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Elenco dei teoremi dimostrati in aula - A.A. 2013/2014
- L'insieme delle soluzioni di una disequazione lineare è un insieme convesso.
- La soluzione di una disequazione lineare ax+by+c>0 è un semipiano.
- Teorema di unicità del limite.
- Teorema della permanenza del segno locale in una variabile.
- Teorema di Bolzano in una variabile.
- Una funzione monotona che ha come codominio un convesso è continua (con applicazione alle funzioni elementari).
- Derivata prima della funzione potenza e della funzione esponenziale.
- Derivabilità implica continuità con osservazioni e controesempi.
- Teorema di Fermat in una variabile.
- Caratterizzazione della convessità di una funzione mediante l’epigrafico.
- Dimostrazione solo grafica dell'implicazione: f convessa⟹ f(x)⩽f(xo)+f'(xo)(x-xo)
- Dimostrazione delle implicazioni f(x)⪰f(xo)+f'(xo)(x-xo)⟹f crescente⟹f''⪰0.
- Se xo è un punto stazionario di una funzione convessa, allora xo è di minimo.
- Teorema di Bolzano in due variabili.
- Teorema di Fermat in due variabili.
- Una caratterizzazione delle funzioni convesse in due variabili: f convessa ⟺ per ogni α appartenente ad R, l’insieme Sα={P∈X:f(X)⩽α} è convesso.
- Unicità della matrice inversa.
- Il determinante di una matrice con due righe nulle è zero (Proposizione 3.6 del libro di testo).
- Proposizione 3.7 del libro di testo.
- |A|≠0 ⟺ A è invertibile e A-1=1/|A|(A*)T
- Caratterizzazione delle matrici invertibili mediante il determinante e mediante il rango.
- Teorema fondamentale sulle matrici (Teorema 3.19 del libro di testo).
- Teorema di Cramer.
- Teorema di Rouché - Capelli.
SE IL MASSIMO ESISTE ALLORA È UNICO
Dato un insieme X ⊂ ℝ
supponiamo che:
M1 = max X
M1 ≥ x
allora
x∈X
allora M2 = M1
M2 = max X
M2 ≥ x
allora queste condizioni sono vere solo se M1 = M2
- Da differenza tra maggioranti e minoranti e massimi e minimi e che questi ultimi devono appartenere all’insieme
- Un insieme si dice convesso quando presi due punti di esso anche tutti i punti che li uniscono appartengono all’insieme (stessa proprietà degli intervalli)
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Il punto x₀ è un punto di accumulazione per l'insieme X se in ogni suo intorno ci sono elementi di X.
x₀ e x₀ possono essere punti di accumulazione quando l'insieme X è illimitato superiormente o inferiormente.
Una funzione si dice:
- Convergente se il limite tende ad un numero e ir
- Divergente se il limite tende a ∞ o -∞
- Infinitesima se il limite tende a 0
Esiste il limite (lim g(x) se esistono il limite destro e sinistro e questi sono uguali.
Teorema di esistenza degli zeri
Se f è continua sull'intervallo [a,b] e assume agli estremi dell'intervallo valori di segno opposto f(a)*f(b) < 0 allora f ammette uno zero, cioè esiste un valore in cui la funzione si annulla a 0.
Se f è strettamente monotona lo zero è unico.
y f(a) x zero della funzione f(b) b
Una funzione è derivabile in un punto quando esistono e sono finiti i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale, essi devono essere uguali.
Il rapporto incrementale è il coefficiente angolare della retta passante per due punti della funzione.