Riassunto integrale corso Fisica 1 (Prof. Soramel)

Energia cinetica di rotazione

L'energia cinetica è la proprietà intrinseca dell'oggetto quando lo mettiamo in moto. Prendiamo un corpo che ruota attorno ad un asse z con velocità angolare ω e che non trasla, quindi ci limitiamo ad una pura rotazione del corpo esteso e rigido. L'energia cinetica sarà definita come la somma delle energie cinetiche di tutti i punti di questo corpo, ma siccome questo corpo sta ruotando, la velocità di ogni punto è riconducibile alla velocità angolare tramite la distanza o il raggio della circonferenza descritta da quel punto. 2½ è costante e può essere portato fuori, così come ω è uguale per tutti i punti nella rotazione, in quanto in essa la velocità lineare di ogni punto dipende dalla distanza dall'asse di rotazione, mentre la velocità angolare è uguale per tutti i punti che ruotano in sintonia. i2 che non è altro.che il momento di rotazione rispetto all'asse. All'interno della sommatoria rimane soltanto m Ridi rotazione z generico. DI conseguenza, l'energia cinetica di un corpo rigido diventa il momento di inerzia rispetto all'asse di rotazione2 per ω e questa energia di rotazione sempre valida perché l'energia cinetica viene definita a priori, quindi è valida anche quando la rotazione avviene attorno ad un asse che non è principale d'inerzia. In ogni caso, per qualunque rotazione, noi possiamo scrivere: Se l'asse non è asse principale d'inerzia, avremo che ω è proporzionale solo alla componente z del momento angolare, mentre se la rotazione avviene attorno ad un asse principale d'inerzia, ω vettore è parallelo ad L vettore e la proporzionalità è sempre data da I .z Se la rotazione è attorno ad un asse principale d'inerzia, posso sostituire I ω con L (momento

angolare),zmoltiplicare e dividere per I e ottengo che l'energia cinetica è quindi uguale a:z (Si intende 2I )zQuesto avviene solo se la rotazione è attorno all'asse principale d'inerzia.

Prendendo ora in considerazione un corpo rigido che ruota e trasla, ci ricordiamo che abbiamo il teorema di Konig per l'energia cinetica:

Ottenendo così che l'energia cinetica è data da una rotazione rispetto al centro di massa e una traslazione rispetto al centro di massa:

Posso in ogni caso decidere se descrivere il mio moto separato, in rotazione e traslazione, oppure di descrivere tutto come una rotazione rispetto all'asse z.

L'energia cinetica è quindi somma di due termini, mentre con gli oggetti puntiformi avevo un unico termine, mentre con gli oggetti estesi o ho un termine di rotazione generale rispetto ad un asse, oppure una rotazione rispetto al centro di massa + una traslazione del centro di massa rispetto al laboratorio.

cinetica esterna del corpo rigido.

Potenziale esterna del corpo stesso. Per l'energia potenziale non dobbiamo introdurre nulla perché tutto ciò che riguarda la posizione del mio oggetto rispetto al sistema di riferimento del laboratorio, è descritto dalla posizione del centro di massa rispetto al sistema del laboratorio.

La conservazione dell'energia meccanica dipende, per un corpo rigido, dalla variazione cinetica totale di un corpo e dalla variazione di energia potenziale esterna, non interna.

Il lavoro delle forze esterne abbiamo detto essere la variazione di energia cinetica: Se le forze esterne sono conservative, allora abbiamo che questa variazione, il lavoro è uguale a meno la variazione di energia potenziale e quindi possiamo scrivere che l'energia meccanica nel caso di forze conservative è data dall'energia cinetica interna + energia cinetica di traslazione + energia potenziale esterna è costante:

La conservazione dell'energia meccanica, se la

che il corpo esteso sia soggetto a una forza F che agisce su un punto P. Il lavoro compiuto da questa forza può essere calcolato come il prodotto scalare tra la forza e lo spostamento del punto P. Se il corpo si muove in modo che il punto P si sposti di un vettore dr, il lavoro compiuto dalla forza F sarà dato da: L = F · dr Se il corpo è rigido, il punto P si muoverà insieme al corpo e quindi il vettore dr sarà uguale per tutti i punti del corpo. In questo caso, il lavoro compiuto dalla forza F sarà dato da: L = ∫ F · dr dove l'integrale viene calcolato su tutto il corpo. La potenza istantanea è definita come il lavoro compiuto per unità di tempo. Quindi, la potenza istantanea P sarà data da: P = dL/dt dove dt è l'elemento di tempo. Nel caso di un corpo rigido, il lavoro compiuto dalla forza F può essere suddiviso in due componenti: il lavoro di traslazione e il lavoro di rotazione. Il lavoro di traslazione è il lavoro compiuto dalla forza F per spostare il centro di massa del corpo. Questo lavoro può essere calcolato come il prodotto scalare tra la forza F e lo spostamento del centro di massa del corpo. Il lavoro di rotazione è il lavoro compiuto dalla forza F per far ruotare il corpo intorno al suo centro di massa. Questo lavoro può essere calcolato come il prodotto scalare tra la forza F e il vettore di momento angolare del corpo. Quindi, il lavoro totale compiuto dalla forza F su un corpo rigido sarà dato dalla somma del lavoro di traslazione e del lavoro di rotazione: L = L_traslazione + L_rotazione La potenza istantanea totale sarà data dalla somma delle potenze istantanee di traslazione e di rotazione: P = P_traslazione + P_rotazione Dove P_traslazione = dL_traslazione/dt e P_rotazione = dL_rotazione/dt. In conclusione, nel caso di un corpo rigido, il lavoro e la potenza possono essere suddivisi in lavoro e potenza di traslazione e di rotazione.di avere:Il lavoro è legato a una rotazione.Il lavoro legato ad una traslazione era F•ds, mentre il lavoro legato a una traslazione M dθ (qui non posso parlare di prodotti scalari perché θ non ha dimensioni ed è una quantità scalare, non vettoriale).A questo punto il lavoro totale legato a una rotazione è legata a:Per la potenza istantanea abbiamo:Questa relazione è del tutto analoga a quella trovata per trovare la potenza istantanea legata al moto di un oggetto puntiforme (dW/dt)= F•v.Quando facciamo le rotazioni, la velocità angolare prende il posto della velocità lineare, i momenti delle forze prendono il posto delle forze e il momento di inerzia prende il posto della massa e scambio momento angolare o quantità di moto.IL MOTO DI PURO ROTOLAMENTOSe ci troviamo in bicicletta a pedalare a un ritmo costante, la ruota della bici è a contatto con un unico punto nel terreno e quel punto di contatto

