ V: (a•b)•u = a•(b•u)
• ∀ v ∈ V: 1•v = v
• ∃ e ∈ V | ∀ v ∈ V: v + e = v: esiste e, il vettore nullo
• Proposizione: in ogni spazio vettoriale V ∀ v ∈ V, 0•v = 0
• Combinazione Lineare: sia V uno spazio vettoriale, siano v₁, v₂, v₃, ..., vₙ ∈ V. Si dice combinazione lineare di v₁, v₂, v₃, ..., vₙ l'espressione del tipo: a₁v₁ + a₂v₂ + ... + aₙvₙ con a₁, a₂, ..., aₙ ∈ R
• Insieme di Generazione:
• Un insieme G⊆V si dice sistema di generazione per V se ogni v ∈ V si può descrivere come combinazione lineare degli elementi di G
• Cioè: comunque scelto v∈V, esistono a₁, a₂, ..., aₙ ∈ R tali che v = a₁v₁ + a₂v₂ + ... + aₙvₙ con v₁, v₂, ..., vₙ ∈ G
• Un insieme di generatori si dice "d'itterale" se i vettori di G sono linearmente indipendenti
• Indipendenza Lineare:
• Dei vettori v₁, v₂, v₃, ..., vₙ in uno spazio vettoriale V si dicono linearmente indipendenti se l'unica combinazione che dà il vettore nullo è quella con i coefficienti tutti nulli
• a₁v₁ + a₂v₂ + ... + aₙvₙ = 0 v allora i vettori v₁, v₂, ..., vₙ sono linearmente indipendenti
• Proposizione: siano v₁, v₂, ..., vₙ ∈ V, s ≥ 2 allora ∃ 2, 3 almeno.
• - v₁, v₂, ..., vₙ sono linearmente indipendenti
• - Nessun tra v₁, ..., vₙ è combinazione lineare di rimanenti
• Dimostrazione:
• a) Supponiamo che v₁, v₂, ..., vₙ siano linearmente indipendenti: allora per definizione l'unica combinazione che dà il vettore nullo è quella con coefficienti nulli
• Infatti, se così non fosse, esisterebbero a₂v₂ + a₃v₃ + ... + aₙvₙ = 0

Dimostrazione

Sia A' la matrice ottenuta da A tramite l'eliminazione di Gauss. Se consideriamo i suoi vettori colonna, essi ci dicono che essi generano lo stesso sottospazio in R^n. Questo poiché l'el. di Gauss consiste in

• Somma di un m.d.c. ad un'altra (la quale non cambia quindi l'insieme generato da A)
• Pergne che i d di A' sono indipendenti? Tante quante sono i pivot.

A' = (P1 P2 ... Pm)

Trascurando eventualmente le colonne nulli si ottengono che le M righe non nulle sono indipendenti

Siano A1, ..., Ar le righe non nulle e sia:

• a1A1 + a2A2 + ... + arAr = (0, ..., 0)
• (combinazione lineare nulla)
• In tale combinazione dovranno avere ai = 0 perché nella posizione di pi (in A') esso è l'unico elemento non nullo, la combinazione allora diviene:
• a1A1 + ... apAr = (0, ..., 0)
• Pertanto il ragionamento riguarda a dire che tutti i coefficienti devono obbligatoriamente essere nulli.
• Quiindi A1, ..., Ar sono linearmente indipendenti.

