Riassunto Analisi II

Trasformata di Laplace

Definizione e proprietà

Supporto di f: ℝ→ℝ : spt f:= { t ∈ dom f : f(t) ≠ 0 } ∩ dom f

f integrabile → f ∈ L¹ (ℝ), f localmente integrabile → f ∈ L¹_loc (ℝ)

Formula della trasformata di Laplace

F : [0,+∞) → ℝ, s₀+υ ∈ ℂ

F(s) = (ℒ φ)(s) := ∫_0^+∞ e^-st f(t) dt

f υ-trasformabile se spt f ⊆ [0,+∞)

σ = { s ∈ ℝ | |e ^-st f(t) ∈ L¹ (ℝ)}

La parte più piccola è σ_a (f)

dom (ℒ φ) ⊇ σ = { s ∈ ℂ : Re(s) > σ_a (f)}

Funzione di Heaviside (gradino unitario)

u(t) = { 0 se t < 0, 1 se t ≥ 0}

u ∈ L¹_loc (ℝ), spt u = [0,+∞)

spt (fu) := spt f ∩ spt u ⊆ [0,+∞)

Trasformate di funzioni elementari

• f(t) = e ^αt → F(s) = 1/(s-α), σ_a = α
• f(t) = 1 → F(s) = 1/s, σ_a = 0
• f(t) = t → F(s) = 1/s², σ_a = 0
• f(t) = sin(t) → F(s) = 1/(s²+1), σ_a = 0
• f(t) = cos(t) → F(s) = s/(s²+1), σ_a = 0
• f(t) = t⋅u(t) → F(s) = 1/s², σ_a = 0

Proprietà della trasformata

1. Linearità: ℒ{αf+βg}(s) = αF(s) + βG(s)
2. Riscalamento: ℒ{f(αt)}(s) = (1/α) (ℒ φ)(s/α)
3. Traslazione: ℒ{f(t-α)}(s) = e ^-αs (ℒ φ)(s)
4. Modulazione: ℒ{e^s₀t f(t)}(s) = (ℒ φ)(s-s₀)
5. Moltiplicazione per tⁿ: ℒ{tⁿ f(t)}(s) = (-1)ⁿ dⁿ/dsⁿ (ℒ φ)(s)
6. Divisione per t: ℒ { ∫_t^+∞ f(t) dt }(s) = ∫_s^+∞ (ℒ φ)(s) ds
7. Trasformata della derivata: ℒ {f⁽ⁿ⁾(t)}(s) = sⁿ (ℒ φ)(s) - Σ_k=0^n-1 s^n-1-k f^(k) (0⁺)
8. Trasformata di funzione periodica (T): (ℒ ρ_T)(s) = 1/(1-e^-Ts) ∫_0^T e^-st ρ(t) dt
9. Teorema del valore iniziale: lim_t→0 f(t) = lim_s→+∞ s (ℒ φ)(s)
10. Teorema del valore finale: lim_t→+∞ f(t) = lim_s→0 s (ℒ φ)(s)
11. Trasformata della convoluzione: ℒ {f*g}(s) = (ℒ φ)(s) ⋅ (ℒ ψ)(s)
12. Trasformata dell'integrale: ℒ {∫_0^t f(τ) dτ}(s) = (ℒ φ)(s)/s

Calcolo Differenziale

Derivata parziale di \( f : B_r(x_0) \to \mathbb{R} \)

\( \frac{\partial}{\partial x_i}f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_1, x_2, \ldots, x_i + h, x_{i+1}, \ldots, x_n) - f(x)}{h} \)

Gradiente: \( \text{grad }f(x) = \nabla f(x) = \left( \frac{\partial f(x)}{\partial x_1}, \ldots, \frac{\partial f(x)}{\partial x_n} \right) \)

Derivata direzionale \( d_{\vec{v}}f(x) = \lim_{t \to 0} \frac{f(x + t\vec{v}) - f(x)}{t} \)

\( f \) differenziabile se \( f \) è derivabile se \( \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0) - \langle \nabla f(x), x - x_0 \rangle}{\|x - x_0\|} = 0 \)

Funzione tangente al grafico di \( f(x) \) in \( x_0 \)

Vettore \( \vec{n} : \vec{N} = \langle \nabla f(x), -1 \rangle \)

differenziabilità ⇒ continuità, continuità delle derivate parziali ⇒ continuità

Formula del gradiente

\( \Rightarrow \frac{\partial f}{\partial y}(x_0) = df_{x_0}(y) = \langle \nabla f(x_0), y \rangle \)

Proprietà del gradiente

Posto \( \vec{v} = \frac{\nabla f(x)}{\|\nabla f(x)\|} \Rightarrow \frac{\partial f}{\partial y}(x_0) = \|\nabla f(x)\| \) e \( \frac{\partial f}{\partial y} \leq \|\nabla f(x)\| \) \(\forall \vec{v}\neq 0 \).

