Metodi matematici dell'economia - Appunti

Cenni di teoria degli insiemi

Nozione di insieme; descrizione di un insieme; uguaglianza tra insiemi; inclusione; insieme delle parti; operazioni tra insiemi (unione, intersezione, differenza, complementazione); prodotto cartesiano.

Insiemi numerici

Numeri naturali (enunciato ed applicazioni del principio di induzione), relativi, razionali, irrazionali, reali. Irrazionalità di √2 (con dimostrazione). Struttura algebrica e struttura d'ordine, compatibilità tra le due strutture. Valore assoluto di un numero reale. Operazione di logaritmo e sue proprietà.

Retta reale e sue proprietà

Rappresentazione geometrica dei numeri reali. Intervalli. Sottoinsiemi di R: massimo e minimo, maggioranti e minoranti, limitatezza superiore ed inferiore, estremo superiore ed inferiore; intorno di un punto.

Richiami su equazioni e disequazioni

Elementi di geometria analitica

Piano e coordinate cartesiane; distanza di due punti; equazione della retta, della circonferenza, della parabola. Interpretazione del coefficiente angolare di una retta; retta per due punti; rette parallele e perpendicolari; distanza di un punto da una retta; intersezione di rette.

Lo spazio Rⁿ

Vettori; operazioni tra vettori (somma, prodotto per uno scalare, prodotto scalare). Combinazione lineare di vettori. Equazione parametrica della retta e del segmento. Insiemi convessi. Convessità delle soluzioni di una disequazione lineare (con dimostrazione). L’insieme delle soluzioni di una disequazione lineare in due variabili ax+by+c>0 è un semipiano (con dimostrazione).

Il concetto di relazione e di funzione

Definizioni.

Funzioni reali di variabile reale

Grafico e rappresentazione grafica; operazioni tra funzioni; funzioni iniettive; funzioni invertibili e funzione inversa; funzioni elementari (lineari, affini, quadratiche, potenza, esponenziali, logaritmiche); funzioni composte; funzioni limitate, monotone; funzioni convesse, strettamente convesse, concave e strettamente concave: definizione con interpretazione geometrica. Caratterizzazione della convessità mediante l'epigrafico (con dimostrazione). Massimi e minimi relativi ed assoluti di una funzione.

Limiti e continuità

Definizione di punto di accumulazione e di punto isolato. Definizione di limite; esempi di funzioni che non ammettono limite; limiti delle funzioni elementari. Teorema di unicità del limite (con dimostrazione) e della permanenza del segno (con dimostrazione). Operazioni con i limiti: limite di una somma, di un prodotto, di un quoziente, di una funzione composta. Forme indeterminate. Limiti notevoli. Funzioni continue: continuità delle funzioni elementari, continuità delle funzioni composte da funzioni elementari, esempi di funzioni non continue. Teorema di Bolzano (con dimostrazione). Una funzione monotona che ha come codominio un intervallo è continua (con dimostrazione). Teorema di Weierstrass. Teorema di esistenza degli zeri con applicazione alla ricerca di soluzioni approssimate di un’equazione. Asintoti orizzontali, verticali, obliqui.

Calcolo differenziale per funzioni in una variabile

Rapporto incrementale e sua interpretazione geometrica; derivata e sua interpretazione geometrica; equazione della retta tangente; derivate delle funzioni elementari (in particolare della funzione potenza e della funzione esponenziale (con dimostrazione); algebra delle derivate; derivate di funzioni composte; derivate di ordine successivo; continuità delle funzioni derivabili in un punto (con dimostrazione); esempio di funzione continua ma non derivabile in un punto.

Cenni di teoria degli insiemi (ripetizione)

Nozione di insieme; descrizione di un insieme; uguaglianza tra insiemi; inclusione; insieme delle parti; operazioni tra insiemi (unione, intersezione, differenza, complementazione); prodotto cartesiano.

Insiemi numerici (ripetizione)

Numeri naturali (enunciato ed applicazioni del principio di induzione), relativi, razionali, irrazionali, reali. Irrazionalità di √2 (con dimostrazione). Struttura algebrica e struttura d'ordine, compatibilità tra le due strutture. Valore assoluto di un numero reale. Operazione di logaritmo e sue proprietà. Retta reale e sue proprietà: rappresentazione geometrica dei numeri reali. Intervalli. Sottoinsiemi di R: massimo e minimo, maggioranti e minoranti, limitatezza superiore ed inferiore, estremo superiore ed inferiore; intorno di un punto.

Richiami su equazioni e disequazioni (ripetizione)

Elementi di geometria analitica (ripetizione)

Piano e coordinate cartesiane; distanza di due punti; equazione della retta, della circonferenza, della parabola. Interpretazione del coefficiente angolare di una retta.