Riassunto Algebra Lineare e Geometria Analitica

Usomma v ea e ununinaventestesso diagonalenello dellapunto lunghezza deldirezioneparallelogramma ey uscenteparallelogramma lati dalaverti dipuntoli ii. e versoper eapplicazione>✓ Jefev' ottienereale+ vettorevettore/ cardotip/ Èzione dnumeroperun un sio un,> moltiplicataavente direzione assolutodila valorelunghezza ilU dirt &per, del didiscorde dida quello ÙConcorde seconda verso dverso o ae\ ,70Pa eta 72Commutativa ' ' ''X ×I.' + iy+ y ' E4✗ ×-×y ✗y y:y = ,,, ,, , ÈAssociativa V.' "-1 "Zii X2. " iy' "Y Y× + y E+'y ×✗× ✗+y: ={ , , . .,, ,(neutro ) 72el )3 X0,0-1 0,0 +- -×× y yy: E== . .. .,,. ,U opposto (dell' 10,0X +t_ ×i. y× yy y×: - -- - = =,,, , 7IX. i' ''-1 Y 'Y/ +× ✗y5 ×y E-=/ ,, ... -\ ?I6 ix. E×-1 + × -µ yyyµ =. . _., ,ii. In In Il7

×X.ly C-y -= ... ., 1728 EXI × _y y= .. . ., ,definizione Si didice nvr.to rispettivamentereale dettedueSpazio >S A A7IO I insieme operazioniun- ==prodotto scalaattoriale somma :e per ≥ 2x•i • :× tuV V tVi-v v, ,che lesoddisfino proprietàseguenti :Commutativa V-iv-v-u-v.VE:- Associativa )2. -1 Vvtv --1W WEU-1W: v.v= ,neutroel3 ◦ tu- --10 UE: U= v=.. opposto4 dell' a-iu-U-a.si_ -: UE. anchetre/ valgonono :,5 tu U=. 76 in i.V Nu - UE - NEi=. viviI R/tu le7 tv-1 E✓- -v.=. Rtuetu8 ✗ le-1µVU -N+ N= ,. retori elementi vettorialedi- spazio: unoScalari realinumeri:. neutroelemento'nullo allavettore rispetto- somma: inLa vettorialeSia :posizione uno spazio indicatoIl nullovettore Q'i verràunico ee conoppostodi il indicavettore) SeIi suo ' Vunico siun e cone'v e -ha /le RIii =D -,Iv KEOu Ov=Se 1=0tu =Dv uso, )I I tuvi v u- = = -- {definizione Si chiama costituitovettoriale } nullodalbanale vettoriale

vettoresoloaspazio spaziouno, .Uno vettoriale vuotorealeOsservazione 'spazio esserenon puo maidefinizione delloSia Irenavettorialesottoinsieme che di S 7 ASPAT =/ II'spazio unun e - =.seguentisoddisfa proprietàlese :vuoto 'dall'W1 diverso Ov1 Einsieme ;2) chehachiuso rispetto alla ✓ viveteW ' v.VEe -somma si ;,3) rispetto chescalarichiuso haprodottoal 7 iv.le' si-e per -UE,vettorialeOsservazione stessaOgni due sottospazi banalepossiede almeno quellosempre espazio :UnoOsservazione vettoriale puònon curvospazio essere{ Siano sottospazidue di sottospaziovettoriale di'Vposizione◦ espazio ununoa. ,, ,≤≤ 2• i2inostz ditpi> sottospazio'V≤≤ Eseazione e unnon2 a22, i, , ,≤• €- V fosseSe sottospazioV2, 2,, +✓ v2V.=i ,≤ EV2i - iz2 , WV2se C-VVE V WVse VE V2= V E-, =, -, 2 , ,peròperò dunqueUV E EE VV2 2 2 2i, , ,70 " intersezione sottospaziodi due vettorialeS sottospazi di5 5

