Appunti per l'esame Metodi Matematici

Insiemi

L'insieme è una classe, fatta di oggetti, ed è un aggregato definito di elementi aventi una caratteristica in comune. Gli insiemi possono essere definiti per elencazione, ovvero attraverso proprie caratteristiche. L'insieme si può definire mediante enumerazione quando si associa la macchina univoca a ogni elemento in forma di clausola insieme.

Esempio: I fonti dell'alfabeto italiano è un insieme matematico. Due o più blocchi base isolati non è un insieme matematico, mostra il sole macchiato. Gli insiemi si indicano con le lettere maiuscole. Gli elementi dell'insieme si appuntano con le lettere minuscole. Per indicare che un elemento appartiene a un insieme, si usa il simbolo d'appartenenza: ∈.

Esempio: X: {1, 2, 3, 5, 7}, I ∈ X; 7 ∉ X. L'insieme v è un quadratino che non ha elementi; viene indicato di 8.

Descrizione di un insieme

1) Metodo per elencazione

È scrivendo tutti gli elementi dell'insieme, separati da virgole, delimitati dalle parentesi graffe {}.

• Esempio: A: {2, 4, 6, 8}
• B: {2, 4, 6, 8}
• N: {1, 2, 3} = insieme numeri naturali

2) Metodo mediante proprietà caratteristica

X = { x : P(x) }

• Esempio: A = { x : x ∈ N, x ≤ 10 } = tutti i numeri naturali compresi tra 1 e 10
• X = { 1, 3, 5, 7, 9 } X = { numeri dispari }

Simboli utilizzabili

• ∀ : quantificatore universale (per ogni)
• ⇒ : implicazione logica (se allora...)
• ⇔ : doppia implicazione logica (se e solo se...)

Due insiemi A e B sono uguali (A = B) se sono costituiti dagli stessi elementi. ∀ x : x ∈ A ⇔ x ∈ B.

Se l'insieme A e B è vuoto (A = B) se invita almeno un elemento che appartiene ad uno solo A.

Insiemi

1. L'insieme è una classe, sotto gruppo è un aggregato definito di elementi aventi una caratteristica in comune. Per insieme si può intendere un concetto primitivo, ossia un concetto che non si può definire attraverso concetti più elementari, quindi non si può dare una definizione matematica. L'insieme si può definire in maniera non tanto operativa, quando si associa la parola uninsieme, ogni qualvolta si ha bisogno di definire degli insime.

Esempi:

• I toni dell'alfabeto italiano è un insieme matematico
• Gli strumenti musicali italiani non è un insieme matematico
• I soci Microsoft è un insieme matematico

Gli insiemi si indicano con le lettere maiuscole; gli elementi assumono sempre il documento in maiuscole; gli elementi dell'insieme si segnano con la lettera minuscola. Per indicare che un elemento opportunità variamente, un vega si utilizza il simbolo:

Esempio: X = {1, 3, 5, 3}, X ∈ {X; 7 Ω X}. L'insieme vuoto è quell'insieme che non ha elementi, viene indicato con ø.

Descrizione di un insime

1) Metodo per elencazione

Scrivendo tutti gli elementi dell'insieme, separido da virgole indicati tra le parentesi graffe {}.

• Esempio: X = {2,1,3,2,3}
• A = {2,3,5}
• N = {11,12,13,14,17}=INSIEME NUMERI NATURALI

2) Metodo mediante proprietà caratteristica

X = {x:P(x)}

• Esempio: A = {ทุก i « N | i: I ≤ 5 i ≤ 10 ≥ 3. Tutti i numeri naturali compresi tra i 210 ≥ X = {3, 5, 7, 9, 23, X={ราชนภบดาต < n ≤ } 10 ≥ 5

Simboli utilizzabili

• ∀ quantificatore universale: (per ogni)
• ⇒ "implicazione logica" (se...allora...)
• ⇔ "doppia implicazione logica" (se e solo se...)

Due insiemi, A e B, sono uguali (A=B) se sono costituiti dalle stesse identiche. ∀ X ∈ A ⇔ X ∈ B.

Esempio: insiemi identici {3, 4, 7, 8} {7, 4, 8, 23,} ใน i composta anche nuovi elementi che appaiono.

Sottoinsiemi

Un insieme è sottoinsieme di se e solo se ogni elemento di è anche elemento di ∀ x : x ∈ A ➔ x ∈ B.

Esempio di vari sottoinsiemi, ci sono sempre l'insieme stesso e l'insieme vuoto. A = B = C = B C = B C A.

Insieme delle parti

Dato un insieme X, si definisce insieme delle parti di X e si denota con P(X), l'insieme che ha per elementi tutti i sottoinsiemi di X.

Esempio: Scrivere l'insieme delle parti dell'insieme contenente delle lettere delle parole "ado": P(X) = { ∅, X, {}, {}, {, }, {}, {, }, {, , } }.

Se l'insieme X è contenuto da n elementi, l'insieme delle parti è costituito da 2.

Operazioni fra insiemi

1. Unione di A o B (A ∪ B) è l'insieme costituito da tutti gli elementi che appartengono a o b. A ∪ B = { x : x ∈ A o x ∈ B }
2. Intersezione di A o B (A ∩ B) è l'insieme di tutti gli elementi che appartengono sia ad a o b. A ∩ B = { x : x ∈ A o x ∈ B }
3. P.S. Danceso l'intersezione di due insiemi dà un insieme vuoto i due insiemi si dicono disgiunti
4. Differenza di A o B (A \ B) è l'insieme di tutti gli elementi che appartengono a A ma non a B.