Riassunto integrale corso Analisi 2 (Prof. Tralli)

nonché IXYIEHI.ly/

'

TÈ

quindi er

)

.

1 }

I

incluso 9

distanza

solo il

si ovvero

,

bordo della palla contenuto

esiste di

intorno Xo

un

A

in .

0 E a

/

BLX.ir/= centrata

aperta

palla Xo

in to

t A

ha

Blx intersezione

) con

r

ovvero se e

,

stesso tempo l' ha

allo il

anche con

ce

Quindi nel

complementare punto suo

un

preso

. , del

di

intorno A che

abbiamo complemento

punto

sia un

l' tre

A dei 1

che

valori O

formato

è

insieme

→ vanno a .

dai

di

la frontiera A

→ punti

formata che appartengono

è

21 A che 21 complementare

sia /

il

poichè aperto

complementare è valore

esiste 21

ovvero se un trovare

di del

sotto quale possiamo

tutti A

di

valori

i .

t

tende l

valore

ovvero successione 2 se

una un

tende

distanza

la 0

ed

tra Xn e a .

l soltanto

Xn tende di

componente

a se se

e ogni

rispettiva

tende alla

Xp l

µ componente in

03-10-2019

Sia { Xn

leri limitato

1) Xn forma

}

Allora

Osservazione → isierne

un .

. ,

»

-700

µ R limitato cioè

anche

{ è

convergente

essendo

Infatti } in

Xn successione

una

, %aCXIIE.Eami-RV-nc.es/XnlHRttneNeXnEBlo,R

IXIIEM link

ti

tale Questo

7- che vale Quindi

riso )

. .

ttnen À 2A

(A)

determinare int

Dati )

DIA

Esercizio seguenti

i insiemi ,

: ,

,

1) { intlat-ft.it/DA-- A

} ER

XEIR

A- sen !

! :

= f- }

2A 1,1

-

[ 1.13 ]

=L →

-1,1

Au chiuso

A- 2A

= .

'

2) chiuso

A- { EIR

( }

) IR

serial

x. #

: intlal-0A-Auda.at

¥ A

2A Da

A >

>

)

{ '

3) Im

A- EIR

}

) neri inta-oa-AAAAIA-ADLAt.co

senffn :

, sia AEIRN "

Data pt

funzione IR

le

Definizione fa A EDCA

)

una → x.

.

. , ,

,

e)

diciamo )

[ ftp.fch-l

A ad

di

che 7¥ fled uguale sei

è

in

: .

Isso 8

lfcxs.AE lx-x.la

fxeaifxo}

FE o tale

> che

• ( asso )

B }

HY "

!

fase *

E

v. Bl

> !

o

ovvero e "

!!

: !

m e- possibile che

di f

Il ?

A

fidare infatti

del #

limite

valore l'

esistenza

ininfluente

Xo

• è xo

in per

di accumulazione

punto

[ venir I

L' )

• f) ( Alfio

)

ipotesi Blxo

XOEDIA cruciale ¥0

}

è che piccolo

n è

: implica per .

,

Fin MI

Reti

(

Se f

14 fine

e- lieti -8mm

• allora

fai )

: → .

.

, . ,

. . Aspi →

fi e

] lim finale ttiefh }

» in

.

. -

-7×0

X

XEA

limiti

Proprietà AEIRN

dei f Ahi

EDIA)

x. :

,

E.

1) Se l

fai xea

¥

esiste è unico

⇒

:

Mm

A him lingua (

l 7 ftp.lty

lim

fax

2) se ⇒

µ

→ -

) -

gi =

. , + Xo +

Xirxo ⇒ Xo

→ XEA

XEA xea =L

la A- Ibm A

3) f-

lingua

linfa

IR g)

(

A

se → ⇒ .

:

g , + Xo

→

+ sto xo

⇒ xea

xea

XEA

ti

4) fango ch

a- t.fi#hn.n-- 7¥

→ ¥

se "

» -

⇒

gia :<

g. :[

5) ttxett

IR

A gixiegpxieg.ch

se →

:

grigi , j

' e e

' 7¥

atei "

È ⇒

% sane

-

9¥ :

:# ! XEA

m "

Proposizione Sia A

f supponiamo

IR XOEDIA IR

fa le

lim

3-

)

→

: ) e

, Xo

→

+ EA

+

I =L

lim fcx

fai ha

EA EOEDIA

allora ) si )

, to

+ →

XEA Se di Ai

due restrizioni

prendiamo

se sinistra

7 deve

EDIAINDIA la

di

limite

)

Aria tale il

EA che

① X. avere

stesso e

valore .

