Appunti Analisi matematica 1 di ingegneria meccanica ( parte 1)

Massimo e Minimo

Sia E ⊆ R, E ≠ ∅

Max di E → M

• M₁ M ≥ x ∀ x ∈ E
• M₂ M ∈ E

Min di E → m

• m ≤ x ∀ x ∈ E
• m ∈ E

Se un insieme possiede massimo [minimo], questo è unico

Dim: Se M ed M' entrambi max di E → devono essere uguali. Sia M e M' soddisfano M₁ e M₂ con M₁ si ha M ≤ M' ed M' ≤ M che segue che M = M'

Gli insiemi costituiti da un numero finito di elementi, ammettono sia massimo che minimo

Sia f : Dom f → R

La funzione f ammette massimo se il codominio possiede massimo e si pone: max f = max Cod f

Se:

1. M ≥ f(x) ∀ x ∈ Dom f
2. ∃ almeno un elemento x₀ ∈ Dom f | M = f(x₀) → Un elemento che soddisfi M₂ è detto punto di massimo

Per il minimo è analogo

Riscalamento e traslazione

Se f posizive M [cm], ∀ c, k ∈ ℝ:

• c > 0 ⇒ min cf = c min f max cf = c max f
• c < 0 ⇒ max cf = c min f min cf = c max f
• max (f + k) = k + max f min (f + k) = k + min f

Le successioni decrescenti:

• a_n↘ hanno max a₀ = max a_n, ma non hanno min

Le successioni crescenti:

• a_n↗ hanno min a₀ = min a_n, ma non hanno max

Estremi

Si dice Maggiorante dell'insieme E ogni numero reale k che soddisfi la condizione:

• M a) k ≥ x ∀ x ∈ E e l'insieme dei maggioranti è Sβ

Se Sβ ≠ ∅ si dice che E è limitato superiormente

Se E non è limitato superiormente ⇔ soddisfa: m a₁₎ ∀ h ∈ ℝ ∃ x_h ∈ E / x_h > h

Minorante m a₁₎ k ≤ x ∀ x ∈ E

non ∃ i) ∀ h ∈ ℝ ∃ x_h ∈ E / x_h ≤ h

Un insieme che sia limitato sia sup. che inf. è detto limitato

Segue che la condizione necessaria affinchè un insieme E possiede max [min] e che sia limitato superiormente [inf.] Ma ciò non è sufficiente!