Appunti per l'esame Metodi Matematici

INSIEMI

L'insieme è una classe fatta gruppo: è un aggregato definito d’elementi aventi una caratteristica in comune.

Riportiamo un concetto primitivo, ossia un concetto che non può essere definito attraverso concetti più elementari; quindi non si può dare una definizione matematica.

L'insieme non ha definizioni di natura matematica, quando si specifica in maniera UNIVOCA, cioè non ci sono problemi per definire gli insiemi.

Esempio: l'insieme dell'alfabeto italiano è un insieme matematico.

Le parti del discorso della lingua italiana non è un insieme matematico: metà è soggettiva - soggetto -.

Gli insiemi si indicano con la lettera maiuscola.

Gli elementi di un insieme si rappresentano con la lettera minuscola.

Per indicare che un elemento appartiene o non appartiene ad un insieme, si usa il simbolo d’appartenenza ∈.

Esempio:

• X: 1, 2, 3
• a ∈ X ; 7 ∉ X

L'insieme vuoto è quell’insieme che non ha elementi: viene indicato con Ø

DESCRIZIONE DI UN INSIEME

1. METODO PER ELENCAZIONE, scrivendo tutti gli elementi dell’insieme, separati da virgola, delimitati da due parentesi graffe.

Esempio:

• A = {3, 5, 8, 9}
• A = {a, b, c}
• N = {1, 2, 3, 4, 5, ...} = INSIEME NUMERI NATURALI

2. METODO MEDIANTE PROPRIETÀ CARATTERISTICA

X = {x : P(x) }

Esempio:

• A = {x ∈ N : 1 ≤ x ≤ 10⁶}
• Tutti i numeri naturali compresi tra 1 e 10⁶
• X = {3, 5, 7, 9}
• X = {numeri dispari : 1 < n < 10³}

SIMBOLI UTILIZZABILI

• ∀ : quantificatore universale (per ogni...)
• ⇒ : implicazione logica (se ... allora ...)
• ⇔ : doppia implicazione logica (se e solo se ...)

Due insiemi A e B sono uguali (A = B) se sono costituiti dagli stessi elementi.

∀ x ∈ X ⇔ x ∈ B

3. Se esistono due insiemi (A e B), si esista almeno un elemento che appartiene ad uno solo, se e solo se A ≠ B

Es.

A = {1, 3, 4}

B = {3, 1, 4}

D = {5, 4, 1, 3, 3}

A = B; C = D

non conta l'ordine

non conta se vengono ripetuti

Sottinsiemi

Un insieme A è sottinsieme di B se tutti gli elementi di A si trovano in B (si scriverà A ⊆ B)

Se almeno un elemento di A non è elemento di B

∀ x : X ∈ A → X ∈ B

A l'insieme di tutti i suoi sottinsiemi, ci saranno sempre 2^N insiemi stiamo a l'insieme vuoto

A = B = A C A C B = B C A

Insieme delle Parti

Data un insieme X, si definisca insieme delle parti di X e si denota con P(x), l'insieme che ha per elementi tutti i sottinsiemi di X

Es. Scrivere l'insieme delle parti dell'insieme costituito dalle lettere della parola "do":

P(X) = {∅, {x}, {d}, {3}, {x, d}, {x, y, d, j}, {d, a}, {3, j, x, d, j}, {20, j, j, 3} }

Operazioni tra insiemi

• Unione
• Intersezione
• Differenza
• Complementare
• Prodotto Cartesiano

1) Unione di A e B (A ∪ B)

A ∪ B : {x : x ∈ A o x ∈ B}

2) Intersezione di A e B (A ∩ B)

A ∩ B : {x : x ∈ A e x ∈ B}

P.S. La mancanza d'intersezione di due insiemi da un insieme vuoto e i due insiemi si dicono disgiunti

3) Differenza A e B (A \ B)

A \ B : {x : x ∈ A e x ∉ B}

ALCUNE PROPRIETÀ DI R

1. Moltiplicazione per zero

   ∀ a ∈ R, a < 0 ⇒ a·0 = 0

2. Legge di annullamento del prodotto

   ∀ a, b ∈ R, a · b = 0 ⇒ a = 0 oppure b = 0

3. ∀ a, b, c ∈ R

   Vale uno ed uno soltanto delle seguenti affermazioni:

