Riassunto Multibody Dynamics

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Author: andrea.monacaa

Revisionato il 31/05/2026

di andrea.monacaa

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Voto 30/30• Introduzione alle problematiche Multibody• Richiami di cinematica del corpo rigido e dei sistemi articolati piani• Approccio Multibody per la cinematica dei sistemi …

Esame Multibody Dynamics

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Pellicano Francesco

Università Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia

A.A. 2019-2020

45 pagine

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MATRICI DI ROTAZIONE

Il metodo piú efficace per rappresentare la posizione relativa tra due sistemi di riferimento de rotante, é basato sull'uso delle matrici di rotazione.

Il vettore V nel sistema fisso

V = { X \ Y } = X_i + Y_j

con:

| i = i*cosθ - j*sinθ i = j*sinθ + j*cosθ

Il vettore V nel sistema rotante

V = { x*cosθ + y*sinθ -x*sinθ + y*cosθ } = { X \ Y }

Introduciamo quindi la matrice di rotazione per il sistema con assi... θ

V = [ cosθ sinθ -sinθ cosθ ] { x \ y } = R V

L₁a fissate le coordinate del vettore base, note le ordinate del vettore fisso

Per trovare V in funzione di V si usa l'inversa della... R

v = R^-1 V = [ cosθ -sinθ sinθ cosθ ] { X \ Y } = (Rv)

matrice di rotazione

Matrice di Rotazione

Il metodo più efficace per rappresentare la posizione relativa tra due sistemi di riferimento di rotazione è basato sull'uso della matrice di rotazione

- Il vettore V nel sistema fisso

V = {X_f Y_f} = X_f i + Y_f j

V = {x cosθ + y sinθ, -x sinθ + y cosθ} = {X Y}

Introduciamo quindi la matrice di rotazione per il sistema di assi rotato

V = [cosθ sinθ; -sinθ cosθ] [x y]^T = R V

Per trovare V in funzione di V si usa l'inversa della R

V = R^-1 V = [cosθ -sinθ; sinθ cosθ] {X Y} = R V

TECNICA AUGMENTATA

n corpi

Senza vincoli di moto:

Pertanto dalla funzione del PLV:

_{dq^T [H_{q_i} - Q_e] = 0}

e sappiamo che:

_{[^Ψ_q dq = 0]}

Poiché se è vero questo, possiamo anche che è nullo il prodotto scalare

del vettore ^Ψ_q dq per un arbitraio vettore λ:

[^T Ψ_q dq = 0]

e anche

[dq^T Ψ_q λ] = 0

Sommiamo questo termine nell'espressione del PLV:

_{dq^T [H_{q_i} - Q_e + Ψ^T_q λ] = 0}

Tuttavia i coefficienti degli elementi del vettore dq non possono essere imposti

nulli a zero, poiché le coordinate sono lineari indipendenti.

Ricordiamo il pentabamento di q - [q_i]

e ordino a partire con

(H_{q_e} Ψ_{q_i} )

[dq^T dq_d^T]

(M_ii M_id)

[q_i]

- [Q_{e_i}

+ [Ψ^T_{q_i}

= 0

Sviluppo:

dq^T [M_ii qi + M_id qd - Q_ei + Ψ^T_{q_i} λ]

+ dq_d^T [M_id^T q_i + M_dd qd - Q_{e_d} + Ψ_qd^T λ]

= 0

Il vettore dei moltiplicatori di Lagrange po quali come soluzione logica come

risolutive unica del sistema di equazioni alefriche

[_{^{λ = ψ_{q_e}^T (M_{e_i} + M_d_{q_d} - Q_{e_i}) ] [ eq ]e quindi onde (dalla 2)}}

__{^q_i} ' + Mi.di.q_d - Q_{e_i}+ ψ^T_{q_i}λ= 0

In definite:

[M_{d_{q_{_i}]^{▩_d^d}}}+

[ψ^T_q

Q_{e_i}

Q_{e_d}

↓

• q^' + Ψ^Tλ = Q_e |+ Q_q

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