Riassunto teoremi fondamentali Algebra lineare e geometria analitica

LEMMA DI STEINITZ

Sia V(K) uno spazio vettoriale nitamente generato.

G={v1,…,vn} un insieme di generatori di V(K)

L={u1,…,um} un insieme liberi di vettori di V(K)m < n( in uno spazio vettoriale nitamente generato la cardinalità di un insieme libero non può mai superarequella di un insieme di generatori di V(K) )

TEOREMA DI CARATTERIZZAZIONE DELLE BASI

Una sequenza B=(v1,…,vn) di vettori di V(K) è unabase se e solo se ogni vettore di V(K) si può esprimere in modo unico come combinazione lineare deivettori di B

TEOREMA DI COMPLETAMENTO DI UNA BASE

Sia Vn(K) uno spazio vettoriale di dimensione n

Sia A=(v1,…,vp) una sequenza libera di Vn(K) libera = P < n

Allora è possibile completare A in modo da ottenere una base di Vn(K), aggiungendo ad A n-p vettoriopportunamente scelti in una qualsiasi base di Vn(K)

FORMULA DI GRASSMAN

dim(U+W) = dim(U) + dim(W) - dim(U W)

TEOREMA DI KRONECHER

Gli spazi vettoriali L(c) e...

L(r) di una matrice A hanno la stessa dimensione etale dimensione coincide con il rango.

TEOREMA DEGLI ORLATI: una matrice A K (K) ha rango “p” se e solo se esiste un minore M di A diordine “p” non singolare e tutti i minori di ordine p+1 (orlati) sono singolari

TEOREMA DI ROUCHE-CAPELLI: un sistema lineare AX=B di m equazioni in n incognite è compatibilese e solo se rango(A) = rango(A/B)

TEOREMA DI CRAMER: un sistema lineare AX=B di n equazioni in n incognite (A= nxn), con det(A)=0ammette una e una sola soluzione

PRIMO TEOREMA LAPLACE: data una matrice quadrata di ordine n, la somma dei prodotti deglielementi di una sia riga (o colonna), per i rispettivi complementi algebrici, è il d3terminante di A

PROCESSO DI ORTOGONALIZZAZIONE DI GRAM-SCHMIDT: