Appunti degli studenti per corsi ed esami del Prof. Meo Claudio

Riassunto per l'esame di Metodi Matematici, basato su appunti personali presi durante il corso tenuto dalla professoressa. Gli argomenti trattati sono i seguenti:Risoluzione di equazioni e disequazioni. Elementi di geometria analitica: piano e coordinate cartesiane; equazione della retta, della circonferenza, della parabola. Interpretazione del coefficiente angolare di una retta; retta per due punti; rette parallele e perpendicolari; intersezione di rette. Nozione di insieme; uguaglianza tra insiemi; inclusione; insieme delle parti; operazioni tra insiemi (unione, intersezione, differenza, complementazione); prodotto cartesiano. Cenni agli insiemi numerici. Sottoinsiemi di R; intervalli. Il concetto di relazione e di funzione: definizioni ed applicazioni economiche. Grafico e rappresentazione grafica. Funzioni elementari (lineari, affini, quadratiche, potenza, esponenziali, logaritmiche). Trasformazioni di grafici. Operazioni tra funzioni. Funzioni iniettive, invertibili, limitate, monotone, convesse. Limiti e continuità. Intorno di un punto. Punto di accumulazione. Definizione di limite. Limiti delle funzioni elementari. Teorema di unicità del limite (con dimostrazione) e della permanenza del segno (con dimostrazione). Operazioni con i limiti. Forme indeterminate con alcuni esempi di risoluzione. Funzioni continue Teorema di esistenza degli zeri con applicazioni alla ricerca di soluzioni approssimate di equazioni. Teorema di Bolzano. Asintoti orizzontali, verticali, obliqui. Calcolo differenziale per funzioni in una variabile.Derivate delle funzioni elementari; algebra delle derivate; derivate di funzioni composte; derivate di ordine superiore. Continuità delle funzioni derivabili in un punto. Applicazioni del calcolo differenziale allo studio della monotonia, allo studio della convessità, al calcolo di limiti (teorema di de l’Hôpital).Ottimizzazione: esempi di natura economica; punti di massimo e di minimo relativo ed assoluto; teorema di Weierstrass; teorema di Fermat Determinazione del codominio di una funzione e studio del grafico di una funzione. Lo spazio Rn. Vettori; operazioni tra vettori (somma, prodotto per uno scalare, prodotto scalare, combinazioni lineari di vettori). Equazione parametrica della retta. Equazione del segmento. Insiemi convessi. Convessità delle soluzioni di una disequazione lineare (con dimostrazione). Matrici e sistemi lineari. Definizione di matrice; operazioni tra matrici e relative proprietà; matrice unitaria; matrice trasposta; matrici quadrate; inversa di una matrice quadrata; unicità della matrice inversa (con dimostrazione); Definizione di rango come ordine massimo dei minori non nulli. Calcolo del rango di una matrice mediante la definizione e mediante il teorema degli orlati. Sistemi di m equazioni lineari in n incognite; matrice dei coefficienti e matrice completa; sistemi omogenei; sistemi compatibili, incompatibili, determinati, indeterminati. Il metodo di eliminazione di Gauss per la risoluzione di sistemi di m equazioni in n incognite. Il teorema di Rouchè-Capelli. il teorema di Cramer (con dimostrazione). Risoluzione di sistemi omogenei. Sistemi lineari con parametro: discussione della compatibilità. Funzioni reali di due variabili reali. Dominio, grafico, curve di livello con applicazioni economiche. Calcolo differenziale: definizione di derivata parziale, calcolo ed interpretazione geometrica; gradiente; differenziale; piano tangente al grafico della funzione in un punto. Teorema di Bolzano teorema di Weierstrass; teorema di Fermat.