Metodi matematici dell'economia - Appunti

Programma

Cenni di teoria degli insiemi: nozione di insieme; descrizione di un insieme; uguaglianza tra insiemi; inclusione; insieme delle parti; operazioni tra insiemi (unione, intersezione, differenza, complementazione); prodotto cartesiano.

Insiemi numerici: numeri naturali (enunciato ed applicazioni del principio di induzione), relativi, razionali, irrazionali, reali. Irrazionalità di √2 _{(con dimostrazione)}. Struttura algebrica e struttura d’ordine, compatibilità tra le due strutture. Valore assoluto di un numero reale. Operazione di logaritmo e sue proprietà. Retta reale e sue proprietà: rappresentazione geometrica dei numeri reali. Intervalli. Sottoinsiemi di R: massimo e minimo, maggioranti e minoranti, limitatezza superiore ed inferiore, estremo superiore ed inferiore; intorno di un punto.

Richiami su equazioni e disequazioni.

Elementi di geometria analitica: piano e coordinate cartesiane; distanza di due punti; equazione della retta, della circonferenza, della parabola. Interpretazione del coefficiente angolare di una retta; retta per due punti; rette parallele e perpendicolari; distanza di un punto da un retta; intersezione di rette.

Lo spazio Rⁿ: vettori; operazioni tra vettori (somma, prodotto per uno scalare, prodotto scalare). Combinazione lineare di vettori. Equazione parametrica della retta e del segmento. Insiemi convessi. Convessità delle soluzioni di una disequazione lineare _{(con dimostrazione)}. L’insieme delle soluzioni di una disequazione lineare in due variabili ax+by+c>0 è un semipiano _{(con dimostrazione)}.

Il concetto di relazione e di funzione: definizioni.

Funzioni reali di variabile reale: grafico e rappresentazione grafica; operazioni tra funzioni; funzioni iniettive; funzioni invertibili e funzione inversa; funzioni elementari (lineari, affini, quadratiche, potenza, esponenziali, logaritmiche); funzioni composte; funzioni limitate, monotone; funzioni convesse, strettamente convesse, concave e strettamente concave: definizione con interpretazione geometrica. Caratterizzazione della convessità mediante l'epigrafico _{(con dimostrazione)}. Massimi e minimi relativi ed assoluti di una funzione.

Limiti e continuità: definizione di punto di accumulazione e di punto isolato. Definizione di limite; esempi di funzioni che non ammettono limite; limiti delle funzioni elementari. Teorema di unicità del limite _{(con dimostrazione)} e della permanenza del segno _{(con dimostrazione)}. Operazioni con i limiti: limite di una somma, di un prodotto, di un quoziente, di una funzione composta. Forme indeterminate. Limiti notevoli. Funzioni continue: continuità delle funzioni elementari, continuità delle funzioni composte da funzioni elementari, esempi di funzioni non continue. Teorema di Bolzano _{(con dimostrazione)}. Una funzione monotona che ha come codominio un intervallo è continua _{(con dimostrazione)}. Teorema di Weierstrass. Teorema di esistenza degli zeri con applicazione alla ricerca di soluzioni approssimate di un'equazione. Asintoti orizzontali, verticali, obliqui.

Calcolo differenziale per funzioni in una variabile: rapporto incrementale e sua interpretazione geometrica; derivate e sua interpretazione geometrica; equazione della retta tangente; derivate delle funzioni elementari (in particolare della funzione potenza e della funzione esponenziale _{(con dimostrazione)}; algebra delle derivate; derivate di funzioni composte; derivate di ordine successivo; continuità delle funzioni derivabili in un punto _{(con dimostrazione)}; esempio di funzione continua ma non derivabile in un punto.

Funzioni reali di due variabili reali:

dominio, grafico, curve di livello con applicazioni economiche; derivate parziali: definizione e calcolo; gradiente; piano tangente al grafico della funzione in un punto. Funzioni convesse con caratterizzazione mediante gli insiemi di sottolivello (con dimostrazione). Teorema di Bolzano (con dimostrazione) con applicazioni al calcolo del codominio di una funzione in due variabili; soluzione di problemi di ottimizzazione libera e vincolata con applicazioni economiche; un esempio di programmazione lineare; teorema di Weierstrass; teorema di Fermat (con dimostrazione). Cenni alla soluzione di problemi di ottimizzazione vincolata mediante le curve di livello.