(Il gradiente è la direzione di max crescita di \( f \))

Teorema di Schwartz

\[ D \subseteq \mathbb{R}^n \text{ aperto, } f \in C^2(D) \Rightarrow \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(x) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}(x) \]

Matrice Hessiana

\(\mathfrak{h}\) ha sulle righe le derivate seconde di \( f \) in \( x \). \(\mathfrak{h}\) riga \(\star\Rightarrow\)\(\mathfrak{h}_{x_1 x_4} f(x) \)

Forma Quadratica

\( q : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \quad q(tx) = t^2q(x) \)

Quadratica simmetrica\(\Rightarrow q_\mathfrak{AC}(x)

Differenziabile seconda: \( df_{x}\Upsilon = \langle H \cdot f(x), \frac{x}{2} \rangle \)

Formula di Taylor con resto di Peano

Per \( x \sim x_0 \), \[ f(x) = f(x_0) + \left\langle \nabla f(x_0), x - x_0 \right\rangle + \frac{1}{2} \langle Hf( \xi )(x - x_0), x - x_0 \rangle \]

\(\times(1 - x_0 \|x_0\|)\)

Matrice Jacobiana

\(\hat{f}\) ottiene le matrici con le righe - gradienti di \( f_1, \ldots, f_m \).

Diferenziale - \( df_{x_0}F = \sigma df_{x_0}f(x), \enspace d_{g_{x_0}}f = d_{\sigma g_{x_0}}f \).

\[ J \{o(x)\}_{f_{x_0}} = J \{g (\Box(x))_{x_0)-F)}\]

Operatori Differenziali

\( \left( \frac{\partial}{\partial x_1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x_n} \right) \)

Gradiente - \(\nabla \circ f(x)\) Divergencia - \(\nabla \cdot \text{rot} \)

Rotore - \(\nabla \times \) Laplaciano - \(\nabla^2\)

\(\text{div } f = 0 \Rightarrow f \text{ solenoide}\)

\(\text{rot } f = 0 \Rightarrow f \text{ irrotazionale}\)

\( df=0 \Rightarrow f \text{ analitica }\)

Integrazione in più dimensioni

I = [a, b] - misura elementare n-dimensionale - m(A) = Π_i=1ⁿ(b_i - a_i)

Funzione caratteristica di A

X_A = { 1 se x ∈ A
0 se x ∉ A }

Teorema di riduzione degli integrali multipli

∫_Jxf(y, x) dμ_x = ∫_Jy(∫_Ixf(y, x) dμ_x) dν_y

f = ∫_Q dy = ∫_[a2,b2](∫_[a1,b1] f(x, y) dx) dy = ∫_a1,b1 g(y) dy

Integrazione per fili

∫_P f(x, y, z) dx dy dμ = ∬_{[a1,b1]×[a2,b2]} (∫_a3,b3 f(x, y, z) dz) dx dy

Integrazione per strati

∫_P f(x, y, z) dx dy dz = ∫_a1,b1 ∬[a₂,b₂]×[a₃,b₃] f(x, y, z) dy dz dx

Teorema di cambiamento di variabile

Φ : I' ---> Rⁿ cambiamento di coordinate -> ∫_Φ(I') f(Φ(y)) dμ_y = ∫_Φ□IΦ f(x) |det(∂Φ/∂y)| dx

Integrale curvilineo di seconda specie

∮_Γ dt lavoro ∮_Γ f d? ∩ una curva e circonferenza

∫_Γ f d?→ f conservativo ← → L(f₁, f₂) = L(f₁, f₂) ←→ ∮_Γf d?

Teoremi di Gauss e Green

Gauss → ∬_s div f(x, y) dx dy = ∮_{? f,1} d? y

Green → ∬_σ p dx + q dy = ∬_σ (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dx dy

Teorema di Stokes

Stokes → ∮_σ dΓ = ∬_B (∂g/∂x - ∂F/∂y) dx dy

area sup piano: area(E) = 1/2 ∮_∂D x dy - y dx

Superficie Parametrica

→ X(u, v) = (X₁(u, v), ..., X_n(u, v)) regolare se J X(u, v) ha rango 2

Piano tangente = Z_{Xu(u, v)∪Xu(u, v)} + x (u'₀, v'₀)

Normale unitale N(u, v)▽calore normale n = N(u, v) ||N(u, v)||

N(x) = det|Φ_UN_X(Φ)

Lunghezza curve su superficie

[a, b] ∩ ? = X₁(?)

L(M) = ∫_ab' √ E (u' ∪ V (u)² + 2F(u) V^(u) + G (u'(t)v(t)dt con √E(u) = (Xa0) √F(u⋄) = (Xu) √G(u(❍)) = (Xsimbolo NGAUSS →

Calcolo area

area (Σ) = ∫∫_D ||N(x(u,v))|| du dv = ∫∫_D √(Eg-F²) du dv

sup. cartesiane: area (Σ) = ∫∫_D √(1 + (∂_xf(x,y))² + (∂_yf(x,y))² du dv

Integrale di superficie di prima specie

∫_Σ f = ∫∫_D f(x(u,v)) . ||N(x(u,v))|| du dv

Integrale di superficie di seconda specie

∫_Σ f(x) dσ = ∫_Σ <f(x), n(x)> dσ := ∫∫_D <f(x(u,v)), N(u,v)> du dv

Teorema di Gauss

∫_Ω div f(x) dx = ∫_∂Ω <f(x), n(x)> dσ(x)

