Appunti Analisi matematica 1 - parte 2

FORME INDETERMINATE

• 0/0
• ∞/∞
• 0·∞
• ∞-∞
• 0⁰
• ∞⁰
• 1^∞

COMPORTAMENTO DEGLI LIMITI RISPETTO ALLE DISEGUAGLIANZE

Teorema dei due carabinieri

Sia D⊆ℝ x₀ ∈ D'. Siano f, g: D→ℝ f, g continue. Prossimità di x₀ senza gabbia.

f(x) <= g(x) <= h(x)

Si ha

lim_x→x0 f(x)=lim_x→x0 h(x) ∈ ℝ Allora lim_x→x0 g(x)=

th. Vedi:

[Disegni e formule]

Divergenza tramite confronto

Siano f g, D→ℝ tali che prossimità di x₀ ∂D si abbia:

1. lim_x→x0^- f(x)=∞ ⇒ lim_x→x0^- g(x)=∞
2. lim_x→x0⁺ g(x)=∞ ⇒ lim_x→x0⁺ f(x)=∞

Forme Indeterminate

∞/∞ 0/0 ∞ - ∞ 0•∞ ∞⁰ 0⁰ 1^∞

Comportamento dei Limiti Rispetto alle Disuguaglianze

Teorema dei Due Carabinieri

Siano D⊆R, x₀∈_D^-- t.c. Siano f,g,h: D→R continue in x₀ Possa (ds) si abbia: g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) ∀x∈D\{x₀} (f_a) ∃lim g(x) = lim h(x) = l∈R Possa lim g(x) Si ha: lim f(x)=l Dim. (x → x₀) supp. th. V=ε > 0 ξ > 0 t.c. R-ε < g(x) < R+ε ∀0 < |x-x₀| < ξ Sia n: 0; V=ξ > 0 U=|x₁-x₂| < ξ U₂ ⊆ U₁ ⊆ ξ P allora R-ε < f(x) < R+ε ∀0 < |x-x₀| div. dim compos. f(x) lim ∀0< ε < ∞ di avere metodo anche con comp.

Divergenza tramite Confronto

Siano f,g: D→R t.c. e prossimità di x₀ ∈ D (D) (ds) si abbia: Possa (ds) ∃lim 1. lim f(x) = +∞ se D lim g(x) = +∞ 2. lim f(x) = -∞ se D lim g(x) = -∞

Passaggio al limite sulle successioni numeriche

Siano s_n e s due numeri reali e sia ε in positivo.

Se esiste un n₀ tale che per ogni n > n₀ si ha s_n < ε si ha la definizione.

Allora s=lim_n→∞ s_n significa che per ogni ε > o esiste un n₀ tale che per ogni n > n₀ si ha |s_n - s| < ε.

Definiamo l'unicità del limite. Supponiamo che s₁ e s₂ siano limiti, allora:

|s_n - s₁| < ε/2 e |s_n - s₂| < ε/2.

Consideriamo l'insieme degli s_n tali che s_n ∈ A.

Funzione Esponenziale

Per definire l'operazione, vogliamo definire la definizione, in questo caso:

Dato α > 0 vogliamo definire (α^β) _{β ∈ ℝ}

Consideriamo il caso β ≥ 1.

Definiamo la funzione inversa, supponiamo che b < a allora:

b < b, perciò abbiamo che b = a.

Perciò, si verifica che:

1/2 + 1/4 + ... = 2.

I comportamenti si vedono per x → +∞. Si ha che x = 1/n.

Perciò proviamo che ln(x) < 0 quando confrontato con (⅔).

Teoremi di confronto

CASI:

1. Consideriamo _x di forma ^{p lim} _x→∞ ^x → 0.
2. [...]

Comportamento _x→∞ ^lim

FUNZIONE LOGARITMICA

Se nell'inviare in questo dettagliamento consideriamo _x→0 ^lim

Proprietà:

1. ∀x,y,k > 0

Pl>{ (x,y) ∈ R² | x + < y }

(log_α(kx) < log_α x + log_α k)

con α > 1 (…)

(Continua descrizione grafico, assente)

∀x,o ∈ V(RelR)

log_α ( k(…÷)) = β(log_α x)

Comportamento

∀x>

1. log_a x = ∞
2. log_∞ x = ∞

lim_x→+∞ log

lim_x→∞ log_α x = lim log_yα (x) = ∞ - ∞ lim

Se α = ^e/ 4

log_α x = (log_α) ( log_α )

Limiti di espressioni esponenziali

Sia definita _g0 con _∞ - ₁ finito per ogni .

Sia lim_x→x0 g₀(x) = L ∈ ℝ, ∈ _∞.

Sia lim_x→x0 g₁(x) = L.

le F_x sono:

• 1, 0, 0 con g_x = _x→x0 0
• 1, 0, 0 con g_x = _x→x0 0

norm