Metodi matematici dell'economia - Appunti

Elenco dei teoremi dimostrati in aula - A.A. 2013/2014

1. L'insieme delle soluzioni di una disequazione lineare è un insieme convesso.
2. La soluzione di una disequazione lineare ax+by+c>0 è un semipiano.
3. Teorema di unicità del limite.
4. Teorema della permanenza del segno locale in una variabile.
5. Teorema di Bolzano in una variabile.
6. Una funzione monotona che ha come codominio un convesso è continua (con applicazione alle funzioni elementari).
7. Derivata prima della funzione potenza e della funzione esponenziale.
8. Derivabilità implica continuità con osservazioni e controesempi.
9. Teorema di Fermat in una variabile.
10. Caratterizzazione della convessità di una funzione mediante l’epigrafico.
11. Dimostrazione solo grafica dell'implicazione: f convessa⟹ f(x)⩽f(x_o)+f'(x_o)(x-x_o)
12. Dimostrazione delle implicazioni f(x)⪰f(x_o)+f'(x_o)(x-x_o)⟹f crescente⟹f''⪰0.
13. Se x_o è un punto stazionario di una funzione convessa, allora x_o è di minimo.
14. Teorema di Bolzano in due variabili.
15. Teorema di Fermat in due variabili.
16. Una caratterizzazione delle funzioni convesse in due variabili: f convessa ⟺ per ogni α appartenente ad R, l’insieme S_α={P∈X:f(X)⩽α} è convesso.
17. Unicità della matrice inversa.
18. Il determinante di una matrice con due righe nulle è zero (Proposizione 3.6 del libro di testo).
19. Proposizione 3.7 del libro di testo.
20. |A|≠0 ⟺ A è invertibile e A^-1=¹/_|A|(A*)^T
21. Caratterizzazione delle matrici invertibili mediante il determinante e mediante il rango.
22. Teorema fondamentale sulle matrici (Teorema 3.19 del libro di testo).
23. Teorema di Cramer.
24. Teorema di Rouché - Capelli.

SE IL MASSIMO ESISTE ALLORA È UNICO

Dato un insieme X ⊂ ℝ

supponiamo che:

M₁ = max X

M₁ ≥ x

allora

x∈X

allora M₂ = M₁

M₂ = max X

M₂ ≥ x

allora queste condizioni sono vere solo se M₁ = M₂

- Da differenza tra maggioranti e minoranti e massimi e minimi e che questi ultimi devono appartenere all’insieme

- Un insieme si dice convesso quando presi due punti di esso anche tutti i punti che li uniscono appartengono all’insieme (stessa proprietà degli intervalli)

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Il punto x₀ è un punto di accumulazione per l'insieme X se in ogni suo intorno ci sono elementi di X.

x₀ e x₀ possono essere punti di accumulazione quando l'insieme X è illimitato superiormente o inferiormente.

Una funzione si dice:

• Convergente se il limite tende ad un numero e ir
• Divergente se il limite tende a ∞ o -∞
• Infinitesima se il limite tende a 0

Esiste il limite (lim g(x) se esistono il limite destro e sinistro e questi sono uguali.

Teorema di esistenza degli zeri

Se f è continua sull'intervallo [a,b] e assume agli estremi dell'intervallo valori di segno opposto f(a)*f(b) < 0 allora f ammette uno zero, cioè esiste un valore in cui la funzione si annulla a 0.

Se f è strettamente monotona lo zero è unico.

y _f(a) x _{zero della funzione} f(b) b

Una funzione è derivabile in un punto quando esistono e sono finiti i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale, essi devono essere uguali.

Il rapporto incrementale è il coefficiente angolare della retta passante per due punti della funzione.