Riassunto Teoria di Algebra Lineare e Geomentria Analitica

Algebra lineare e geometria analitica: teoria e dimostrazioni

Struttura algebrica

Insieme dotato di un'operazione (A, *)

Proprietà delle strutture algebriche:

• P. associativa: ∀ a, b, c ∈ A, (a * b) * c = a * (b * c)
• Esistenza e. neutro: ∃ e ∈ A ∀ a ∈ A a * e = a
• Esistenza inverso: ∀ a ∈ A ∃ a^-1 ∈ A a * a^-1 = e

Gruppo: Struttura algebrica in cui valgono le 3 proprietà sopraindicate.

Gruppo commutativo: Gruppo in cui vale anche la proprietà commutativa rispetto agli elementi all'operazione *.

Campo

Insieme dotato di due operazioni (A, ₊, _∘):

• (A, ₊) ≠ e₊ è un gruppo commutativo
• (A, _∘) ≠ e_∘ è un gruppo commutativo
• Proprietà distributiva: a(b + c) = a∘b + a∘c

Spazio vettoriale

Struttura algebrica composta da due operazioni che gode delle seguenti proprietà:

1. (V, ₊) è un gruppo commutativo
2. Vale la proprietà distributiva per la somma di vettori: ∀ a ∈ R ∀X, Y ∈ V: a(X + Y) = aX + aY
3. Vale la proprietà distributiva per somma di scalari: ∀ a, b ∈ R ∀X ∈ V: (a + b)X = aX + bX
4. ∀ a, b ∈ R ∀X ∈ V: (a∘b)X = a(bX)
5. ∀X ∈ V e e₀ X = X 1X = X (e₀ è l'elemento neutro)

Proposizione: In ogni spazio vettoriale: ∀ V ≠ ∅ ∀α ∈ R: 0_v = 0 V

Combinazione lineare

Sia V uno spazio vettoriale, siano α₁, α₂, α₃,..., α_n ∈ V. Si dice combinazione lineare di α₁, α₂, α₃,..., α_n ∈ V una espressione del tipo:

a₁α₁ + a₂α₂ + ... + a_nα_n con a₁, a₂,...,a_n ∈ R

Insieme di generazione

Un insieme Σ ⊆ V si dice sistema di generazione per V se ogni V ∈ V si può esprimere come combinazione lineare degli elementi di Σ.

• Cioè comunque scelto V ∈ V, α₁, α₂, α₃,...,c ∈ Σ tali che: a₁α₁ + a₂α₂ + ... + a_nα_n = V
• Un insieme di generazioni si dice “di minimo” se i vettori di Σ sono “linearmente indipendenti”.

Indipendenza lineare

Dei vettori v₁, v₂, v₃,... v_n in uno spazio vettoriale V si dicono linearmente indipendenti se un'unica loro combinazione che dia un vettore nullo è quella con tutti i coefficienti tutti nulli.

a₁α₁ + a₂α₂ + ... + a_nα_n = 0_v allora i vettori dipendenti

Proposizione

Siano v₁, v₂, v₃,..., ∈ V, 3 ≥ 2 allora F, s.p.d.:

• v₁, v₂,...,v_n sono linearmente indipendenti
• Nessuno tra v₁, v₂,...,v_n è combinazione lineare dei rimanenti.

Dimostrazione

1. Supponiamo che v₁, v₂,...v_n siano linearmente dipendenti, allora ∃ almeno un V ∈ R essere combinazione lineare di v₁, v₂,...v_n infatti, se così non fosse, esisterebbe.

a₁α₁ + a₂α₂ + ... + a_nα_n = 0

Algebra lineare e geometria analitica

Struttura algebrica

Struttura algebrica: Insieme dotato di un'operazione (A, x)

Proprietà delle strutture algebriche:

• P. associativa: ∀ a, b, c ∈ A → (a x b) x c = a x (b x c)
• Esistenza e. neutro: ∃ e ∈ A → a x e = a
• Esistenza inverso: ∀ a ∃ a^-1 ∈ A → a x a^-1 = e

Gruppo: Struttura algebrica in cui valgono solo le 3 proprietà sopra indicate.

Gruppo commutativo: Si dice che c’è la proprietà commutativa rispetto all’operazione x.

Anello

Insieme dotato di due operazioni (A, x, o) in cui:

• (A, x, o) e⁰ è un gruppo commutativo
• (A, o) e⁰ è un gruppo commutativo
• Distributiva: ∀ a, b, c ∈ A → a x (b o c) = a x b o a x c

Spazio vettoriale

Struttura algebrica composta da due operazioni che gode delle seguenti proprietà:

1. (V, +) e⁰ è un gruppo commutativo
2. Vale la proprietà distributiva per la somma dei vettori ∀ a ∈ R e ∀ u, v ∈ V: a x (u + v) = a x u + a x v
3. Vale la proprietà distributiva per la somma di scalari a, b ∈ R, ∀ v ∈ V: a x b x v = (a x b) x v
4. (a o b) x v, a, b ∈ R: [c x (b x v)] o [(c x a) x v] = c x (b x v) + (a x v)
5. ∀ v ∈ V: 0 x v = 0⁰ (0⁰ è elemento neutro)