Analisi II - Riassunto completo

LIMITI PER FUNZIONI IN PIÙ VARIABILI

: ⊆ ℝ → ℝ

̅̅̅ ̅̅̅.

Sia definita almeno in un intorno sferico di escluso al più Si dice che:

0 0

) |̅ |(̅ )

lim (̅ = ∈ ℝ ∀ > 0 ∃ > 0: ∀̅ , −

̅̅̅| < ⇒ − | <

a) se 0

̅

̅̅

̅

̅ →

0

Dato che parliamo di funzioni in più variabili e di dintorni sferici, la funzione può tendere al punto in

qualsiasi direzione.

) |̅ ) )

lim (̅ = ±∞ ∀ > 0 ∃ > 0: ∀̅ , − ̅̅̅|

< ⇒ (̅ > ∨ (̅ < −

b) se 0

̅

̅̅

̅

̅ →

0 )

: ⊆ ℝ → ℝ lim (̅ =

Def. Sia con illimitato. Si dice che se

|̅ |→∞

|̅ | |(̅ )

∀ > 0 ∃ > 0: ∀̅ ∈ , > ⇒ − | <

)

lim (̅ = ±∞

Def. se

|̅ |→±∞ |̅ | ) )

∀ > 0 ∃ > 0: ∀̅ ∈ , > ⇒ (̅ > ∨ (̅ < −

Calcolo dei limiti e forme di indecisione

Se si vuole dimostrare che il limite non esiste è sufficiente trovare due curve lungo cui il limite è diverso, o

trovare una curva lungo cui il limite non esiste.

lim = (, ).

Es. Si dimostri che non esiste il limite 2 2

+

(,)→(0,0)

Per dimostrarlo consideriamo la restrizione all’asse delle ascisse per la funzione: = 0

(. 0) = 0 ∀

Ora consideriamo la restrizione all’asse delle ordinate: = 0

(0, ) = 0 ∀

quindi se il limite esiste deve essere 0. 2

1 1

(, ) = = ∀

Consideriamo la restrizione: : il limite vale quindi il limite della funzione

2 2

+ 2 2

iniziale non esiste.

Se invece si vuole dimostrare l’esistenza del limite è necessario dimostrare che esso esiste indipendentemente

̅ →

̅̅̅.

dal modo in cui In alcuni semplici casi si può utilizzare la definizione di limite, nei casi più complessi è

0

comodo utilizzare la trasformazione in coordinate polari.

2

lim =0

Es. 2 2

√ +

(,)→(0,0) 2 2 2

+ 2 2

√

0≤ ≤ = +

2 2 2 2

√ + √ + 2 2

|(, √

∀ > 0, ) − 0| < se + < (, (,

) ) →

Nei casi più complessi si ricorre alle coordinate polari poiché

( )

, ⇔ → 0.

0 0 ( ).

= ,

Si parla di coordinate polari di centro 0 0

La conversione da coordinate cartesiane a coordinate polari si effettua così:

2 2

√

= +

cos =

= cos

{ ∧ 2 2

√ +

= sin

sin = 2 2

√ +

{ )

: ⊆ ℝ → ℝ ̅̅̅

∈ ̅̅̅

lim (̅ = (

̅̅̅).

Def. Dati e la funzione si dice coninua in se

0 0 0

̅

̅̅

̅

̅ →

0

Una funzione continua in una variabile è continua anche in più variabili e valgono gli stessi teoremi.

TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE IN PIÙ VARIABILI

Teorema di Weiestrass

0 ()

: ⊆ ℝ → ℝ ∈ .

Se con chiuso e limitato ed allora ammette minimo e massimo assoluti in

Teorema degli zeri

0

(), (̅)(̅ ) )

: ⊆ ℝ → ℝ ∈ ̅ , ̅ ∈ ℝ : < 0 ∃̅ ∈ : (̅ = 0.

Se con connesso ed allora

2 2

(, ) = − .

Es Studiare il segno di Considero gli zeri: 2 2

)

(, ) = 0 ⇒ ( − = 0 ⇒ = 0 ∨ =

I due zeri della funzione corrispondono a due funzioni in

una variabile. Esse individuano quattro regioni disgiunte.

Il teorema degli zeri dice che per ogni regione di queste, il

segno al suo interno è costante. Basterà quindi calcolare il

segno della funzione in un punto per conoscere il suo

segno in tutta la regione che contiene il punto considerato.

(2,1)

Per esempio, se considerassi il punto :

(2,1) = 1 − 4 = −3 < 0

Il segno della funzione in R1 è negativo.

DERIVATE DIREZIONALI

Il metodo che si utilizza per derivare equazioni in più variabili è quello delle derivate parziali, che consiste nel

derivare una variabile alla volta, ponendo l’altra come costante.

