Metodi matematici dell'economia - Appunti

Elenco dei teoremi dimostrati in aula - A.A. 2013/2014

1. L'insieme delle soluzioni di una disequazione lineare è un insieme convesso.
2. La soluzione di una disequazione lineare ax+by+c>0 è un semipiano.
3. Teorema di unicità del limite.
4. Teorema della permanenza del segno locale in una variabile.
5. Teorema di Bolzano in una variabile.
6. Una funzione monotona che ha come codominio un convesso è continua (con applicazione alle funzioni elementari).
7. Derivata prima della funzione potenza e della funzione esponenziale.
8. Derivabilità implica continuità con osservazioni e controesempi.
9. Teorema di Fermat in una variabile.
10. Caratterizzazione della convessità di una funzione mediante l'epigrafico.
11. Dimostrazione solo grafica dell'implicazione: f convessa → f(x) ≯f(x₀)+f'(x₀)(x-x₀).
12. Dimostrazione delle implicazioni f(x) ≥ f(x₀)+f'(x₀)(x-x₀) → f crescente → f''≥0.
13. Se x₀ è un punto stazionario di una funzione convessa, allora x₀ è di minimo.
14. Teorema di Bolzano in due variabili.
15. Teorema di Fermat in due variabili.
16. Una caratterizzazione delle funzioni convesse in due variabili: f convessa ↔ per ogni α appartenente ad ℝ, l'insieme S_α={P ∈ 𝔹: f(x) ≤α} è convesso.
17. Unicità della matrice inversa.
18. Il determinante di una matrice con due righe nulle è zero (Proposizione 3.6 del libro di testo).
19. Proposizione 3.7 del libro di testo.
20. |A|≠0 ↔ A è invertibile e A^-1=¹⁄_|A|(A^*)^t.
21. Caratterizzazione delle matrici invertibili mediante il determinante e mediante il rango.
22. Teorema fondamentale sulle matrici (Teorema 3.19 del libro di testo).
23. Teorema di Cramer.
24. Teorema di Rouché – Capelli.

Elenco dei teoremi dimostrati in aula - A.A. 2013/2014

1. L’insieme delle soluzioni di una disequazione lineare è un insieme convesso.
2. La soluzione di una disequazione lineare ax+by+c>0 è un semipiano.
3. Teorema di unicità del limite.
4. Teorema della permanenza del segno locale in una variabile.
5. Teorema di Bolzano in una variabile.
6. Una funzione monotona che ha come codominio un convesso è continua (con applicazione alle funzioni elementari).
7. Derivata prima della funzione potenza e della funzione esponenziale.
8. Derivabilità implica continuità con osservazioni e controesempi.
9. Teorema di Fermat in una variabile.
10. Caratterizzazione della convessità di una funzione mediante l’epigrafico.
11. Dimostrazione solo grafica dell’implicazione: f convessa⟶ f(x) ≿f(x_o)+f'(x_o)(x-x_o).
12. Dimostrazione delle implicazioni f(x) ≿ f(x_o)+f'(x_o)(x-x_o) ⟶ f crescente⟶ f''≧0.
13. Se x_o è un punto stazionario di una funzione convessa, allora x_o è di minimo.
14. Teorema di Bolzano in due variabili.
15. Teorema di Fermat in due variabili.
16. Una caratterizzazione delle funzioni convesse in due variabili: f convessa ⟺ per ogni α appartenente ad R, l’insieme S_α={P∈X: f(x)≿α} è convesso.
17. Unicità della matrice inversa.
18. Il determinante di una matrice con due righe nulle è zero (Proposizione 3.6 del libro di testo)
19. Proposizione 3.7 del libro di testo.
20. |A|≠0 ⟺ A è invertibile e A^-1=¹/_|A|(A*)^t.
21. Caratterizzazione delle matrici invertibili mediante il determinante e mediante il rango.
22. Teorema fondamentale sulle matrici (Teorema 3.19 del libro di testo).
23. Teorema di Cramer.
24. Teorema di Rouché – Capelli.

SE IL MASSIMO ESISTE ALLORA È UNICO

Dato un insieme _X ⊂ ℝ

supponiamo che: _M1 = max _X → _M2 ≥ _X

_M2 > _X →

sappiamo che →

sappiamo che →

poiché _M2 ∈ _X

allora _M2 ≥ _M2

poiché _M2 ∈ _X

allora _M2 ≥ _M2

queste condizioni sono

vere solo se _M1 = _M2

• Dalla DIFFERENZA TRA MAGGIORANTI E MINORANTI IL MASSIMO E MINIMO È CHE QUESTI ULTIMI DEVONO APPARTENERE ALL'INSIEME.
• UN INSIEME SI DICE CONVESSO QUANDO PRESI DUE PUNTI DI ESSO ANCHE TUTTI I PUNTI CHE LI UNISCONO APPARTENGONO ALL'INSIEME (STESSA PROPRIETÀ DEGLI INTERVALLI).

L'insieme delle soluzioni di una disequazione lineare è convesso

Dimostrazione

A₁x₁ + A₂x₂ + ... + A_nx_m ≥ e

Chiamiamo

A = (a₁, a₂, ..., a_m)

P = (x₁, x