¥

haha

' la

la

la .ge

7¥ # → :{

" ,

ÈÈI:& - ÷

:&

' ,

.

Esercizi Determinare ftp.fcx determinarne

esiste il valore

se in

) e caso

! {

1) A- f A

IR R

} fcx.gl

0,0 →

: x. 10,01

= =

Ztyz

+

} )

10,9

{ ix.

A

Ai )

Definisco fcxist-fio.si

Ae

E c-

# ⇒ ¥

y

o -

= : -

y ,

{ IX. ) }

Az lx

EA eta

g)

0 e

# )

⇒

se

:X O

= =

,

{ IX. )

Aa OSEA Ae fixiskfxo fusi

$

Kyle

Definisco 0 ⇒

# '

⇒

se

:X →

- gg µ ,

, →

2) A- AMR

Riuso ¥

f

} IQOI

fax X.

o : =

-

)

y

, , rttyz EA

Vediamo ad { }

)

IX

Am

restringiamo

succede

che mi #

:X o

ci =

se ,

3 3

fetish 0

C- E

= =

xztrnzxa

271mHz fumate

+

Consideriamo lfxisllzo

1¥74 11940

MIE

= % xaexztya

È El

xzty

3) f

insieme fine

AMR

{

A- } xàlaoi

> :

o

y A

Prendiamo }

meiRAm-flmy.gl E

yso

:

fmyist-mYII-yhtmay.jo ftp..fi "

{ "

}

)

( Xix

Scegliamo Ae' Ho finita 1K¥01

: ⇒

=

Terenzio limite esiste strada

il allora

se qualunque scelta

§ ai

per

: giungere

,

restrizioni (

, di accumulazione

punto ) stesso

Xo l

la

Yo allo

tenderà

funzione

, .

,

Ad procedere

può

si

esempio Il due

determinano

limite

PER esiste

SU RETTE

RESTRIZIONI se si

non

. della

limite restrizione limite

il del

diverso →

i quali è

cammini per dipende dal

il esclusivamente

limite

restrizione coefficiente

nella !

limite

il §

se m ,

RESTRIZIONI

anche su PARABOLE il

secondo

usare

• teorema

posso sempre

e ,

$

restrizioni

il di

limite allora

rette

¥ rispetto quello su

se a .

, )=mk

" È resi senta fammi =

so -

: ,

;) ' 1 tnì

( tmalx

1) -112

no

, x

> -

.

fine solo

dipende

flamini

)

⇒ ptfmz

-

- ¥ !

limite

da il

m ,

rest

4% mkzhe.fnmixzhahmIY.IT

su :#

:* , go.mx#n@mtirnde--p !

dire

da esistenza

sull'

¥ nulla

⇒ m ma non possiamo

: DIVERSI

sono

ÉTÉ

"

" "

re e-

÷;

; - ' limite }

⇒ la funzione è quindi omogenea

di 0

grado . di

la

che too

×

ovvero →

norma

Gli limitati

chiusi quindi

insiemi e

definiti compatti

vengono .

definizione

per chiusa

di palla .

§ ( se abbiamo compatto

insieme

un trovare un massimo

possiamo sempre )

IR

in

minimo

e un

Ovvero Xo X

presi e 811 !

) Xe

A esiste -

funzione

in una

, X

da [

| che 0,1] associa

IRY la

valori è

quale

in fidata

continua flotta e

, ?

•

Xo la

Presi A funzione

X

quindi in

e ,

txe A

) valori

( f)

plt 1- Xo assume in

+

= 1

tra

t 0

qualsiasi e

per .

attraverso

centro la

della

tra il

distanza palla

verificarlo la tutti

cerchiamo norma

punti :

per i e Poiche il della

centro A

all'

appartiene

non insieme

palla .

?

Convessi

t ?

Quindi IR è

un viceversa

in insieme convesso

connesso e

] →

( )

limitato

chiuso e ① !

IMPORTANTE

Valore

funzione della

calcolata minimo intervallo

nell'

funzione

Xmin

in Caio ]

µ

} Se A di

caso

è connesso in una

,

continua ) !

