Fisica 1 - Riassunto

Introduzione fisica

Cinematica del punto materiale

Definizioni principali

Punto materiale: oggetto fisico con dimensioni piccole rispetto alle lunghezze considerate. La struttura interna non è coinvolta nel fenomeno (esperimento) o è trascurabile.

Cinematica: descrive il moto del punto materiale. Moto e quiete sono concetti relativi, che dipendono dal SdR scelto.

Legge oraria: il moto è completamente descritto dalla legge oraria, costituita dall'insieme delle tre funzioni che descrivono l'andamento temporale delle coordinate spaziali del punto.

Traiettoria: linea dello spazio costituita dai punti via via occupati dal punto materiale durante il moto (assumendo che sia sempre continua). In base al tipo di traiettoria si dà una prima classificazione del moto: rettilineo, circolare, ellittico, etc.

Ascissa curvilinea s: distanza della traiettoria, misurata sulla curva di traiettoria, del punto dall'origine, presa con segno positivo o negativo a seconda che il punto si trovi nella zona della traiettoria verso cui è diretta la freccia, oppure nella zona opposta. Conoscendo l'andamento temporale dell'ascissa curvilinea (s = s(t)) si descrive il moto del punto materiale.

Velocità scalare media

Nel caso risulti costante, il moto si dice uniforme e avremo, per ogni valore di t: (Legge oraria del moto uniforme).

Velocità scalare istantanea

Se la velocità media tra due istanti di tempo non è costante, il moto si dice "vario" e si definisce la velocità scalare istantanea. La velocità istantanea, nel diagramma orario, è pari al coefficiente angolare della retta tangente alla curva nel dato punto (t, s(t)) del diagramma orario (legge oraria).

Accelerazione scalare media

Nel caso in cui risulti costante, il moto si dice uniformemente accelerato e avremo, per ogni valore di t: (Legge oraria).

Accelerazione scalare istantanea

Se l'accelerazione media tra due istanti di tempo non è costante, si definisce: si può determinare la velocità istantanea a partire dall'andamento temporale dell'accelerazione integrando nel tempo, noto il valore della velocità ad un dato istante.

Moto del punto materiale

La posizione occupata dal punto materiale P può essere descritta attraverso le tre coordinate cartesiane oppure più sinteticamente attraverso il vettore posizione. Il modulo del vettore posizione vale.

Velocità vettoriale

Media:

Istantanea:

N.B. Le grandezze cinematiche scalari e vettoriali sono diverse tra loro. La velocità vettoriale istantanea risulta essere sempre tangente alla traiettoria. Definiamo versore tangente il versore tangente, punto per punto, alla traiettoria, con verso concorde a quello scelto per la misura dell'ascissa curvilinea s. Osserviamo che la velocità vettoriale ha per modulo il modulo della velocità scalare.

Determinazione della legge oraria dalla legge della velocità vettoriale

Accelerazione vettoriale

Media:

Istantanea:

Determinazione delle legge oraria a partire dall'accelerazione. Un'utile scomposizione dell'accelerazione è quella in componenti tangenziale e normale. Ricordando che la derivata di un versore è sempre ortogonale al versore stesso, abbiamo:

Consideriamo la situazione schematizzata di lato: la derivata del versore tangente è diretta verso la concavità della traiettoria. Se indichiamo con C il punto di contro delle rette ortogonali al versore tangente nei due punti successivi P(t) e P(t+Δt), avremo che per →0 l'angolo in C tende a zero, e C diviene il centro di un cerchio che approssima molto bene la traiettoria nell'intorno della posizione P considerata. Tale cerchio è detto cerchio osculatore alla traiettoria in P, e la distanza p = CP prende il nome di raggio di curvatura della traiettoria nel punto P. Considerando anche direzione e verso della derivata del versore tangente avremo: e diretto verso l'interno della traiettoria. Moltiplicando per v si ottiene, che punterà verso l'interno della traiettoria (verso il centro del cerchio osculatore). L'accelerazione vettoriale istantanea può essere scritta come: La componente tangente dell'accelerazione rende conto della variazione del modulo della velocità, mentre la componente normale dipende dalla variazione in direzione della velocità vettoriale.

