Appunti metodi matematici

PRODOTTI DI MATRICI

AxB può essere fatto solo se le dimensioni delle due matrici (mxm kxl) sono tali che m

coincide a k ciò che il numero di colonne della matrice nel primo pezzo della moltiplicazione

coincide al numero di righe del secondo pezzo.

(i numeri esterni cerchiati in rosso sono quelli che definiranno le dimensioni del prodotto)

- Prodotto righe per colonne→può essere applicato solo per vettori e matrici che

condividono il numero di righe o di colonne

E.g. faccio (0x1)+(-1x1)=-1 e poi passo alla riga

sotto→(1x1)+(0x1)=1 quindi come risultato avrò

MATRICI DELLE ROTAZIONI per qualsiasi valore α è in grado di ruotare un qualsiasi

valore di α gradi in direzione antioraria

Geometricamente, le matrici rappresentano operazioni di deformazione di vettori.

In prodotti tra due matrici 2x2*2x2 con prodotto 2x2 a1,1 sarà il prodotto scalare tra la prima

riga della prima matrice e la prima colonna della seconda matrice. a1,2 sarà il prodotto

scalare della prima riga della prima matrice con la seconda colonna della seconda matrice e

così via.

Matrice identità= elemento neutro nel prodotto di matrici, tutte le matrici che hanno 1 sulla

diagonale principale e 0 per tutti gli altri valori

Matrice simmetrica= una matrice è detta simmetrica se è solo se essa coincide con la sua

trasposta

La traccia di una matrice è un numero pari alla somma degli elementi sulla sua diagonale.

→

() = ∑ + +... +

11 22

=1

Determinante di una matrice= il determinante di una matrice quadrata A è un valore

numerico associato ai prodotti delle entrate della matrice stessa. Geometricamente, il

determinante può essere interpretato come l'area di un parallelogramma generato dalle

colonne della matrice. Tuttavia, è importante notare che questa analogia è valida solo

quando entrambi i vettori colonna della matrice cadono nel primo quadrante del piano

cartesiano. In caso contrario, se almeno uno dei vettori colonna cade in un quadrante

diverso, il determinante può risultare negativo.

Matrici inverse= data una matrice quadrata A, la sua inversa è quella matrice che annulla la

trasformazione geometrica A. L’inversa è dunque una “ricetta” per annullare la

trasformazione geometrica codificata in una matrice.

L’inversa di una matrice 2x2 è→

Per verificare se una matrice è invertibile, dobbiamo calcolarne il determinante, se il

determinante è diverso da 0 allora è invertibile.

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DA INTEGRARE

Utilizzi

Una matrice è un modo utile per rappresentare la relazione di dati.

Le matrici quadrate e simmetriche vengono mappate in grafi semplici dove contano solo la

struttura e la connessione tra i nodi (ogni riga della matrice originale=1 nodo). Queste matrici

sono usate in Cognitive Network Science.

Le matrici reali quadrate ma non simmetriche vengono mappate in grafi diretti e pesati, dove

le connessioni hanno una direzione e un peso. Queste matrici vengono usate in Network

Psychometrics.

Semantic priming→matrici di adiacenza (vedi video matrici 2 min 39:45)

Una matrice è un modo di rappresentare una struttura di connessioni tra nodi.

Collins e Loftus proposero un modello data-driven della memoria semantica dove i concetti

fossero rappresentati dai nodi connessi da associazioni semantiche. I concetti più vicini

semanticamente si raggruppano sulla rete spiegando quindi il fenomeno di semantic

priming. Le matrici possono testare questi modelli in termini matematici.

Epskamp e colleghi hanno costruito un nuovo tipo di modelli, detti psychometric networks,

dove i nodi rappresentano item di scale psicometriche e le connessioni indicano correlazioni

positive o negative tra item. Poiché gli item codificano esperienze, una psychometric

network identifica come i vari sintomi osservabili di costrutti psicometrici invisibili/latenti

tendono a raggrupparsi e concorrere tra di loro. La matematica di questi modelli psicologici

si basa su matrici reali quadrate ma non simmetriche.

Analisi fattoriale

È una tecnica di riduzione dimensionale di dati vettoriali. Mira a costruire variabili sintetiche

come combinazioni lineari di dati misurabili e queste variabili sono dette fattori latenti e non

possono essere misurate direttamente.

Il punto di partenza dell’analisi fattoriale è l’equazione

Quindi (matrice dei dati osservati)=(matrice dei fattori

latenti)x(matrice dell'errore)

Dove:

Уp è un vettore colonna che contiene la lista di k responsi dati dal soggetto P

Ηp è un vettore colonna con m entrate con valori dei fattori latenti

Λ è una matrice kxm che trasforma i valori dei fattori latenti in responsi agli item a meno che

non ci sia un termine di errore in ∈p.

Risolvere un modello fattoriale vuol dire trovare le allocazioni degli item sulle variabili latenti

tali da ottimizzare una certa quantità.

Autovalori e autovettori

Esistono dei vettori speciali che non cambiano nè direzione nè verso ma solo modulo se

trasformati da una matrice. Questi autovettori sono tali da trasformarsi in loro stessi, a

meno di un fattore scalare, quando trasformati in una matrice.