(, )

Def. La derivata parziale rispetto alla variabile di una funzione esiste se esiste ed è finito il limite:

) )

( + ℎ, − ( ,

0 0 0 0

) ) ( ) )

( , = ( , = , = ( , = lim con ℎ ∈ ℝ

0 0 0 0 0 0 0 0

ℎ

ℎ→0

La derivata parziale rispetto alla variabile della stessa funzione: )

( , + ) − ( ,

0 0 0 0

) ) ( ) )

( , = ( , = , = ( , = lim con ∈ ℝ

0 0 0 0 0 0 0 0

→0

2

−2

(, ) =

Es 2

= ℝ 2 2

−2 −2

(, (,

) = 2 ; ) = −2

(0,0) (0,0)

= 0; = −2

(, ) = √

Es. 2

{(,

= ) ∈ ℝ : ≥ 0}

(, (,

) = ; ) = √

2√ = 0, .

La derivata parziale rispetto alla variabile non è definita in cioè sulla frontiera di

(, (0,0)

) =

È necessario verificare il comportamento della funzione agli estremi del dominio: se la

derivata parziale rispetto ad non è definibile in modo intuitivo e bisogna utilizzare la definizione:

(ℎ, 0) − (0,0) 0

lim = lim = 0

ℎ ℎ

ℎ→0 ℎ→0

( )

: ⊆ ℝ → ℝ , ∈

Def. Una funzione si dice derivabile in se esistono le derivate parziali di in

0 0

( ).

,

0 0

Def. Il vettore che ha per componenti le derivate parziali di si chiama vettore gradiente:

̅( ) ( )̅ ( )̅ ( ), ( ))

∇ , = , + , = ( , ,

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Il concetto di derivata parziale si può estendere a funzioni di variabili.

( )

: ⊆ ℝ → ℝ ̅ = , , … ,

con aperto: 1 2

) ) )

( , , … , + ℎ, … , − ( , , … , , … , (̅ + ℎ

̅) − (̅

1 2 1 2

= lim = lim

ℎ ℎ

ℎ→0 ℎ→0

̅( ( ( (

∇ ̅̅̅) = ( ̅̅̅), ̅̅̅), … , ̅̅̅))

0 0 0 0

1 2

L’ipotesi che l’insieme debba essere considerato aperto trova giustificazione nel fatto che, quando si calcola

,

la derivata di una funzione in un suo punto, anche il punto incrementato deve appartenere ad quindi il punto

deve essere interno. Dato che il punto è qualsiasi, non può essere un insieme chiuso.

2

ℝ derivabile ⇏ continua.

Osserviamo che in , Per esempio:

(, (0,0)

se ) ≠

2 2

+

(, ) = { (, (0,0)

0 se ) =

2

=ℝ (ℎ, 0) − (0,0)

(0,0)

= lim =0

ℎ

ℎ→0 (0,0)

{ ⇒ è derivabile in

(0, ℎ) − (0,0)

(0,0)

= lim =0

ℎ

ℎ→0

(0,0)

lim = ∄ quindi la funzione non è continua in

2 2

+

(,)→(0,0)

Differenziabilità

Ricordiamo che una funzione in una variabile è differenziabile in un punto se è derivabile in e in un

0 0

′

) ( )ℎ

( + ℎ) = ( + + (ℎ) ℎ → 0

intorno di si può scrivere: per cioè è approssimabile da una

0 0 0 0 ′

) ( )( )

= ( + −

funzione di tipo polinomiale. Nel punto la retta tangente ha equazione

0 0 0 0

() =

Es. ′

()

= 0 0

= 0: = + + () = 1 + + ()

in un intorno di

= 1: = + ( − 1) + ( − 1)

in un intorno di

2 ( ) ( )

: ⊆ ℝ → ℝ , ∈ : ,

Def. con aperto e si dice differenziabile in se:

0 0 0 0

( )

,

1. è derivabile in 0 0 2 2

) ( )ℎ ( ) (ℎ, (0,0)

( + ℎ, + ) = ( , + , + , + (√ℎ + ) ) →

2. per

0 0 0 0 0 0 0 0

Per verificare che una funzione derivabile è differenziabile è necessario verificare che:

) ( )ℎ ( )

( + ℎ, + ) − ( , − , − ,

0 0 0 0 0 0 0 0

lim =0

2 2

(ℎ,)→(0,0) +

√ℎ

( )ℎ ( ) )

, + , = ( ,

La quantità si dice differenziale primo.

0 0 0 0 0 0

ℎ = − ∧ = −

Osserviamo che quindi

0 0 2 2

) ( )( ) ( )( ) ) ( )

(, ) = ( , + , − + , − + (√( − + − )

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Teorema ( ) ( ).

: ⊆ ℝ → ℝ , ∈ ,

Se è differenziabile in allora è continua in

0 0 0 0

Dimostrazione: (&radic