Appunti Analisi matematica 1 di ingegneria meccanica ( parte 1)

Massimo e minimo

Sia E ⊂ ℝ, E ≠ ∅.

Max di E

1. M ≥ x ∀ x ∈ E
2. M ∈ E

Min di E

1. m ≤ x ∀ x ∈ E
2. m ∈ E

Se un insieme possiede massimo [minimo], questo è unico. Dimostrazione: Se M ed M' sono entrambi max di E, devono essere uguali. Sia M ∈ E e M' soddisfano M1) e M2), e con M1) si ha M ≤ M' ed M' ≤ M che segue che M = M'.

Gli insiemi costituiti da un numero finito di elementi ammettono sia massimo che minimo. Sia f: Dom_f → ℝ. La funzione f ammette massimo se il codominio possiede massimo e si pone: max f = max Cod_f.

Se:

1. M ≥ f(x) ∀ x ∈ Dom_f
2. Almeno un elemento x₀ ∈ Dom_f | M = f(x₀) -> Un elemento che soddisfi M2) è detto punto di massimo.

Per il minimo è analogo.

Massimo e minimo

Sia E ⊂ ℝ ≠ ∅.

Max di E

1. M ≥ x ∀ x ∈ E
2. M ∈ E

Min di E

1. m ≤ x ∀ x ∈ E
2. m ∈ E

Se un insieme possiede massimo [minimo], questo è unico. DIM: Se M ed M' sono entrambi max di E, devono essere uguali. Sia M ∈ M' soddisfano M₁) e M₂) e con simila M ≤ M' ed M' ≤ M che segue che M = M'.

Gli insiemi costituiti da un numero finito di elementi ammettono sia massimo che minimo. Sia f: Dom_f → ℝ. La funzione f ammette massimo se il codominio possiede massimo e si pone: max f = max Cod_f.

Se:

1. M ≥ f(x) ∀ x ∈ Dom_f
2. Almeno un elemento x_o ∈ Dom_f | f(M) = f(x_o) → Un elemento che soddisfi M₂) è detto punto di massimo.

Per il minimo è analogo.

Riscalamento e traslazione

Se t possiede M [c m], ∀ c, k ∈ ℝ:

• c > 0 ⟹ min cf = c min f & max cf = c max f
• c < 0 ⟹ max cf = c min f & min cf = c max f

max (t + k) = k + max t & min (t + k) = k + min t

Le successioni

Decrescenti

a_n ↘ hanno max a₀ = max a_n, ma non hanno min

Crescenti

a_n ↗ hanno min a₀ = min a_n, ma non hanno max

Estremi

Si dice maggiorante dell’insieme E ogni numero reale k che soddisfi la condizione:

• M a) k ≥ x ∀ x ∈ E e l’insieme dei maggioranti è S_E

Se S_E ≠ ∅ si dice che E è limitato superiormente. Se E non è limitato superiormente ⟺ soddisfa: m m b) ∀ h ∈ ℝ ∃ X_h ∈ E | X_h > h

Minorante

• m a) k ≤ x ∀ x ∈ E
• non i: ∀ h ∈ ℝ ∃ X_h ∈ E | X_h ≤ h

Un insieme che sia limitato sia sup. che inf. è detto limitato. Segue che la condizione necessaria affinché un insieme E possieda max [min ] è che sia limitato superiormente [ inf.]. Ma ciò non è sufficiente!

Se E è limitato sup., l'insieme dei maggioranti ammette minimo e risulta S_E = [min S_E, +∞ ]. Inoltre, se E possiede massimo, allora max E = min S_E.

Dim: E ed S_E sono separati in quanto ogni k∈S_E -> x ≤ k ∀ x∈E ammette quindi almeno un elemento separatore α. x ≤ α ≤ k ∀ x∈E, k∈S_E. α: è maggiorante precede ogni altro maggiorante soddisfa m1) e m2) di S_E -> α = min S_E...

Poi posto M = max E -> è separatore tra E ed S_E e coincide con il minimo dei maggioranti S_E (minimo)

1. s è un maggiorante di E 12 x ≤ x ∀ x∈E
2. l precede ogni altro maggiorante di E ∆ ≤ k ∀ k∈S_E (Estremo Sup. ed Inf.)

Se E ≠ ∅, si definisce estremo sup. un numero s∈ℝ :

1. 12 x ≤ x ∀ x∈E
2. l ≤ k ∀ k∈S_E

L'estremo superiore se esiste è unico. Un insieme non vuoto E⊂ℝ ammette estremo superiore ⇔ l'insieme E è limitato superiormente. Sup E = min S_E.

Estremo inferiore

1. i ≤ x ∀ x∈E
2. i ≤ k ∀ k∈E_i

s₂) ∀ ε > 0 ∃ x_ε ∈ E | s - ε < x_ε

i₂) ∀ ε > 0 ∃ x_ε ∈ E | x_ε < i + ε

Sup Es = sup E ⇔ soddisfa s₁) ∀ x ∈ E x < s s₂) ∀ ε >