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q(t)
m
p(t)
C
Introduzione
Statica
Lo studio dei corpi in equilibrio.
Cinematica
Lo studio del moto dei corpi a prescindere delle cause.
Dinamica
Lo studio dei corpi in movimento e delle forze che lo causano.
La Dinamica delle Strutture si riferisce allo studio del moto intorno alla condizione di equilibrio statico.
Esempio
In x
p(t) - fE - fV = fi
p(t) - k u(t) - c ũ(t) = m ü(t)
Equazione di equilibrio dinamico
m ü(t) + c ũ(t) + k u(t) = p(t)
Equazione del moto
In y
y - mg = 0
Equilibrio statico
Risposta in Energia
Lavoro elementare: dk = F · dx = F · x' dt = P dt
- Forze generalizzate
- Spostamento elementare
- Potenza
Le forze possono essere classificate da diversi modi:
- Interne/Esterne: resistente, dissipativa, d'inerzia
- Concentrate/Distribuite
- Conservative/Non conservative (fc e fnc)
Energia Potenziale
V(x) = ∫xxR fc dx
K1-2 = ∫X1X2 fc dx
= ∫X1XR fc dx - ∫X2XR fc dx
K1-2 = V1 - V2 = -ΔV1-2
δKc = -δV
Il lavoro elementare delle forze conservative è uguale, con segno opposto, alla variazione dell’energia potenziale.
Applicazione del metodo variazionale al pendolo matematico
X(0) = l
X(t) = l sinθ
Y(0) = l
Y(t) = l cosθ
x = l sinθ
ẋ = l cosθ θ̇
ẏ = -l sinθ θ̇
in [t₁,t₁]
Si opera il principio di Hamilton
T = 1/2 m (Lθ̇)2 = 1/2 m L2 θ̇2
=> δT = mL2 θ̇ δθ̇
V = -(mg) l (1-cosθ)
=> δV = mgl sinθ δθ
∫t₁t₂ (δT-δV) dt = ∫t₁t₂ (mL2 θ̇ δθ̇ - mgl sinθ δθ) dt = 0
[δθ(t₂) - 0] - [δθ(t₁) - 0]
NB: ∫t₁t₂ δθ̇ dt = ∫t₁t₂ δt/(d/dt(δθ)) dt = θ̇δθ|t₁t₂ - ∫t₁t₂ θ̇ δθ dt
Allora ∫t₁t₂ (Lθ̇ δθ + g sinθ δθ) dt = 0 ∀δθ ≠ 0
∫t₁t₂ (θ̈ + g/l sinθ) δθ dt = 0
= 0 ≠ 0
⇒ θ̈ + g/l sinθ = 0
Eq. del moto
Classifica dei sistemi strutturali
rigidezza concentrata
- SDOFs
- MDOFs
rigidezza distribuita
- 1
- 2
- 3
- 4
Oscillatore elementare
mensola
corpo deformabile
ponte
Corpo rigido
Disimetria di rigidezza del "tavolino"
"Tavolino"
Trave
Piastre, Lastre, Gusci, ...
Dinamica dei corpi rigidi
Considerando l'ipotesi di piccoli spostamenti...
- Cinematica
u = uo + Θo × x
Θ = Θo
Si può formulare anche in forma matriciale:
Ṡ = Ao ṠoS̈ = Ao S̈o
Applicazione
Formulare le eq del moto di un corpo bidimensionale nel piano
Ipotesi: L >> h ⇒ P = CM = 0
Entrambe le forze generalizzate si considerano applicate in O
Cinematica del corpo
S = A0 · S0
- x
- y
- θ
- 1 0 L
- 0 1 h
- 0 0 1
Dinamica
fe = M0 S0 con M0 = m·
feo = K0 So con K0 =
- 1 · ·
- · 1 ·
- · · b²+h²/12
- 12EI/L³ 6EI/L²
- 6EI/L² 4EI/L
- GEI/L² 4EI/L
Metodo diretto
φ° · φ° · fr · fi = 0
MoSo + Ko So = O
La seconda eq è disaccoppiata!
Formulazione delle eqs del moto col metodo diretto - Newton
In x
(N + N' dx) - N' + px dx - ρ dx ü = 0
ü - N' = px
(c(x) ü(x,t) - EA u''(x,t) = px(x,t))
In θ Si trascurano i termini dipendenti di dx²
-T dx + (N' + N' dx) - N' = 0 T = N'
In y
T - (T' + T' dx) + py dx - ρ dx ü = 0
N'' + ρ ü'' = py
EI u''''(x,t) + ρ(x) ü(x,t) = py(x,t)
Per risolvere queste equazioni dobbiamo conoscere le condizioni iniziali del sistema
- u(x,0) = uo(x)
- u̇(x,0) = u̇o(x)
- u(x,0) = vo(x)
- u̇(x,0) = v̇o(x)
u(t) = e-ξωnt [B1 cos(ω0t) + B2 sin(ω0t)]
ü(t) = -ωn e-ξωnt [B1 cos(ω0t) + B2 sin(ω0t)]
-ω0 e-ξωnt [B1 sin(ω0t) - B2 cos(ω0t)]
u(0) = B1 = u0
ü(0) = -ξωnB1 + ω0 B2 = ṵ0 ⟹ B2 = ṵ0 + ξωnu0/ω0
u(t) = e-ξωnt (u0 cos(ω0t) + ṵ0 + ξωnu0/ω0 sin(ω0t))
u(t) = e-ξωnt C cos(ω0t - φ) ⎮ C = √(B12 + B22) ⎮ φ = atan (B2/B1)
Si ricorda che t1 = -π/ωn
IIo tratto
u1 ≤ 0 ➔ ü(t) > 0 ∀t∈[t1, t2]
mü + ku = -fy
u(t) = B1 cos ωnt + B2 sin ωnt - uy
ü(t) = -ωn(B1 sin ωnt - B2 cos ωnt)
u(t1) = -B1 - uy = 2uy - uo
ü(t1) = ωnB2 = 0 ➔ B1 = uo - 3uy
B2 = 0
u(t) = (uo - 3uy) cos ωnt - uy
ü(t) = -ωn(uo - 3uy) sin ωnt
u(t2) = (uo - 3uy) - uy = uo - 4uy
ü(t2) = 0
sin ωnt2 = 0
ωnt2 = 2π ➔ t2 = 2π⁄ωn
Δu(t1)/uy
Non è detto che il sistema si fermi in u = 0.
Finisce il moto sempre quando |u(tn)| < uy
Vedendo l’accelerazione si capirà la natura non lineare del sistema
Energia dissipata
Sia ρ(t) = ρ₀ sin(Ωt)
(μ(t) = μ₀st D|β,βst| sin(Ωt - φ)
μ̇(t) = Ωμ₀st D|β,βst| cos(Ωt - φ)
ωnβ^2 = q√(μ₀st D sin(Ωt - φ) / ωnβμ₀st - D cos(Ωt - φ))
(μ₀st)^2 + (ωnβμ₀st)^2 = D^2
cos² α + sin² α = 1
Ellisse
- u = cũ = cΩμ₀st D cos(Ωt - φ)
- u = μ₀st D sin(Ωt - φ)
(u/μ₀st)^2 + (fr/cΩμst)^2 = D²
ED = Π(cΩu₀)u₀
ED = ΠcΩu₀²
Energia dissipata per ciclo stazionario
Ed = ∫02π/Ω c⋅u̇(t)^2 dt
Anche formulato come
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