Autovettore=data una matrice quadrata A, un autovettore di A è un vettore x tale che

ovvero tale da trasformarsi in sè stesso a meno di uno scalare sotto l’azione di A.

= λ λ

Il fattore scalare è detto autovalore.

Per calcolare autovalori e autovettori per una matrice 2x2 possiamo usare le regole

algebriche dei vettori, ricordando che abbiamo due quantità vettoriali in ciascun membro,

sottraendo la medesima quantità vettoriale ci riportiamo a:

= λ → − λ = λ − λ → ( − λ) = 0

Consideriamo una matrice 2x2 generica:

λ

1. Calcolo degli Autovalori ( ): λ

Gli autovalori sono le soluzioni dell'equazione caratteristica, che è data da (detA - I)=0,

λ

dove è l'autovalore e I è la matrice identità. Quindi, risolvi l'equazione:

Trova i valori di λ che soddisfano questa equazione. Questi saranno gli autovalori della

matrice.

2. Calcolo degli Autovettori (v):

Per ogni autovalore trovato, risolvi il sistema di equazioni lineari (A - I)=0, dove v è

λ λ

l'autovettore. Quindi, risolvi:

Risolvi il sistema di equazioni per trovare i valori di x e y. L'autovettore sarà dato da

L’equazione det ( − = 0 è detta equazione caratteristica e permette di trovare gli

)

autovalori di una matrice quadrata A.

L’identificazione di autovettori e autovalori dai dati può essere utile per semplificare la

trattazione dei dati.

La Principal Component Analysis (PCA) è una tecnica statistica in grado di identificare delle

«dimensioni di massima escursione» nei dati. Note queste dimensioni, si può avere

informazione sulla variabilità dei dati.

Nell’esempio accanto, identificare i due vettori

e vuol dire identificare due direzioni

1 2

principali sulle quali crescono o si

distribuiscono i dati. Avere queste dimensioni

vuol dire costruire un sistema di riferimento

dove si possono mappare i dati, e.g. in alto a

destra, in basso a sinistra, etc. In generale,

l’obiettivo della PCA è trovare una matrice

tale da trasformare i dati in input altamente

,

correlati e complessi, in dati di output che

appartengano in un certo modo alle dimensioni di massima escursione (e.g. in termini di

proiezioni) e che possano quindi essere facilmente raggruppati.

La PCA mira a trovare la matrice V tale che:

=

Trovare V passa proprio dall’identificazione di autovettori e autovalori in un gruppo di dati.

La PCA è utilizzata in molti contesti psicologici, ad esempio, l’analisi delle emozioni a partire

dalle espressioni facciali.

Mappando delle foto ad alta risoluzione in texture 2D, è possibile mappare centinaia di foto

di volti con emozioni diverse in un problema matematico alla PCA.

Gli autovettori rappresentano delle espressioni archetipiche, che sono riportate da persone

diverse. Queste expressioni prendono il nome di eigenfaces (dall’inglese eigenvector per

autovettore). Queste facce rappresentano dei «vettori» di una base in grado di ricostruire

per combinazione lineare gran parte di tutte le altre facce e sono 8.

Correlazioni

Vettori e matrici possono essere usati per rappresentare dati psicologici . multidimensionali e

identificare correlazioni tra di essi.

Due set di dati psicologici = {} e = {} sono detti direttamente proporzionali se il

rapporto / è una costante k per ogni punto considerato. Se ciò accade, si dice che la

grandezza X è direttamente proporzionale a Y e la loro costante di diretta proporzionalità è

K. Si scrive poi che: =

.

e.g.: Dei partecipanti ad un esperimento psicologico vengono pagati 5 EUR all’ora.

Un partecipante lavora per 1h. Un altro partecipante lavora per 2h e un terzo per 4h. Dunque

il loro orario lavorativo è = {1,2,4} e i rispettivi pagamenti sono = {5,10,20}. Le grandezze

«ore lavorate» e «pagamento» sono direttamente proporzionali e infatti Y = = 5.

La diretta proporzionalità richiede che i punti siano allineati lungo una retta, ma questa

condizione raramente si verifica a causa delle inevitabili incertezze associate alle

misurazioni. Ogni dato, essendo una misurazione, è soggetto a margini di incertezza che

possono influenzarne il valore. Anche se le grandezze fossero direttamente proporzionali nei

loro valori reali, i valori misurati (ovvero il valore vero ± margine di incertezza) sarebbero

soggetti a rumore e potenzialmente disallineati.

In psicologia si introduce allora il concetto di correlazione come versione più rilassata

della diretta proporzionalità. Nella diretta proporzionalità, all’aumentare di una grandezza

anche l’altra deve aumentare mantenendosi il loro rapporto costante. Nella correlazione,

all’aumentare di una grandezza l’altra può aumentare o diminuire ma senza che il loro

rapporto debba per forza mantenersi costante. In questo senso la correlazione è una

versione più generale di diretta proporzionalità e può anche essere legata ad aumenti o

decrementi.

Correlazione di Pearson

Dati due set di dati = {} e = {} , il coefficiente di correlazione di Pearson è dato d