sanposizione 'spazio uneunoe,, ,vettoriale diJinostz sottospazio diS.RS 'pazione une: ,' vuota perche 5. nsn Ov' '- Eenon ,rispetto allaChiuso KEScheSiano sottospazio dunque5 52 di5.n• EV2 V.V. ' +V2somma E V. une ,,, , , ,diche dunquesottospazio 5252 ' -14VV. V2 Ee unC-, ,, ,S nszV. EV21- , prodottoalrispettoChiuso sottospazio quindiSiano VES IVESRle /VES chens' 'e un, ,,, ,• sottospazioresa quindi IVESche ' une ,,,IVES il SinSa 52c-.Combinazio lineari e lineare indipendenzaOsservazione { } contienevettoriale infiniti vettorevettori almenocontieneOgni Sespazio o un v= tuttiimmediatamente conteneredeve iy 2,20 multipli Rdue. le-Suoi{ } ,EIR✗✗ ai. ioi.= . ✗-23 f. a- -,finzione Vettorevettoriale 7vettori di InkSiano in i.i.Y C-Vn 1-spazio Ve -1uno =- - -, - , - - ,- -, -., ,di scalaridice A3 d.A ≥ inC V. Nnsi =- con== - -- --, - , .,> efirizione generatosottospazio{Sia }vettoriale daiIldi vettori diunspazio e v.

insiemeununo ._ _ ., ,vettori tuttel' di linearile loro combinazioni èVn :insiemev. - ,- -, }{ ?d. inInni. +-1V C-unv. = --- -, -,- - -- ,, ,)e }finzione {vettoriale vettori chedi di Si diceSiano uno generanospazio v..vn Nnv.e insiemeun - -. -- ,- .,{ generatoriche } di di' Uninv. e insieme seo un v.= ,, - - - . _ ,_,70 }vettoriale di{ di vettoriSiano uno spazio v.posizione .vn une insieme- .- -,Abbiamo sottospazioche divettoriale'v. .vn e un- .--, contenenteSe vettorialesottospazio di' c piùinNn- Nnv. viV.e un --, -- -- ,- -- -,contenentesottospazio vettorialepiccolo di v. Nn, .-- -Dimostrazione nota infattiSi che OvOE -1 Ovn =D+.vnv. - - _- _ _ ., .,scalariSiano gli 13 Bn ✓- +V. +-1 -1 B.anniAn =p×okV. d.WE• W V VnV=- - _- ,,- _,, - _--- , - ,, _, __, ./ dntfn E-1✓ -113+ V -1 Vn&W vi Vn= _ -, _ -- ,, _ ,.Se divettorialesottospazio7 -1KE KanKX + EKV NnV.Vn V. UnV= /--_ , -, -, _ -, -_, RliSiano d. Inlinein' -1C- V. Vn✓ 1-V= /,

- ---,-- - -, -, contenenteSia vettoriale ohdisottospazio Ink- V.V. .vn- -- ,- --, ,-,3. che rispetto allachiuso Ink ≤' i.. Un1- V- somma + Vie - > v. -=-- /, ---- ,Osservazione / generatorididescrivere vettoriale superfluivettorialcuniusandoe sonouno spazio insiemeun , .70 linearevettoriale vettori loroSiano di combinazioneposizione spazio V. e WVnuno una,, -, . ,_d. ✗' -1 UnV. VnWcioe + V.: V nvn W== , /_ -- ---__ - ,,, ,Dimostrazione { }c ≤Un v.V. okV: V.WE V.okp NnWNn W- = -,- -- ---., -, ,-. -- ,-- ,-, . combinazione lineare di V. NnWEUn V. Va WV VnV W=/ - - ,. - , --- - ---- -, ,,, ,, .,)e finzione vettoriSia vettoriale dicono >A ≥ ) DE 1V. siVnspaziouno E per= == = se,. -- - ,lineare abbiamod.combinazione d. InInk =D-1ogni +V =D==_ --__, - tuttidei uguale nulloalvettori quellal' lineare scalari nullipratica vettorecombinazione </p>