Riassunto teoremi fondamentali Algebra lineare e geometria analitica

Lemma di Steinitz

Sia V(K) uno spazio vettoriale nitamente generato. G={v1,…,vn} è un insieme di generatori di V(K), L={u1,…,um} è un insieme libero di vettori di V(K) con m < n. In uno spazio vettoriale nitamente generato, la cardinalità di un insieme libero non può mai superare quella di un insieme di generatori di V(K).

Teorema di caratterizzazione delle basi

Una sequenza B=(v1,…,vn) di vettori di V(K) è una base se e solo se ogni vettore di V(K) si può esprimere in modo unico come combinazione lineare dei vettori di B.

Teorema di completamento di una base

Sia Vn(K) uno spazio vettoriale di dimensione n. Sia A=(v1,…,vp) una sequenza libera di Vn(K) con p < n. Allora è possibile completare A in modo da ottenere una base di Vn(K), aggiungendo ad A n-p vettori opportunamente scelti in una qualsiasi base di Vn(K).

Formula di Grassman

dim(U+W) = dim(U) + dim(W) - dim(U ∩ W)

Teorema di Kronecker

Gli spazi vettoriali L(c) e L(r) di una matrice A hanno la stessa dimensione e tale dimensione coincide con il rango.

Teorema degli orlati

Una matrice A ∈ K(K) ha rango "p" se e solo se esiste un minore M di A di ordine "p" non singolare e tutti i minori di ordine p+1 (orlati) sono singolari.

Teorema di Rouche-Capelli

Un sistema lineare AX=B di m equazioni in n incognite è compatibile se e solo se rango(A) = rango(A/B).

Teorema di Cramer

Un sistema lineare AX=B di n equazioni in n incognite (A= nxn), con det(A)≠0, ammette una e una sola soluzione.

Primo teorema di Laplace

Data una matrice quadrata di ordine n, la somma dei prodotti degli elementi di una singola riga (o colonna), per i rispettivi complementi algebrici, è il determinante di A.

Processo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt

Il processo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt è una procedura per ottenere una base ortogonale da un insieme di vettori linearmente indipendenti in uno spazio vettoriale.