Metodi Matematici

1) Introduzione

• Radici Complesse

  w^n = z

  w = √z e^{(p+N*w)}

  (nθ+2πk)/n = α dove α ∈ Aₙ ∀ w

• Serie di Potenze

  ∑(aₙz^n) con w, a_n ∈ ℂ

  r: raggi di convergenza

  e^z = ∑(zⁿ)/(n!)_n=0 da -∞ a +∞

  cos(z) = ∑(-1)ⁿ(z²ⁿ)/(2n)!

  sen(z) = ∑(-1)ⁿ(z²ⁿ⁺¹)/(2n+1)!

I criterio: se ∑/r < 1 => converge

II criterio: se ∑z_n converge => lim z_n = 0_n=0

• Esponenziale e^z = ∑(zⁿ)/(n!)_n=0
  1. Prop. Formula di Eulero Eⁿ = cos(θ) + i sin(θ)
  2. Prop. ∀ a,b ∈ ℂ e^(a+b) = e^a * e^b
  3. Prop. e^z ≠ 0 ∀ z ∈ ℂ
  4. Prop. e^(-z) = (e^z)⁻¹
  5. Prop. ∀ k ∈ ℤ e^(2πik) = 1 in particolare e^(iπ) = -1 e^(iπ/2) = i

• Seno e Coseno

  sen(z) = e^iz - e^-iz / 2i

  cos(z) = e^iz + e^-iz / 2

  Re z = x Im z = y

  cos(x + iy) = cos(x) * cosh(y) - i * sen(x) * sinh(y)

  sen(x + iy) = sen(x) * cosh(y) + i * cos(x) * sinh(y)

• Derivata in Senso Complesso

  f'(z)

  Valgono le solite proprietà

  Condizioni di Cauchy-Riemann f è derivata in senso complesso

  df/dx = ∂u/∂x + i ∂v/∂x in ogni punto D(f)

  In tal caso f'(z) = ∂f/∂z