Alcuni importanti tipi di moto

Due casi particolari di moto si ottengono per:
a) Moto rettilineo
b) Moto uniforme

Moto piano in coordinate polari

Se il moto avviene in un piano, le sole coordinate cartesiane x e y sono sufficienti a descriverlo. In alternativa, possiamo utilizzare le coordinate polari nel piano, che talora risultano assai più convenienti delle cartesiane. Le coordinata polari del piano sono così definite: raggio vettore (distanza di P dall'origine, numero reale positivo) anomalia (angolo formato da con definito tra 0 e 2π).

Legame con le coordinate cartesiane:

Legge oraria in coordinate polari del piano

Traiettoria opppure Versori: versore radiale, versore trasversale. N.B. questi versori variano con il punto P.

Velocità angolare

La velocità vettoriale istantanea può scomporsi come segue: velocità radiale, velocità trasversale.

Casi particolari di moto

Moto rettilineo: La traiettoria è una linea retta, l'accelerazione vettoriale si riduce alla sola componente tangenziale. Scegliendo un sistema di riferimento cartesiano opportuno, la legge oraria diventa monodimensionale. Nel moto rettilineo uniforme la velocità è costante, quindi l'accelerazione è nulla e la legge oraria diventa:

Moto circolare

La traiettoria è una circonferenza; sia R il suo raggio. È utile servirsi dell'ascissa curvilinea s lungo la traiettoria, o equivalentemente l'angolo formato dal raggio vettore con il versore dell'asse x. Il semplice legame fra queste variabili è: La velocità vettoriale si può scrivere come:

Moto circolare uniforme

La velocità angolare si mantiene costante nel tempo. L'accelerazione si riduce alla sua componente normale, che è diretta verso il centro della traiettoria e viene perciò detta accelerazione centripeta. Si tratta di moto periodico. La frequenza del moto vale. La legge oraria può essere scritta come:

La legge oraria può essere scritta come: ovvero

Accelerazione angolare

Se la velocità angolare non è costante nel tempo si definisce un vettore accelerazione angolare: Nel caso di moto circolare, la velocità angolare non cambia mai direzione, perciò possiamo scrivere:

Componenti dell'accelerazione [se moto circolare uniforme]

Moto armonico

Il moto armonico semplice è un moto oscillatorio molto semplice, cioè un moto rettilineo con legge oraria sinusoidale: Fase: ampiezza: costante di fase: pulsazione.

Def. Equazione caratteristica del moto armonico: Quando, ed → Quando ed punti di inversione del moto.

Dinamica del punto materiale

Generalità

Def.: Sistema di riferimento inerziale: SdR solidale con un punto materiale non soggetto ad interazioni. Proprietà dei SdR inerziali:

• Un punto materiale non soggetto ad interazione è in quiete o si muove di moto rettilineo uniforme.
• Un sistema di riferimento in quiete o in moto rettilineo uniforme rispetto ad un SdR inerziale è anch'esso un SdR inerziale.

Primo principio della dinamica e principi di relatività

I principio della dinamica o "principio di inerzia": "In un sistema di riferimento inerziale, un corpo non soggetto ad interazioni con altri corpi permane nello stato di quiete o di moto rettilineo uniforme".

Principio di relatività galileiano: "Le leggi della meccanica assumono la stessa forma per tutti gli osservatori inerziali".

Oss. Il principio di relatività galileiano esclude la possibilità di individuare un SdR assoluto eseguendo esperimenti di meccanica.

Principio di relatività ristretta: "Tutte le leggi fisiche assumono la stessa forma per tutti gli osservatori inerziali".

Oss. Il principio di relatività ristretta implica che non solo le leggi della meccanica ma anche quelle dell'elettromagnetismo, ed in generale tutte le leggi fisiche assumono la stessa forma per tutti gli osservatori inerziali. Dunque, la teoria della relatività, che ha validità più generale della fisica classica, afferma (assume) in sostanza che il SdR assoluto non esiste.