   • a < b
   • a = b
   • a > c

4. ∀ a, b, c ∈ R

   Somma una terna minima a un seminario, quest'ultima non cambia

   a ≤ b ⇒ a + c ≤ b + c

5. ∀ a, b, c ∈ R

   a ≤ b ⇒ a·c ≤ b·c, se c > 0

   Moltiplicando una disuguaglianza per uno stesso numero positivo, non cambia il verso

NB: Se moltiplichiamo per una quantità negativa, si cambia il verso della disuguaglianza

a ≤ b ⇒ a·c > b·c, se c < 0

6) Regole dei segni:

Il prodotto di un numeri constringi entrambi positivi, o negativi, è un numero positivo

Il prodotto di due numeri discordi è un numero negativo

• + · + = +
• - · - = +
• + · - = -
• - · + = -

7) Segno di un quadrato:

∀ a ∈ R

a² ≥ 0

a² = 0 ⇒ a = 0

Esercizio

Suppongo che a, b, c ∈ R con e, sb, stabilire se sono vere o false le seguenti affermazioni:

1. 5 - a > c - bVi va sostituire una giusta quantità
2. -2 < c < -2Vi va per lo stesso procedimento
3. ∀ a < bAffermo con ciò è vera, ma se c < 0 ne
4. a<3

Per definire il massimo ed il minimo di un insieme consideriamo il maggiorante e il minorante dell'insieme

Dato un insieme X ⊆ ℝ, un numero reale K si dice:

• Maggiorante se ; l'insieme X ⊂ (segnato da U(x))
• Minorante se ; lo indichiamo con m(x)

Un insieme X ⊆ ℝ si dice:

• Limitato superiormente se ammette almeno un maggiorante
• Limitato inferiormente se ammette almeno un minorante
• Limitato se ammette sia un maggiorante che un minorante, quindi esiste un numero reale che rappresenta il massimo e il minimo

Determinare se esistono e Ma B Ata min dei seguenti: l'insieme è definito se sono limitati

a)

A= {x∈R : 4 - x ≥ 0⊳3}⊳ {3,7}

• ∃ A: {2≤x≤-2}⊳ {3,7}
• A = [-2,7] ⊳ 3∴7

min A = -2

max A = 7

M(A) = [-2,+∞]

U(A) = [-7,+∞)

N(A) = [-7,+∞)

b)

B={x∈R: 4-x≥0 ∴ 3 ∴ Σ}

• B= [ ]
• B= Ύ[7, +∞) ∴ {3,7}

min B = 3

max B = 7

M(B) = ]7,+∞)

U(B) = [-7,+∞)

N(B) = ]-7,-0⁡]

c)

C=∏x∈ℝ : (x-1)(v + x)(5x-9)(x+12)(x2+x+3)⼀0}

{x < 1

x > -2

x = 4/23

V x ∈ R

A⊂E [3/4,1/3]

M = Ώ]-37,-37,[

N([-∣U)

max (-2,1] У 3

Riconoscimento di rette parallele e perpendicolari

Dati due rette di equazione

n: y = m₁x₁ + q

o: y = m₂x₂ + q

allora

n ed o sono parallele se e solo se m₁ = m₂ .

n ed o sono perpendicolari se e solo se m₁ = -(1/m₂) , ovvero m₁ m₂ = -1

Distanza di un punto da un punto e una retta

d(P0 , r) = | ax₀ + by₀ + c |

d(P, r) = | ax₀ + by₀ + c | / √^{a2 + b2}

CIRCONFERENZA

è il luogo geometrico dei punti che hanno la stessa distanza dal centro

d(P, C) = r

(x - x₀)² + (y - y₀)² = r²

equazione della circonferenza di centro (x₀ , y₀)

NB: Circonferenza di centro l'origine degli assi è: x² + y² = r²

Ex: (0,0) , r = 3 →︎ x² + y² = 3²

(-1,1) , r = 2 → (x+1)² + (y-1)² = 4

PARABOLA

è il luogo geometrico dei punti che sono equidistanti da un punto detto fuoco e una retta detta direttrice

y = ax² + bx + c (con a ≠ 0)

equazione della parabola

Vertice (-b / 2a ; -Δ / 4a)

x = -b / 2a

NB: Se conosciamo l'ascissa del vertice, possiamo trovare l'ordinata sostituendo il valore di x

- Se a > 0, la concavità è rivolta verso l'alto

- Se a < 0, la concavità è rivolta verso il basso

Ex: y = 2x² + 4x + 1 V(-1 ; -2)