Matrici e sistemi lineari:

definizione di matrice; matrice quadrata, diagonale, triangolare inferiore e superiore; matrice unitaria; matrice trasposta. Operazioni tra matrici e relative proprietà. Invertibilità e matrice inversa di una matrice quadrata; unicità della matrice inversa (con dimostrazione); operazioni elementari sulle righe di una matrice; complemento algebrico; determinante di una matrice quadrata e sue proprietà (con dimostrazione delle due proprietà seguenti: il determinante di una matrice con due righe uguali è nullo e la somma dei prodotti tra gli elementi di una riga e i complementi algebrici di una riga distinta è zero); matrici invertibili e determinante (dimostrazione del teorema det(A)≠0 e solo se A è invertibile e A^-1=1/|A|*{A^*}). Definizione di rango come ordine massimo dei minori non nulli. Calcolo del rango di una matrice mediante la definizione e mediante il teorema degli orlati. Riduzione di una matrice a forma canonica. Teorema fondamentale sulle matrici (con dimostrazione). Invarianza per trasformazioni elementari dell'ordine p della matrice unitaria nella forma canonica di una matrice con applicazione al calcolo del rango di una matrice. Sistemi di m equazioni lineari in n incognite; matrice dei coefficienti e matrice completa; sistemi omogenei; sistemi compatibili, incompatibili, determinati, indeterminati. Il metodo di eliminazione di Gauss per la risoluzione di sistemi di m equazioni in n incognite. Il teorema di Rouché-Capelli (con dimostrazione). Il caso dei sistemi quadrati: inversa e formula risolutiva per un sistema quadrato con determinante diverso da zero (con dimostrazione); il teorema di Cramer (con dimostrazione). Risoluzione di sistemi omogenei. Sistemi lineari con parametro: discussione della compatibilità.

V. Aversa, Metodi Quantitativi delle decisioni, Liguori Editore 2010.

Prodotto Cartesiano

Dato due insiemi A e B si definisce prodotto cartesiano di A e B (AxB) l'insieme delle coppie (a,b) con a ∈ A e b ∈ B.

AxB = {(a,b) con a ∈ A e b ∈ B}

Esempio

Dato A={1,2} e B={1,2,3,4} costruire AxB e BxA e verificare se sono uguali.

AxB = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4)}

BxA = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}

Per effettuare il prodotto cartesiano si individuano tutte le coppie possibili.

AxB ≠ BxA

Specificate sempre il verso!

1. MODULO (O VALORE ASSOLUTO)

Dato x ∈ ℝ

• |x| = x se x ≥ 0
• |x| = -x se x < 0

Esempio: |8| = 8

PROPRIETÀ DEL VALORE ASSOLUTO

1. |x| ≥ 0
2. |x| = 0 ⇔ x = 0
3. |x| = |-x|
4. |x·y| = |x|·|y|
5. |x+y| ≠ |x| + |y|

Vale però:

|x+y| ≤ |x| + |y| PROPRIETÀ TRIANGOLARE

5. |x| < a se e solo se -a < x < a
6. |x| ≥ a se e solo se x ≤ -a oppure x ≥ a

esempio:

• |x| < K
• |x| ≥ K

ESERCIZIO eliminare il modulo dall’espressione seguente:

2x+1 + 3-4x

2x+1 =

• 2x+1 se 2x+1 ≥ 0
• -2x-1 se 2x+1 < 0

3-4x =

• 3-4x se 3-4x ≥ 0
• -3+4x se 3-4x < 0

2x+1 + 3-4x =

• 2x+1 + 3-4x se 2x+1 ≥ 0 e 3-4x ≥ 0
• 2x+1 - 3+4x se 2x+1 ≥ 0 e 3-4x < 0
• -2x-1 + 3-4x se 2x+1 < 0 e 3-4x ≥ 0
• -2x-1 - 3+4x se 2x+1 < 0 e 3-4x < 0

Esempio:

x = 8 y = -3

Esempio: x+y = 8 - 3 = |5| = 5

x+(y) = 8 - (-3) = 8+3 = 11

Nota: questa condizione vale anche nel caso in cui all’interno ci sia un’espressione che ha una variabile.

Conclusioni:

Valore del limite:

x < 3/4

x <-3/4

Conclusioni:

Valore del limite 1:

x < 3/4

x < -3/4

Conclusioni:

valore del limite1:

x < -4/2

ESERCIZIO

eliminare modulo espressione: 2x+1 = 3-4x

Risposta:

• 3x+4

Valore di y:

2x-1 3/4