Massa inerziale

Si considerino due carrelli diversi tra loro posti su di un binario rettilineo. Siamo essi in quiete, vincolati da un cavo, e tra essi sia compressa una molla. Se ad un dato istante il cavo viene tagliato, si osservano i carrelli muoversi in direzioni opposte, con velocità. Se i due carrelli hanno velocità iniziali diverse da zero, si osserva che, sempre operando nelle condizioni in cui essi siano soggetti esclusivamente alla mutua interazione, il rapporto tra le variazioni delle loro velocità mantiene costante. Poiché tali variazioni sono considerate rispetto allo stesso intervallo di tempo, anche il rapporto tra le accelerazioni rimane costante.

Se si considerano due corpi in un SdR inerziale, si verifica sperimentalmente che:

• Le velocità dei corpi variano per effetto dell'interazione.
• Tali variazioni dipendono dall'intensità dell'interazione stessa.
• Il rapporto tra tali variazioni è una costante caratteristica dei due corpi.

Def. Massa inerziale: La quantità può essere assunta come misura della massa inerziale: una grandezza scalare caratteristica del corpo 2 rispetto alla medesima grandezza del corpo 1, scelto come unità campione. Nel S.I. la massa è una grandezza fondamentale e si misura in chilogrammi (kg). La massa è una grandezza estensiva, quindi gode della proprietà additiva.

La quantità di moto e la forza

Def. Quantità di moto: Si definisce quantità di moto di un punto materiale la grandezza vettoriale data dal prodotto della massa per la velocità istantanea (vettoriale) del punto materiale.

Def. Sistema isolato: Sistema di n punti materiali che non è soggetto a interazioni con l'esterno, cioè gli n punti materiali interagiscono solo fra loro (soggetti alla sola mutua interazione).

Principio di conservazione della quantità di moto: La quantità di moto totale di un sistema isolato di n punti materiali rimane costante nel tempo. In un SdR inerziale un punto materiale non soggetto ad interazioni si muove con velocità costante, quindi anche la sua quantità di moto rimane costante (essendolo la sua massa).

Def. Forza risultante agente su di un punto materiale: Si dice forza risultante (totale) agente su di un punto materiale dotato di quantità di moto la grandezza vettoriale. Oss. La forza è una misura dell'entità dell'interazione, rappresentata da un vettore applicato, quindi possiede sempre anche un punto di applicazione, oltre che modulo, direzione e verso.

Principio di sovrapposizione degli effetti

Dato un sistema di cause tra loro indipendenti agenti contemporaneamente sul medesimo sistema, se il legame tra ciascuna singola causa e l'effetto da essa prodotto è di tipo lineare, allora l'effetto complessivo prodotto da tutte le cause è dato dalla somma algebrica dei singoli effetti prodotti da ciascuna causa.

Secondo e Terzo principio della dinamica

II principio della dinamica: Come diretta conseguenza delle definizioni di forza risultante e di quantità di moto otteniamo: "La forza risultante agente su di un punto materiale è il prodotto della massa del punto materiale per la sua accelerazione".

III principio della dinamica: "Nell'interazione tra due corpi, la forza che il primo esercita sul secondo è uguale in modulo, ha la stessa direzione ed è opposta in verso rispetto a quella che il secondo esercita sul primo".

Il problema generale della dinamica del punto materiale

Il problema generale della dinamica del punto materiale consiste nella ricerca della legge oraria di un punto materiale di massa m che si muove sotto l'azione della risultante delle forze ad esso applicate.

Classificazione delle forze in natura

Le quattro interazioni fondamentali sono:

• Interazione gravitazionale: determina l'attrazione tra le masse.
• Interazione elettromagnetica: dà luogo a tutti i fenomeni di natura elettrica e magnetica (es. luce).
• Interazione nucleare forte: tiene uniti protoni e neutroni nei nuclei atomici.
• Interazione nucleare debole: presiede a molte reazioni nucleari.

Forza gravitazionale

Ogni punto materiale attrae ogni altro punto materiale con una forza diretta come la congiungente dei due punti e modulo pari a: e : masse dei due punti materiali: distanza tra i due punti materiali: costante di gravitazione universale.

Forza peso

Immaginiamo che la Terra sia costituita da una sfera omogenea di raggio e di massa; se allora un corpo di massa m è posto sulla superficie terrestre, sarà attratto verso il centro della Terra con una forza gravitazionale pari a: L'accelerazione di gravità dipende solo dalle caratteristiche della Terra.