Cap 5: Applicazioni Lineari

• Applicazione Lineare

Sia V e W due spazi vettoriali e f : V = W una funzione. Essa si dice applicazione lineare se verifica le seguenti proprietà:

• ∀u, v ∈ V f(u + v) = f(u) + f(v)
• ∀v ∈ V ∀λ £R f(λv) = λf(v)
• Endomorfismo: Applicazione lineare da uno spazio a se stesso.
• Osservazione: Le applicazioni lineari portano sempre l'elemento nullo dello spazio di partenza nell'elemento nullo dello spazio di arrivo f(0v) = 0w

Nucleo, Immagine, Iniettività e Suriettività

Def: Data un'applicazione lineare f : V = W consideriamo i due insiemi associati ad essa:

• Immagine di f: Imf = {w ∈ W | ∃v ∈ V, f(v) = w}
• Nucleo di f: Kerf = {v ∈ V | f(v) = 0w}
• Iniettività: Imf e Kerf sono sottospazi di W e V rispettivamente.
• ∅ Nucleo di f (Kerf)

Banamente 0V ∈ Kerf

• Inoltre, ∀a, b ∈ Kerf e ∀λ, μ ∈ R, si ha:
• f(αa + βb) = ∅, αf(a) + βf(b) = 0w + 0w = 0w
• Kerf è chiuso rispetto alle operazioni di somma e prodotto
• Immagine di f (Imf): ∅f(a) = b =́a' = f(a') + f(a")
• Quindi b = f(a') + f(a") è univocamente espresso in termini di a' + a".
• Inoltre, banalmente ∅b ∈ Imf

=≫ Considerando che Imf è sottospazio di W.

• Proprietà del determinante

  1. Se A ha due righe (o colonne) uguali oppure una riga nulla, allora detA = 0.
  2. Il determinante è lineare rispetto alla somma di righe.
  3. Il determinante è lineare rispetto al prodotto di una riga per uno scalare.
  4. Se P è l'elemento, scambiando di posto due righe di A, allora: detA' = -detA.
  5. detA = detA^T.
  6. Per matrici triangolari superiori, detA = a₁₁a₂₂...a_nn.
  7. Teorema di Binet: ∀A,B∈R^n×n, det(A·B) = det(A)·det(B).
Dimostrazioni:
1. Si basta sviluppare tramite Laplace il determinante di una matrice 2×2 e procedere per induzione.
2. Si basta sviluppare il determinante rispetto alla riga in questione: detA = (b₁ + c₁)A₁ + (b₂ + c₂)A₂ + ... + (b_n + c_n)A_n. = b₁A₁ + ... + b_nA_n + c₁A₁ + ... + c_nA_n = detA + detA'. C.V.D.
3. Come nel caso precedente, sviluppando il det. rispetto alla riga in questione: A₁(det(A_ij))A_n = 0, C.V.D.
4. La dimostrazione è fatta per induzione. Per n = 2 sia A = ^{(a b)}_{(c d)}, A' = ^{(c a)}_{(c d)}, sviluppiamo il determinante. detA = ad - cb. detA' = cb - cd ⟶ detA = -detA'.
   1. Procediamo per induzione per n = 3 Dispose i complementi algebrici sapendo orientamenti da R Ikon con righe scambiate: A_ij' = - A_ij ∀ i ∈ {1,...,n} Da cui si poi verificare che : detA = -detA'. C.V.D.

1. La dimostrazione è immediata per n=1,2, per n=3 procediamo per induzione. Sviluppo secondo una prima colonna: detA = a₁₁a₂₂+ a₁₁a_nn + 0A_nn. C.V.D. = - det A (-1)ⁿdetA₁₁A^{[a_12n- a_21n]}. C.V.D.

2. Determinante di una matrice dopo eliminazione di Gauss

   Sia A'∈R^m×n ottenuta da A tramite eliminazione di Gauss, allora: detA' ≠ 0 detA

• Proposizione. Proprieta' fondamentale del determinante

  Sia A∈R^n×n allora si ha che: detA = 0 ⟺ r(A) < n

• Dimostrazione:

  Sia A' = (a_ij) la matrice ottenuta da A tramite eliminazione di Gauss; allora r(A)< n se e solo se r(A') < n che avviene se e solo se det A'∈... a_1n = 0 (poiché r(A') < n se ha almeno una riga nulla e la riga si porta fino al nodo i + 1) quindi scivolando risultando che detA' ≠ 0 di scema.