Riassunto completo Analisi II

Riassunto Analisi

• Insiemi di livello di f sono i sottoinsiemi di ℝ² definiti da f(x, y) = c, insiemi dove la funzione vale c. ES impongo uguole a c e vedo se c > 0, c < 0.
• Un punto p₀ ∈ D ⊂ ℝ^m si dice interno a D se ∃ r > 0 t.c. B_r(p₀) ⊂ D.
• D ⊂ ℝ si dica aperto se tutti i punti di D sono interni a D.
• Un punto p ∈ ℝ^m si dice di frontiera per D se p non è interno né a D né a ℝ \ D Bordo di D: ∂D.
• Limiti:
  • lim_p→p0 f(p) = l ∈ ℝ se ∀ ε > 0, ∃ δ t.c. p ∈ D e 0 < |p,p₀| < δ → |f(p) - l| < ε
• f si dice continua se lim_p→p f(p) = f(p), f(p) continua ⇔ f_x, f_y funz
• f derivabilita rispetto a x in p₀ se ∃ finiti: lim_x→x0 (f(x,y) - f(x₀,y)) / (x−x₀).

Formule di derivazione

• D a^x = a^xlna | Dtanx = 1/cos²x = 1+tg²x | Darsinx: 1/√(1−x²)
• Darccosx: −1/√(1−x²), Darctanx: 1/1+x²
• D(f(x)·g(x)) = f'(x)·g(x) + f(x)g'(x)
• D(f(x) / g(x)) = (f'(x)g(x) − f(x)g'(x)) / [g(x)²]

• Df(x) = f(x)^8(x)[8^p(x)lnf(x)] + 8(x) f'(x)/f(x)
• D ⊂ ℝ^r, f si dice differenziabile in p₀ se
  • f(x₁, y₀)−f(x₀, y₀)= ∂f(x₀, y₀)(x−x₀) + ∂f(x₀, y₀)(y−y₀) + σ(|v(x₀)
• Se f è differenziabile in p₀ → f continua in p₀
• in dim 2+ f derivabile ⇔ differenziabile
• Criterio di differenziabilità: se esistono ∂f e ∂f/∂y e sono continue in D f è differenziabile in ogni punto di D
• Gradiente ∇f(x,y)=(∂f/∂x ∂f/∂y) vettore di ℝ²
• f(P) = f(p₀) + ∇f(P−P₀) = 0 0 ≠ |(P₁−P₁)

Piano tangente al grafico di f in P₀, il piano di eq

z = f(x₀, y₀) + _∂f∂x (x₀,y₀) (x-x₀) + _∂f∂y (x₀, y₀) (y-y₀)

• Derivate direzionali: _∂f∂v̄ (P₀) = ∇f(P₀)∙v̄ Dice quanto cresce f usando da P₀ in direzione v̄ Per quale v̄ si max? per v̄//∇f(x)

infatti: f̂ punta sulla direzione in cui f cresce più rapidamente

es: normalizzazione r̂ Σ f_c E_n imp. formula elementi fini

• Differenziabilità: d_fdx (x(t), y(t)) = ∇f (x(t) y(t)) ∙ (x̃(t) ỹ(t))

• Funzioni Radiali: se il valore di f dipende solo dalla distanza di P dall’origine i variabili come somma di quadrati: √(x²+y²)

Gli insiemi di livello sono circonferenze concentriche

Il grafico è una superficie: invariante per rotazioni attorno z

• Derivate di ordine superiore: f:ℝⁿ→ℝ f:

Teorema di Schwartz: Se _∂²f∂x₂, _∂²f∂y_{2 ∂²f}∂x∂y , _∂²f∂y∂x se f continua ⇒ sono uguali.

f ℝ^m→ℝ ha mⁿ derivate m-esime

Matrice Hessiana di f, Hf(x_y) matrice 2x2 con le derivate seconde

• Sviluppo di Taylor di grado 2 centrato in P₀,

  f(P) = f(P₀) + ∇f(P₀)∙(P-P₀) + ½ Hf(P₀)(P-P₀) + ϑ(|P-P₀|)

• Punto critico o stazionario per f se ∇f(P₀) = ȳ

Teorema di Fermat: Se P₀ è minimo o max ⇒ P₀ è critico

• Massimi e minimi: se D⊂ℝ² f:D→ℝ f∈C², p_c punto critico

Teorema di classificazione dei punti critici:

• Se det Hf(p_c)>0 ⇒P₀ è max o min.,
• Se _∂²f∂x₂(P₀)>0 ⇒P₀ è min
• Se _∂²f∂x₂(P₀)<0 ⇒P₀ è max
• Se det Hf(p_c)<0 ⇒ né max né min, punto di Sella
• Se det Hf(p_c)=0 ⇒ non si può dire niente

Curve parametriche: è una funzione

γ: [a,b] → Rⁿ con γ(t) = (x(t), y(t), z(t))

• γ ∈ C¹ se x(t), y(t), z(t) ∈ C¹. L’immagine di γ ([a,b]) si chiama sostegno della curva (e il disegno)
• es: γ(t) = (R cos t, R sin t) circon, γ(t) = (cos t, sin t, t) elica

- Vettore tangente γ'(t) = (x'(t), y'(t), z'(t)) velocità- Curva regolare se γ ∈ C¹ e γ'(t) ≠ 0 ∀ t- Regolare a tratti se γ ∈ C [a,c], γ ∈ C regolare su [a,c] ∪ [c,b]- Curva semplice: se γ è iniettiva ⇒ sostegno non ha autointersezioni- Curva chiusa se γ: [a,b] → Rⁿ → γ(a) = γ(b), semplice se ∀- Parametrizzazione le curve di: funzione f(x,y) → γ(t) = (t, f(t))

Lunghezza del sostegno: ∫_a^b |γ'(t)| dt

Integrale curvilineo:

Sia γ: [a,b] → R³ curva regolareI specie: integrale di una funzione lungo una curva∫_γf(x,y,z) ds = ∫_a^b f(α(t)) |γ'(t)| dtesercizio: 1) trovo f((α(t)) sostituendo, trovo γ(t), faccio modulo

II specie: Sia γ: [a,b] → R³ applica e F: R³ → R³ e γ versore∫_γF·dL = ∫_γF·γ ds = ∫_a^b F(γ(t))·γ'(t) dt₁ = è il lavoro compiuto da una forza lungo γ

Oss: Se γ è chiuso: γ(a)=γ(b) ⇒ ∫_γF·dL = ∮_γF·dL CircolazioneSe due integrali curvilinei hanno lo stesso sostegno per l'integrale di I specie non cambia nienteSe di II specie dipende dal verso di percorrenza

Baricentro: es soli: con densità σ (x,y,z):x_C = ∫_Ω xσ(x,y,z) dx dy dz se Ω amplica x_C = 1/Vol(Ω) ∫_Ω xσdx dy dz