Teorema di Stokes (in ℝ³)

∫_Σ rot f ⋅ n = ∫_∂Σ <f, t>t versore tangente a ∂Σ

Serie Numeriche

{a_n} successione reale → ∑_n=1^∞ a_n serie

convergente ∑_n=1^∞ a_n = S ∈ ℝ

divergente ∑_n=1^∞ a_n ≠ S, ∑_n=1^∞ a_n = ±∞

Somme parziali

S_n = ∑_k=1ⁿ ak

Serie Geometrica di Ragione q

∑_n=0^∞ qⁿ → {¹/(_1-q) |q|0

Serie armonica

λ=1 → ∑_n=1^∞ 1/n non converge

Resto Parziale

R_n = ∑_k=n+1^∞ a_k

∑_n=1^∞ a_n converge ⇒ S_n finito

Criteri di Convergenza

• Se ∑_n=1^∞ a_n converge ∈ ℝ ⇒ ∑_n=1^∞ |a_n| converge a su S (c ∈ ℝ)
• Serie a termini a_n>0 non converge ⟹ S_n superiormente limitato

Criterio del Confronto

• ∑_n=1^∞ a_n, ∑_n=1^∞ b_n a termini positivi: a_n ≤ b_n, b_n > 0
• Se ∑_n=1^∞ b_n converge ⟹ ∑_n=1^∞ a_n converge
• ∑_n=1^∞ a_n diverge ⟹ ∑_n=1^∞ b_n diverge

Criterio del confronto asintotico

• ∑_n=1^∞ a_n e ∑_n=1^∞ b_n a termini positivi. Se esiste lim a_n / b_n ↔ trova lo stesso carattere
• Se esiste α tale che lim a_n^α n ∈ (0, +∞) ↔ α>1 | 1 diverge positivamente

Criterio del Rapporto

• ∑_n=0^∞ a_n | a_n ε (0, 1)
• If a_n+1 / a_n ε → n ∈ ℕ ⇔ converge
• Se esiste lim a_n < 1 ↔ converge, se lim a_n > 1 ↔ diverge

Criterio Integrale

∫₁^∞ f(x) = R f(x) = f(n) ⇒ ∑_n=1^∞ a_n converge ⇔ ∫_n=1^∞ f(x) dx converge

POSITIVA, DECRESCENTE, CONTINUA

Se ∫_n=1^∞ f(x) converge ⇒ ∑_n=1^∞ a_n converge

Criterio di Leibniz

{a_n} non crescente e infinitesima → ∑_n=1^∞ (-1)ⁿ⁺¹ a_n converge

Criterio di Dirichlet

∑_n=1^∞ a_n b_n converge, {S_n} finitamente non crescente, {β_n} finito tale che ξ = ∑_k=1^toc∞ b_n connanto è limitato

Successioni e Serie di Funzioni

\{f_n\} ≤ f_n successione di funzioni, \{f_n(x)\} successione numerica delle immagini

Convergenza puntuale

∀x ∈ I, \{f_n(x)\} converge e f(x) = lim f_n(x)

∀x ∈ I, ∀ε > 0, ∃N ∈ N : ∀n ≥ N |f_n(x) - f(x)| < ε

Convergenza uniforme

∀ε > 0, ∃N ∈ N : ∀x ∈ I, ∀n ≥ N |f_n(x) - f(x)| < ε (non dipende da x)

Criterio di Cauchy

Con un miglioramento in 1 se ∀ε > 0 ∃f_n ∈ N : ∀n, k ≥ N, ∀x ∈ I |f_n(x) - f_k(x)| < ε

\{f_n\} converge (punt.) ⇒ ∀x ∈ I \{f_n\} converge uniforme in (a,b)

\{f_n\} converge uniforme in [a,b] ⇒ ∀α, β ∈ [a,b] ∫_α^β f_n(x) dx = lim ∫_α^β f(x) dx

Serie

∑_n=1^∞ f_n converg. se ∀x ∈ I ∑_n=0^∞ f_n(x) conv. unif. in (a,b) ⇒ f'(x) = ∑_n=0^∞ f'_n(x)

Serie di Taylor

Polinomio di Taylor T_n,x₀ f(x) = ∑_k=0ⁿ f^(k)(x₀) / k! (x-x₀)^k

Serie: ∑_n=0^∞ (x-x₀)ⁿ

Se il Resto R_n,x₀(x) = f(x) - T_n,x₀ f(x)

È sviluppabile la serie converge a R_n,x₀(x) = o per n → ∞

∀x ∈ I, ∀L ∈ R t.c. dei tali che ∀n, ∀x|f⁽ⁿ⁾(x)| ≤ K Lⁿ

e^x = ∑_n=0^∞ xⁿ / n!

Serie di Potenze

∑_n=0^∞ a_n(x-x₀)ⁿ

CONVERGE ⇔∀x ∈ R tale che |x| < plim sup_n √(a_n) = 1/R ⇔ R = 1/p

Teorema di Abel

lim x = ∑_n=0^∞ a_nxⁿ