è

funzione GIA connesso

,

Ovvero :

intervallo che

ipotizzando

valori nell'

fcxa

flxa Yz te Xa

presi )

) e

con

# e

>

= e intervallo tre esiste

allora nell'

qualsiasi e

Y una

Y

per yz

Yzcyz presa ,

, ,

A te

ad

X flx

appartenente )

g-

. ,

funzione continua

In il dominio sia un

cui insieme

una , intervallo che

esiste chiuso ha

compatto

connesso un

e ,

, interno del

estremi all' quale

e

come massimo

minimo ,

la funzione racchiusa

è .

- di §Ì

f ! #

quindi il

piccolo

a-

è un se

xeno

per !

g × ,

"

A IRN

IR

di Xo

fuma A

funzione

sottoinsieme continua manda

che in un

,

, di A

interno

punto v un

e

IRN

( allora

1) in

norma

versore ,

derivabile Xo

f in

è direzione

alla

rispetto U se

m

flxottd-fcxd-EIRe.it

] fin

Ho t 21

valore definito

viene come

suo du

IRN

di

A sottoinsieme f

Dato funzione che elementi

manda

un una

,

di IRM A

di variabile

A interno che valori

nell' E

Xo

punto

un assunse

in ,

,

da 1 derivabile

an diciamo

se f è le

Xo

in rispetto )

µtte¥-fa

, der parziale

che ammette

lei f ,

) in XO

f derivata variabile rispetto

ammette alla Xi

Xo Xi

rispetto

parziale in "

Nel CI

Re direzioni

le

vada IR

da in

funzione

cui

in

caso una ⇒

esse

sono ×

rosse a y IPI

dia R

Date funzione in un

una ,

direzione ( )

punto Ue Ue

( Xo

X. una

yo ) -

U

= e ,

,

allora Ad =

t du fcxottuaigottuaaefcxoigyt

¥

?

tenute

nonché prima

← 1

Analisi

in 19 htt flxottua )

cerchiamo gotta

. ,

2) derivata

facciamo h

di

la prima

la

3) calcoliamo 0

in

stesso

risultato lo di

Il è poi

fans

Casey ) ' )

y

- " lo

' ftp.hxo#f-f*-=floi-tuof-8noi-=flti= •

'

} e ¥:*

[ :[

Provi ad direzioni

altre

derivate

le rispetto

cercare .

} }

,

, / ( continua

f

NOTARE questa è

NON

.

.

Af@AfffffAfAfeI.l.pt#fffq?qnadttqossiYlAAD tenute

di alle

dune è legato

parziali non

# "àÉgg

ifeng.EE

EEEEE-ai%EEEEG.IE

la

Prendiamo

restrizione due

le due

danno

restrizioni

poichè diversi del limite

valori "

da

Data A IR

funzione

una ,

in

"

d-

dove di IR

sottoinsieme

è Xo

e esistano

A

ad

interno

punto supponiamo

un ,

di

le

tutte derivate f alle

rispetto

parziali allora

calcolate

di X Xo

componenti in ,

di

IR

Nel flxo

gradiente

il

in

in )

caso cui siamo ,

(Tel le

ha

definito il vettore componenti

che

è

) come per

di dell'

derivate A

f N

alle

rispetto componenti insieme

parziali

Xo

in .

Nel PIPI al

f- ) di

A posto

in cui >

in

caso . .

. ( detta

vettore abbiamo matrice )

JACOBIANA

singolo

un una

le della

dei

date gradienti funzione

righe

cui sono

calcolata Xo

in . indice

indice colonna

nga

µ t

dove da l

i varie e

m

a j

da 1 N

varia a .

della data

↳ di

matrice è

ij

componente

aItro

dxj "

da )

AGIR

Date IR appartenente

funzione f Xo

in

una e

all' A differenziabile

f

di un'

interno esiste

Xo applicazione

in

è se

,

R' tale h

lineare tende

limite

IRM esiste che

il

T → cui

: per

per

fAoth)_fHd-l prende

tal

di l'

faccia

0 0 caso

a in

:

e

!! d(

fcxo

di )

il differenzi di f Xo F-

si

nome scrive

in e

di

( Definizione

Applicazione

lineare

) 16-10-2019

" "

Ti IR

Richiamo IR

2 : → "

ttvz

Tuit Twa Quindi

} lineare

VZEIR

Tlvatvzl T applicazione

)

= , .

livelli

HAEIR

ATN

Tlav ) )

= ,

Piave È

( .vn/=Valax.-..tVnln- "

Va Vjlj vettore di IR delle

→ U scomponibile

è

un singole

somma

come

. . .

