Riassunto Multibody Dynamics

Matrice di rotazione

Il metodo più efficace per rappresentare la posizione relativa tra due sistemi di riferimento in rotazione, è basato sull'uso della matrice di rotazione.

- Il vettore V nel sistema fisso

V = ^{[ x ]} _{[ y ]} = x_i + y_j

con ^{[ x' ]} _{[ y' ]} = ^{[ x cosθ + y sinθ ]} _{[ -x sinθ + y cosθ ]}

- Il vettore V nel sistema ruotato:

\ = ^{[ cosθ sinθ ]} _{[ -sinθ cosθ ]} ^{[ x ]} _{[ y ]} = \\tilde{R} \overrightarrow{V}

La A forma le coordinate del vettore basso, note le coordinate del suo fisso

Per trovare V in funzione di V', si usa l'inverso della R

V = \\tilde{R}^{-1} \overrightarrow{V'} = ^{[ cosθ -sinθ ]} _{[ sinθ cosθ ]} ^{[ x' ]} _{[ y' ]} = R\overrightarrow{V}

Matrice di rotazione

Tecnica Aumentata

Parto dalla forma nel PLV e suppongo che:

(_q^Tdq=0)

Quindi se è vero questo, è possibile che ci è nullo il prodotto scalare del vettore _ψq^Tλ:

_Ẋ^Tψ_q^Tλ=0

Sommiamo questo termine nello sviluppo del PLV:

dq^T[_H̊q-_Qe+_ψq^Tλ]=0

Tuttavia i coefficienti degli elementi del vettore dq non possono essere impasti negli zeri, perché le coordinate non sono indipendenti.

Ricordiamo il partizionamento di q=

d_q^T[_ṅiiq̇_i^T+_Mhq̊_d^T-_Qei,d+_ψi,q^Tλ]

Includiamo anche _Hii, _Hhd, _Qei,d e _qi,q^T:

[d_qi^Td_qd^T]( _ḤiiḤd) _{q̇i/q̇d -[Qei,d] +[ψq^Tλ]=0}

Sviluppo:

d_qi^T(_Ḥiiq̇ _i+_Ḥdq̊_d -_Qei+_ψi,q^Tλ) + d_qd^T(_Ḥiiq̇ _i+_Ḥdq̊_d -_Qei+_ψi^Tλ) = 0

Relazione tra il corpo e la risultante e vincoli con le reazioni.

Le reazioni sono una forza \(F\) e un momento \(H\)

Sul corpo è la reazione sono \(-\vec{F}\) e \(-\vec{H}\)

Definisco quindi il vettore:

\[\begin{bmatrix}\vec{F}\\\vec{H}\end{bmatrix}\]

Posso quindi esprimere le forze che ricevono segnali opposti per i due corpi in forma matriciale:

\[\begin{bmatrix}\vec{F}\\\vec{H}\end{bmatrix}\] = \( \lambda = \begin{bmatrix}\vec{F}\end{bmatrix}\)

Riporto forze e momenti estesi rispetto alle sistema mobile (sul con nel poliedici)

\[\begin{bmatrix}\vec{Q}_n = \vec{F}\\\vec{Q}_c = \vec{M} + (\vec{\mu}_p \times \vec{F})\cdot \vec{k}\end{bmatrix}\]

Posso quindi scrivere le reazioni vincolari generalizzate per i due sistemi equivalenti:

\[\begin{bmatrix}\vec{Q}_{c_i} = \begin{bmatrix}\vec{F}\\\vec{H} + \vec{F} (\vec{R}^{*} \sin\theta)\end{bmatrix}\] = \[\begin{bmatrix}\vec{Q}_{c_j} = -\begin{bmatrix}\vec{F}\\\vec{M} + \vec{F} (\vec{R}^{*} \cdot \vec{\mu}_p)\end{bmatrix}\]\]

Che posso scrivere come:

\[\begin{bmatrix}\vec{Q}_{c_i} = \begin{bmatrix}- \vec{\frac{I}{\mu_p \theta}} 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\vec{F}\\\vec{M}\end{bmatrix}\] = \[\begin{bmatrix}\vec{Q}_{c_j} = -\begin{bmatrix}- \vec{\frac{I}{\mu_p \theta}} 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\vec{F}\\\vec{M}\end{bmatrix}\]\]

Quindi

\[\vec{Q}_{c_i} = -\vec{Q}_{t}^{-1} \vec{\lambda}\]

\[\vec{Q}_{c_j} = -\vec{\frac{1}{q} w} \vec{\lambda}\]

Le forze di reazione generalizzate possono quindi essere espresse in termini di moltiplici sub dove presenti gli equilibri di umidi e cinematico.

Per le proprietà delle matrici ai pedici si può omettere che:

R^T = R^o = (cos   -sin) (sin   cos) (-sin   -cos) (cos   -sin)

= (1   0) (0   1) = I

^upR^oTR^o_np = (^up1) (⁰) (_xp) (_yp)

(^upR^oTR^o_np = (^up1) ) = (^up1)² = (lp)²

Per cui la reazione diventa:

[-F]R^o_np = m(l_p)²

l^p = (^up1)^(1/2)

Perciò

dW_i = [l_i + m(l_p)]²Θ̇]

dW_i = [+m(l_p)] Θ̇ = J_pΘ̇

J_p = (J) (+m(lp)²)

Il momento d'inerzia esteso ad un punto _pi sul corpo è esplicito che

Il momento d'inerzia riferito al centro di

massa + il prodotto della massa per il quadrato della distanza

tra p_i e il centro di massa.

- Sostituire quindi nelle espressioni dell'energia virtuale:

∫[Jv_i = ∫q^T [∫V ρ q^L^T L dΩ] + ∫V ρ q^L^T L dα dν]

Osservo quindi che l'integrale principale è diviso in due parti:

[q_i', q_i''] - velocità lineare configurata

∫[Jv_i = q_i' ∫V ρ q^L^T L dα da + q_i'' ∫V ρ q^L^T L dν da]

- Abbiamo quindi metodo il vettore delle forze centrifughe:

[Qv_i = - ∫V ρ L^T L q̇ dν]

Quindi possiamo riscrivere il lavoro virtuale in forma completa:

∫[Jv_i = [H q̇ - Qv_i] dq]

NB: Osservare che le forme ortotrope ha solo le pure componenti

[Qv_i = - ( ∫V ρ q^L^T L dν ) q̇ ]

Valore che:

Qv_i = - ( ∫V ρ [0^T q̇] dν ) = q̇^2 [ ∫V ρ u̇ dν ]

Ricordando il significato del vettore q = ^R_di^q_ai

possiamo scrivere:

ψ_ai^q¯ + ψ_t·qi· = - [ψ_aiq·qi + 2ψ_ai,t·q + ψ_tt]

da cui:

^q_di = ^q_ai·ψ_ai·q¯ - ψ_ai,ci^-1· [(ψ_ai·a·)q¯ + 2ψ_ai,tq¯ + ψ_tt]

quindi posso riscrivere ¹d come:

[¹d := ψ_di·q·i + ψ_d]

Questo sistema può essere usato per scrivere il vettore totale delle accelerazioni

del sistema in termini di queste incognite:

[ ^q_d ] [ψ_di·q·i + ψ_d] [ψ_di]_qi + [ψ_d] ∈

= [ I | 0 ]·qi + [ψ_d]

= [ B^-1 + I¯di ]_[xi ]

[ ^q¯ = Bοq·i + γ_i