Forza elettrostatica o "forza di Coulomb"

Due cariche elettriche puntiformi e nel vuoto interagiscono con una forza diretta lungo la congiungente e di modulo pari a: : distanza tra le due cariche puntiformi: costante dielettrica nel vuoto.

Forza magnetica o "forza di Lorentz"

Una carica elettrica q in moto con velocità in presenza di un campo magnetico è soggetta ad una forza: (la forza magnetica è sempre ortogonale alla velocità della carica ed al campo magnetico).

Forze elastiche

Consideriamo una molla avente lunghezza di riposo l. Se produciamo una deformazione di ampiezza x, la molla reagisce con una forza proporzionale ad x e di verso contrario alla deformazione. La costante di proporzionalità k è una caratteristica della molla e prende il nome di costante elastica, si misura in.

Statica del punto materiale

Prop. Legge fondamentale della statica

"Condizione necessaria e sufficiente affinché un punto materiale resti in quiete in una certa posizione è che:

• Sia nulla la velocità all'istante considerato.
• Sia nulla la risultante delle forze applicate.

NB: affinché il punto materiale si trovi effettivamente in quiete, poi, si richiede anche che la velocità iniziale sia nulla.

Misura statica delle forze

Una misura della forza alternativa a quella dinamica si ottiene equilibrando la forza da misurare con forze note.

Le reazioni vincolari

Le forze si dividono in forze attive, che determinano il moto dei corpi, e reazioni vincolari, che descrivono le limitazioni del moto. Per una data reazione vincolare:

• Il modulo è generalmente proporzionale a quello della forza attiva.
• La direzione dipende dal tipo di vincolo.
• Il verso è sempre opposto al verso delle forze attive.

Alcuni vincoli sono monodimensionali:

1. Un piano di appoggio perfettamente liscio può esercitare solo reazioni vincolari orientate come la normale uscente dal piano, e uguale ed opposta alla forza attiva.
2. Una fune (cui sia appeso un corpo) può esercitare solo forze di tensione (o trazione) direttamente parallele alla fune stessa.
3. Un'asta (cui sia vincolato un corpo) può esercitare sia forze di tensione che di compressione, dirette parallelamente all'asta stessa.

Un'asta che sorregge un corpo (fermo) verticalmente esercita una compressione uguale ed opposta alla forza peso.

Impulso di una forza e teorema dell'impulso

Def. Si definisce impulso di una forza in un certo intervallo di tempo l'integrale vettoriale della forza nello stesso intervallo di tempo: Nel S.I. l'impulso si misura dunque in oppure in.

Considerando l'espressione della forza agente su un punto materiale e moltiplicando per il differenziale dt, si ottiene:

Thr.: Teorema dell'impulso La variazione della quantità di moto di un punto materiale è pari all'impulso della risultante delle forze agenti su quel punto materiale.

Oss. Tipiche forze impulsive sono le reazioni vincolari. Ex. Una palla che cadendo dall'alto colpisce il suolo rimbalzando, mostra ad ogni rimbalzo una repentina variazione della sua quantità di moto (con inversione di segno della velocità). Di tale variazione è responsabile l'impulso della forza di reazione vincolare normale del piano del suolo.

Le forze di attrito

Le forze di attrito si manifestano quando due corpi sono in contatto, e si oppongono al moto relativo. Si distinguono quattro tipi principali di attrito:

• Attrito radente: si manifesta tra le superfici di due corpi solidi in contatto. Si distingue a sua volta in attrito radente statico ed attrito radente dinamico.
• Attrito volvente: si manifesta quando un corpo solido rotola su un altro corpo solido.
• Attrito del mezzo o attrito viscoso: costituisce la resistenza opposta da un fluido (liquido o gassoso) al moto di un corpo solido.
• Attrito interno: agisce fra i diversi strati di un fluido viscoso in moto (liquido o gassoso).

Attrito radente statico

Il valore limite per l'equilibrio rappresenta il limite entro cui una forza applicata ad un corpo non produce spostamento.