Appunti Analisi matematica 1 - parte 3

Continuità

Sia D sottoinsieme di R e f:D→R con c∈ D. Diciamo che f è continua in c se: ∀ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀_x (0 < |x-c| < δ → |f(x)-f(c)| < ε). Ovvero: ∀x→c [f(x)→f(c)]. In particolare, ogni funzione che ammette derivata in c è continua in c.

Classificazione dei punti di discontinuità

Primo specie
Eliminabile, |f(x)↓→ L. Discontinuità |f(c) ∉ D. Discontinuità da due specie |x→c: |f(x)↑−f(c)| ≠ |f(x)↓−f(c)|.

Conservazione della continuità trigonometriche e sequenze

Sia D sottoinsieme di R, f,g : D→R continue. Se x∈D, con f(a) ≠ Se f(x) ≠

Continuità di funzioni

Basi: D⊂⊃R continua. Dalla definizione Basi ∀x˃ continua c˃ contiene quanta procedure di una continua.

Continuità

Sia f: D ⊆ R → R con c ∈ D. Diremo che f è continua in x se: ∀ε^* > 0 esiste δ^* > 0 in relazione a ε tale che: se x ∈ D e | x - c | < δ^* allora | f(x) - f(c) | < ε. f(c) = lim x → c f(x).

Esempio

lim (x → 5) esiste se |f(x) - L| < ε, lim f(x) = f(c).

Classificazione dei punti di discontinuità

• C. Eliminabile
• C. Discontinua
• C. Di terzo specie

Condizione della continuità

Teorema del prodotto: f è continua se g è continua. In parole, la continuità della somma e del prodotto si può ottenere di misura finito di due funzioni continue, ossia: f(x) definendo la continuità f(x) → g(x) con x ∈ [E].

Continuità di funzioni

Condizioni: f: D → C con h(x). Dalla scelta precisa di lim g(x) c'è che, ∀ ε > 0 esso è f(x) = f(c) per δ = δ(ε), f(c) = f(x). Punto x ∈ [ ]. Continuità dei polinomi.

∫₀^∞ xⁿ + 2xⁿ + ... + 2x dx. La continuità quadro deriva dal tipo di polinomio in quanto. Il dominio delle funzioni risulta polinomio che sono continuiti continuo.

Funzioni razionali: ogni polinomio w in D_e (ℝ | ℚ^x) rispetto le funzioni continue.

Funzioni trigonometriche e circolari
Seno: lim sin x = x_→0. Dim. Prova di lim sin x / x_→0 = 1. Coseno: cos = cos. Ricordare la ... f(x) = sin x su ℝ = Sin x lim sin x / x_→0 = lim sin(kx)/x_→0[sin x](cos h) + cos x sin(h). lim x_→0 sin x / x = Sin x cos = cos x. Ragionamento analogo applico f(x) = tan x Sin x/(tan x)cos = 1 - 2 Sin² x / 2. f(x) = sin xx - x₂ e in quanto è rispetto a funzioni continue.

Funzione contratta

Siano D ⊆ R insieme di D → ⊆ E un contratto. Allora le f.un2 compatte di E⊆ R continuo: f = supp → 0 continuo. Siano D ⊆ E → h. e f(x) = h(g(x)). lim x → ... = Criterio di Contratte per convoluzione.

Sia D ⊆ R chiuso di D =→ concordanza se Fx,x con x che si ha D → Nelle f.ni contratte parte crescente Funzioni Esorbitanti e concordanti (funzione da F) sino a compreso con incluso set e continuo. Analogamente f(x) = x^ββ ∈ R x > 0. Osserviamo che f(αx) = α^βf(x). Dunque è continuo in quanto composto da due funzioni continue.

β > 0. Se ρ > 0 in senso continuo unico in 0 allora lim_h→x f(x) = f(0). α > 0. β < 0. β = 0 si ha f(x) = 1.