è istante per istante fermo, cioè non slitta rispetto al terreno.

Dal punto di vista esterno io vedo la ruota che ruota su se stessa e nello stesso tempo trasla, avanza.

Io so che il moto di questa ruota posso separarlo in rotazione rispetto al centro di massa e traslazione del centro di massa per il teorema di Konig.

Il moto che stiamo analizzando, ovvero quello che ipotizza che il punto di contatto P sia sempre fermo rispetto al suo istante per istante, cioè tutti i punti della ruota che passano per questo punto arrivano con velocità 0, quindi abbiamo un asse di rotazione che è sempre lo stesso e i punti della ruota che ci passano, passano perlì con velocità 0.

La nostra ipotesi è che v =0.p

Il moto che descriviamo in questo modo si chiama moto di puro rotolamento (a), ovvero un corpo che ruota e non slitta.

Tutti i punti della bicicletta ruotano attorno ad un asse passante per un centro di massa, la ruota è simmetrica e il centro

di massa è al centro di ruota. Tutti i punti ruotano con la stessa velocità angolare: il punto più lontano dal terreno avrà velocità v=ωR se R è il raggio della bicicletta e il punto di contatto con il suolo, avrà velocità dovuta alla rotazione v=-ωR. In secondo luogo abbiamo tutto il corpo che trasla con la velocità del centro di massa, quindi tutti i punti viaggeranno con la stessa velocità che è la velocità del CM. Quando combino i moti impongo che il punto di contatto abbia una velocità uguale a 0. v avrà una velocità dovuta alla rotazione - la velocità dovuta alla traslazione, il centro di massa avrà la velocità del centro di massa e il punto opposto a P avrà velocità v = v + ωR. T CM Se io impongo che v sia uguale a 0, nonché la definizione di puro rotolamento (la velocità del punto di contatto con il suolo è

uguale a 0 istante per istante), implica che la velocità del centro di massa v = ωR eCMcorrisponde al fatto di vedere, rispetto ad un asse passante per P, la ruota girare con velocità angolare ω. Il centro di massa, rispetto a P, si trova a una distanza R e la sua velocità quindi sarà ωR. Ci chiediamo ora come può avvenire questo moto?

Se un oggetto ruota e trasla: per quest'ultima c'è una forza che fa traslare il corpo mentre per la rotazione abbiamo visto che è necessario un momento. Chi da il momento di forza per mettere in rotazione un cilindro lungo un piano orizzontale? Si tratta della forza di attrito statico che mi tiene fermo il punto di contatto istante per istante, la quale è una forza che ha un valore massimo e uno minimo. Nel moto di puro rotolamento, la forza di attrito statico non assume il valore massimo ma assume un valore intermedio che devo di volta in volta calcolare, quindi nei problemi

NON SOSTITUIRE IL VALORE MASSIMO DELLA FORZA DI ATTRITO. Mentre la forza di attrito dinamico è una forza che si oppone sempre al moto, mentre la forza di attrito statico, in caso di rototraslazioni, può assumere anche una direzione concorde con quella del moto nel caso in cui ci siano altre forze in gioco (applicate al di sopra del centro di massa dell'oggetto). Se in questo moto avessimo una forza di attrito dinamico, il moto di roto-traslazione, di puro rotolamento, non conserverebbe l'energia meccanica, sarebbe un moto non conservativo, ma siccome abbiamo una forza di attrito statico (che per definizione non può far lavoro in quanto applicata in un punto che non si muove e quindi non c'è spostamento collegato alla forza di attrito statico) di conseguenza il moto di puro rotolamento è un moto che conserva l'energia meccanica del corpo. Per il moto di puro rotolamento si ha quindi: Pertanto, nota la geometria dell'oggetto e la suav, conosciamo l'energia cinetica totale. CMSi può