.

,

¥ non metà di della

!! base

vettori

V

componenti canonica

i

per

.on.ca .

TYI.vje.de?aTfyej)=!Vj- .

Tu ,

- µ :[

{ (

}

Piatte )

.de/Kede.....lTeAm tie Ustica?

TN

) e

⇒ m

. ,

. . . . (

Se #

M la {

t.cm

chiamiamo di

matrice TI } { in

}

ie

mxn Je matrice associata 7

1 -

-

.im a

= i . . ( ti

ITL4

Nick ? ( Tlejtivj

Vuol ) Mv

)

Migli

di

alle che

canoniche dire

basi

rispetto ;

=

= ]

, ,

attore

Timer In

:[ :[÷

< ⇒ ,

Esempio : "

T la IR

1) nel → ~

:

caso < vettore

1in

La riga

associata

matrice

Thelma )

Mn

- - → min

<

= YX mx

g-

2) 1-

T

N

? IR -4

me :

-

caso - ✓

" fèmmina ×

"

sia Rm

AER

Definizione A- Eintla )

f →

: X.

: ,

, . " "

IT

Si IR

dice che IR lineare

fè t.ci

Xo

in applicazione

Ditte se : →

linkati

] demoliamo tdfcxo

=D )

IN

h → o

m

nn ! ! "

| !! "

"

! :

:[È

Osservazione f differenziabile fixoehi-fcxoi.tn ( )

<

in im

× ⇒ @

: . . )

0µm

T

feat

fl # hi - -

-

)Fh

flxoth Tani ogni

fcxosz )

< +

⇒ ) mi o

per

= →

h 0 Olmi

)

fcxothtafcxoittllhl

→ ) ↳

+ 0

per se

ovvero per

Nel

Rimane T h

)

flxoxhtfcxoiaimhtolh

!!

m Inning

-- =

: -90

per

IR IR

f. → AEIRN "

sia A Xozintla)

Proposizione f. IR

→

: ,

, )

( continua

differenziabile ⇒

Se differenziabile f

f è Xo continua

è Xo

⇒ in

in

Sappiamo differenziabile

Dimostrazione che f ovvero

è xo

in

: ,

)

tollhl

Tlh

flxoth )

fax

) » =

- h so

-

per

D' la vedere

dobbiamo

altra mostrare continuità far che ¥

parte ×

in

per .

, fiq-fcxdfdiff.in

: flxoth

lim )

È

xo ? a-

. vero

vi ho

OEIflxothi-fcxoil-ltlhltolhilsltlhlltlodhdln.io

÷

È

ITNIi-lm.tn/i-- Misty IRN

In di T

funzioni continue sicuramente continua

somma

quanto è in

7 lim Tlh 0

7101

)

⇒ =

=

↳ 0 AEIRN

Sia A Rm Xoeintla)

Proposizione f. →

= ,

,

Supponiamo Allora "

direzione

Xo

tiff

che f è vetta linea

)

in ogni

per

. ,

.

( )

] se

df f differenziabile

2£ allora

Xo

lxo U è

) in

= prese

, dentata

la

1)

( di

U

direzione

qualsiasi norma

una

T di direzione

alla

rispetto

Xo

f u

in ed di

al

esiste differenziale

è uguale

)

to ft

in

f

- È "

]

Sappiamo

Dimostrazione figo la

che 0 differenziabile

funzione

poichè è

141 in Xo .

µ "

÷:

÷ :

:

:: ÷ : : .÷÷⇒

. .

A ltl

ltul lui

teso

t.se 1 %

tso

Per È

ÈÈ

fino TN

Theo ⇒ )

7¥

esempio =

, :

- . " afjix »

Le tue dicono che

precedenti ci

preposizioni

= dff .ie?::::.d?::i:::::

stati

ne . :O

il

!

÷ :p

÷ : "

⑨ ¥ tutte

implica il esistano

Xo che

fatto

in ma

[III.seno

[ implica ,

e.